精品解析：2024年四川省南充市中考数学二诊试题（解析版）

这是一份精品解析：2024年四川省南充市中考数学二诊试题（解析版），共31页。试卷主要包含了选择题每个小题都有代号为A，解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。
1. 方程3x﹣1=0的根是（ ）
A. 3B. C. ﹣D. ﹣3
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：移项得：3x=1，
化系数为1得：x=，
故选B．
考点：解一元一次方程．
2. 如图，线段的两个端点坐标分别为，以原点O为位似中心，将线段在第一象限缩小为原来的，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵以原点为位似中心，将线段在第一象限缩小为原来的，点的坐标为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：A．
3. 2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解．
【详解】解：126万亿=，
故选：B．
4. 已知，且，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
由，可得，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故选：D．
5. 我国明朝珠算发明家程大位著作的《直指算法统宗》，是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中记载了问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．”其大意是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，找到等量关系是正确列出方程关键．
设大和尚有人，根据有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可．
【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人，
由题意得：．
故选：B．
6. 如图，在中，是的内切圆，连接并延长与交于点D，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
根据三角形的内角和定理得到，由形的内切圆，得到平分平分，根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
，
是的内切圆，
分别平分，
，
，
，
故选：B．
7. 若将抛物线向右平移个单位或向左平移个单位后都经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质和几何变换，由题意可知抛物线与x轴的交点为和，则抛物线的对称轴为轴，即可求得，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线向右平移个单位或向左平移个单位后都经过点，
∴抛物线物线与x轴的交点为和，
∴，
∴，
故选：．
8. 如图，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线，分别与交于点D，E，再以点D为圆心长为半径画弧，与交于点C，连接．若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，故A正确，求得，根据等腰三角形的性质及三角形内角和得到，故B正确；根据勾股定理得到，求得，故C正确；根据三角函数的定义得到，故D错误．
【详解】解：连接，由作图知，垂直平分，
，故A正确，
∴，
∴，，
∴，
∴，故B正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故C正确；
∵，
∴，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
9. 已知实数，满足，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将变形为据此可知，为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，整理得，，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及分式的化简是解题的关键．
【详解】解：，易得，方程两侧同除得：
，
又∵，且，
∴，为方程 的两个实数根，
∴，，整理得，，
∴，
故选：．
10. 如图，在等边中，，将绕点C逆时针旋转（），得线段，连接，作的平分线交射线于点E．下列三个结论：①；②当时，；③面积的最大值为．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】①首先利用等边三角形的性质和性质的性质得到，然后利用的等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；②如图，过作于，利用等腰三角形的性质得到，然后利用已知条件得到，接着利用勾股定理和三角函数即可求解；③根据①，故点在的外接圆上，当点到的距离最大时，面积有最大值，由此即可求解．
【详解】解：①等边中，，
由旋转的性质可得：，
，
∴，故①正确；
②如图，过作于F，
∵平分线，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
当时，，
在中，，
而，
，
在中，，
，
∴，故②错误；
③根据①，故点在的外接圆上，
当点到的距离最大时，面积有最大值，
此时点与重合，
∴面积的最大值为，故③正确，
故选：C．
【点睛】此题主要考查旋转的性质，同时也利用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数及勾股定理，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11. 若的值为整数，则x的值可以为________．（写一个即可）
【答案】3(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查算术平方根，掌握整数的概念是解题的关键．
根据算术平方根的定义进行解题即可．
【详解】解：∵的值为整数，
，
故答案为：3(答案不唯一)．
12. 通常情况下，紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色，遇碱性溶液变蓝色，李老师让学生用紫色石蕊试液检测五瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性．这五种溶液分别是：盐酸（呈酸性），氢氧化钠溶液（呈碱性），氢氧化钙溶液（呈碱性），稀硫酸（呈酸性），白醋（呈酸性）．小伟同学随机任选一瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则溶液变红色的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，直接根据概率公式解答即可，熟练掌握概率公式的应用是解题的关键．
