小学数学青岛版（2024）六年级下册啤酒生产中的数学—比例教案

这是一份小学数学青岛版（2024）六年级下册啤酒生产中的数学—比例教案，共48页。教案主要包含了创设情景，提出问题，小组合作，自主探究，汇报交流，评价质疑，抽象概括，总结提升，巩固练习，拓展延伸，评价体验 当堂检测等内容，欢迎下载使用。
教学目标：
1.结合具体情境，理解比例的意义，认识比例的各部分名称，正确判断两个比能否组成比例。
2.联系实际，通过观察、类比推理等数学活动，理解比例的意义，掌握判断方法，培养逻辑推理的能力。
3.在解决问题的过程中，培养学生的合作意识，增强学习信心，激发学习兴趣，体验数学与生活的密切联系。
教学重点：理解比例的意义，正确判断两个比能否组成比例。
教学难点：根据比例的意义，正确判断两个比能否组成比例。
教具准备：多媒体课件。
教学过程：
一、创设情景，提出问题
谈话：同学们，上学期我们研究过了有关比的知识，你对比都有了哪些认识，说说看？
学生通过回顾交流比的意义、基本性质、求比值、化简比等知识为探究新知做好铺垫。
导入：同学们，青岛啤酒享誉世界各地，大麦芽是青岛啤酒的最重要的原材料。请大家看大屏幕，这辆货车已经给工厂运输了两天大麦芽，信息如图。
根据这些信息你能提出哪些关于比的数学问题？
引导学生提出问题：
这两天运输量和运输次数的比各是多少？它们有什么关系？
二、小组合作，自主探究
谈话：同学们提出了这个问题很有研究价值，我们一起来探究吧!
出示活动要求：
⑴算一算：运输量和运输次数的比各是多少？ 它们的比值各是多少？
⑵比一比：仔细观察上面的结果，你有什么新的发现？
学生探究，老师巡视并指导每个小组探究情况，收集汇报交流的素材。
三、汇报交流，评价质疑
谈话：刚才同学们动手、动脑探究了非常有价值的信息，谁愿意把你们小组的成果和大家分享一下呢？
全班汇报质疑，课堂生成预设：
1.运输量和运输次数的比各是多少？它们有什么关系？
组1：第一天运输量和运输次数的比是16：2。第二天运输量和运输次数的比是32：4。
预设：运输量和运输次数的比的比值是相等的，都等于8。
追问：这个比值表示什么？
预设：这个比值表示平均每次的运输量是多少吨。
质疑：两个比的比值相等，我们能不能用一个等式来表示？
预设：能，可以写成16：2 = 32：4。
2.什么叫做比例？
明确：表示两个比相等的式子叫做比例。能举例说明比例各部分的名称吗？
组2：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。比如在16：2 = 32：4这个比例中，16和4是比例的外项，2和32是比例的内项。
质疑：你能把16：2 = 32：4这个比例写成分数的形式吗？
16：2 = 32：4写成分数形式就是。
3.对比：比和比例的区别。
追问：比和比例有什么区别？
预设：比是表示两个数相除，有两个项；而比例是表示两个比相等的式子，有四个项。
4．判断两个比能否组成比例。
再一次追问：如何正确判断两个比能否组成比例？
组3：因为比例是表示两个比相等的式子，所以关键要看两个比的比值是否相等。
质疑：如果不能很快看出两个比的比值是否相等，怎么办?
说明：生先讨论，回答后师再作一讲解：可以化简比。
四、抽象概括，总结提升
刚才，同学们运用观察、类比推理的方法探究了：
表示两个比相等的式子叫做比例。
我们把组成比例的四个数叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
在判断两个比能否组成比例时，关键要看两个比的比值是否相等。
在学习过程中，同学们养成了良好的逻辑推理能力及合作意识，激发了学习兴趣，体验了数学与生活的密切联系。比例的意义为后续学习正反比例奠定了基础，你们一定要结合具体的环境来理解比例的意义！
五、巩固练习，拓展延伸
同学们探究了比例的意义，现在就让我们用今天所学的知识来一展身手吧。
课件出示●小试身手●眼疾手快●过关斩将●勇攀高峰（根据学生的选择进行灵活处理）
眼疾手快
勇攀高峰
小试身手
过关斩将
小试身手
1.教材38页自主练习第1题。
习题处理建议： = 1 \* GB2 ⑴学生自主写出题中的两个比；
⑵引导思考组成比例的两个比有什么特点。
眼疾手快
2.找朋友，把能组成比例的比连起来。（教材38页自主练习第3题。）
习题处理建议：
= 1 \* GB2 ⑴看一看，媒体逐一出示上面信息，引导学生仔细观察；
⑵想一想：判断两个比能否组成比例，你有什么好的方法，与同伴交流？
（判断两个比能否组成比例可以运用求比值、化简比的方法）
过关斩将
声音在空气中的传播情况如下表。（教材38页自主练习第2题）
（1）写出相对应的距离与时间的比，求出比值并比较大小。
（2）说说这个比值所表示的意义。
（3）表中的数据能组成比例吗？请写出几个。
习题处理建议：
= 1 \* GB2 ⑴媒体逐一出示，引导学生仔细阅读题中的信息，培养学生分组练习，在竞
争中完成；
⑵重点引导学生说出这个比值的意义，即声音在空气中传播的速度是每秒340米；并让学生记住这一生活常识；
⑶基础好的班级可以引导学生有什么新的发现。（初步感受函数的思想。）
勇攀高峰
1.教材39页自主练习第4题。
习题处理建议：
(1)比一比：仔细观察，它们各有什么特点？
(2)想一想:判断两个比能否组成比例，关键是看什么？
2.有两个长方形，如图所示,从图中你能得到哪些比例？
50cm
20cm
100cm
40cm
习题处理建议：
= 1 \* GB2 ⑴读一读，多媒体出示题目信息，学生读题理解题意。
= 2 \* GB2 ⑵比一比，看哪位同学写的比例多？
板书设计：
比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
判断两个比能否组成比例，关键是看两个比的比值是否相等。
使用说明：
1、教学反思：回味课堂，我感觉亮点之处有：
= 1 \* GB2 ⑴创设生活情境，引导自主探究。
通过创设生活情境，将学生自然地带入求知的情境中去，在学生已有知识经验的基础上放手让学生去理解并掌握比例的意义，这样更利于培养学生自主探索、提出问题和解决问题的能力。
⑵注重旧知复习，理解抽象概念。
复习旧知，为学生提出问题做出导向，同时降低新授的难度。本节内容是在学生已有的比的知识的基础上，结合货车运输大麦芽的具体实例，引出比例的意义。为降低难度做好准备，教学新内容之前，先复习比的知识。呈现情境图后，学生很容易提出关于比的问题。通过计算比值相等，可以写成一个等式，从而引出比例的意义。
⑶巧设分层练习，激趣当堂达标。
习题处理巧妙设计●小试