【详解】解：∵将紫色石蕊试液滴入盐酸（呈酸性），稀硫酸（呈酸性），白醋（呈酸性）中，溶液变红色，
∴溶液变红色的概率．
故答案为：．
13. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面是梯形，其中，，燕尾角，外口宽为，榫槽深度为，则它的里口宽为________（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质：过点A作，垂足为E，过点D作，垂足为F，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用证明，从而可得，最后根据题意得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点A作，垂足为E，过点D作，垂足为F，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
故答案为：．
14. 如图，直线与双曲线相交于，两点，则关于x的不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及根据交点情况求不等式解集，利用了数形结合的数学思想．先求得点B的坐标，然后根据图象即可求解．
【详解】解：直线与双曲线相交于，两点，
，
，
，
关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
15. 如图，菱形中，，点，分别在，边上，将沿直线折叠，使点恰好落在的中点处，若，则的长为________．
【答案】##5.6
【解析】
【分析】过点作交的延长线于点，求出，，设，用表示出，，再在中，利用勾股定理列方程解出即可．
【详解】解：过点作交的延长线于点，
设，
四边形是菱形，，，
，，，
点是的中点，
，
在中，
，，
，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，翻折的性质，解直角三角形，勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16. 如图，抛物线顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接，过点M作交抛物线于点B，则点M到直线的距离的最大值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，解题的关键是灵活运用相关知识．
如图，轴于轴于于，设4)，直线的解析式为：，利用待定系数法得到，又因为，则，推出，则，所以，则，得到，当时，即2时，，则直线必过定点，根据垂线段最短可知，点到直线的距离小于等于，故点到直线的最大距离为1．
【详解】解：如图，轴于轴于于，
∵
∴
设，直线解析式为：，
∴，
解得，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
当时，即时，，
∴直线必过定点，根据垂线段最短可知，点到直线距离小于等于，故点到直线的最大距离为1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
当时，原式．
18. 如图，在中，点D是中点，点E是上一点，过点B作，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，判断和的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答
（2），理由见解答
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
（1）证明，即可解决问题；
（2）结合（1）证明四边形是平行四边形，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵点是中点，
，
，
，
和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
，
∴四边形是平行四边形，
．
19. 某校为增强学生对国防知识的了解，激发青少年的崇军爱国之志，在八、九年级开展国防知识竞赛，两年级随机各抽取5名同学参赛选手的成绩统计如图所示，根据统计图所给信息解答下列问题：
参赛选手成绩数据分析表
（1）统计表中，．
（2）根据统计数据分析本次竞赛，八，九年级中哪个年级成绩更好？说明理由．
（3）赛后，学校决定八、九年级竞赛成绩分列年级前两名的同学与校长合影，校长坐最中间，其余四名同学随机就座，座位号分别记为1，2，3，4（如图所示）．请用画树状图或列表的方法，求八年级两名同学均与校长相邻的概率．
【答案】（1）85，90
（2）九年级成绩更好，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数，掌握列表法与树状图法、中位数、众数的定义是解答本题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义可得答案．
（2）结合八年级和九年级的平均数、中位数、众数可得结论．
（3）列表可得八年级两名同学的所有等可能的就座结果，以及八年级两名同学均与校长相邻的结果，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
将八年级5名参赛选手的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第3名的成绩为85，
八年级参赛选手成绩的中位数．
由统计图可知，九年级参赛选手成绩的众数．
故答案为：85；90．
【小问2详解】
九年级成绩更好．
理由：八年级和九年级的平均分相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数，
所以九年级成绩更好．
【小问3详解】
八年级两名同学的所有等可能的就座情况列表如下：
共有12种等可能的结果，其中八年级两名同学均与校长相邻的结果有：，，共2种，
八年级两名同学均与校长相邻的概率为．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）由根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得：，则的周长为，设，可求，由此时的周长为7，不是偶数，不符合题意，舍去；设，则：，由三角形三边关系得，，，即，，可得，根据的周长为是偶数，求解作答即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴此一元二次方程总有实数根；
【小问2详解】
解：由题意得：，
∴的周长为，
设，则，
解得，，
此时的周长为，不是偶数，不符合题意，舍去；
设，则：，
由三角形三边关系得，，，即，，
解得：，
∵周长m为偶数，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用是解题的关键．
21. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点M在线段上，过点M作轴于点C，交反比例函数的图象于点N，若的面积为2，求点M的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为：
（2）点的坐标为或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设，则，利用三角形面积公式得到，整理得：，解方程即可求得的值，从而求得点的坐标．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，则，
，
把代入得，
解得，
∴一次函数解析式为：；
【小问2详解】
设，则，，
，
，
∴，整理得：，
解得，
∴点坐标为或．
22. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作的切线交于点E，连接交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解答
（2）
【解析】
【分析】（1）由为的直径，得，再证明是的切线，由切线长定理得，则，即可推导出，得，所以；
（2）连接，根据三角形的中位线定理证明，则，由，得，则，求得，由，求得，再证明，得，则．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴的长是．
【点睛】此题重点考查直径所对的圆周角等于90°、切线的判定定理、切线长定理、勾股定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
23. 南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年月底至第二年月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为元/千克的某品牌柑橘降价销售天后，第二次降价到元/千克又销售了天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为（天）（为正整数），日销量为，日储存及损耗费为（元），与满足函数关系；与满足函数关系．（注：利润销售毛利润储存及损耗费）
（1）求此品牌柑橘每次降价的百分率；
（2）已知此品牌柑橘进价为元，设销售该柑橘的日利润为（元），求与之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？
（3）在（）的条件下，求这天中有多少天的利润不低于元？
【答案】（1）；
（2）当时，即第天利润最大，最大利润为元；
（3）天．
【解析】
【分析】（）依据题意，设每次降价的百分率为，从而可得，解方程即可判断得解；
（）依据题意，第一次降价后的价格为元，从而可得当时，，当时，，进而分类讨论分析即可得解；
（）依据题意，由当时当时两种情形分别进行计算分析进而可以判断得解．
【小问1详解】
解：设由题意，设每次降价的百分率为，据题意可得
∴，（不符合题意，舍去）；
答：此品牌柑橘每次降价的百分率为；
【小问2详解】
由题意，第一次降价后的价格为元，
当时，
当时，
当时，，
∵，随的增大而减小，
∴当时，（元），
当时，，
∵，
∴当时，最大值为（元）
综上可知：，
∴当时，即第天利润最大，最大利润为元；
【小问3详解】
由题意，当时，，
∴解得：，
∴，
又为正整数，
∴，故此时为天利润不低于元，
当时，，
∴解得：，
∴当时，有，此时，
故此时有天利润不低于元．
又（天），
综上可知，共有天利润不低于元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题的关键．
24. 如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），于点，交于点，点在上，，的平分线交于点，连接并延长与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）点在边上运动时，探究的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由；
（3）若，当点运动到中点时，求的长．
【答案】（1）证明见解答过程
（2）的大小不会变化，
（3）
【解析】
【分析】（1）由，可证，从而，得；
（2）过点作，与的延长线交于点，连接，证明，得，，再证，得，故平分，；
（3）连接，用面积法求出，再证，可得，故．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：的大小不会变化，理由如下：
过点作，与的延长线交于点，连接，如图：
，
，
又，
，
平分，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
平分，
；
【小问3详解】
解：连接，如图：
为中点，
，
，，
，
，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
，
由（2）知，为定值，且，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系等知识，解题的关键是掌握全等三角形，相似三角形的判定定理．
25. 如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）如图2，过点C作交x轴于点E，交于点F．抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）点M的坐标为或或；
（3）存在，点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解；
（3）当点P在x轴上方的抛物线上时，证明，得到，求出，进而求解；当点P在x轴下方的抛物线上时，同理可解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
由题意得：，
解得：，
则抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：抛物线 的顶点D的坐标为，
∵，
∴，则，
设，则，
则，
①当时，有，
则，
解得：，
故；
②当时，有，则，
此时无解；
③当时，有，则，
解得：或；
故或；
综上所述，点M的坐标为或或；
【小问3详解】
解：存在，理由：
在抛物线上存在点P，使．
令，
解得：，，
∴抛物线交x轴于点，
则，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
①当点P在x轴上方的抛物线上时，
作于G，于H，延长与直线交于点I，过点I作轴于J，
则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（不合题意的值已舍去），
则；
②当点P在x轴下方的抛物线上时，延长与直线交于点K．过点K作轴于L，
∵，，，
∴，
∴，
∴点C为的中点，
∵，，
∴，
同理根据，可求出直线的解析式为：
，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（不合题意的值已舍去），
则点，
综上所述，点P的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的定义，中点坐标公式，勾股定理，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．年级
平均分
中位数
众数
八年级
85
m
85
九年级
85
90
n
1
2
3
4
1
2
3
4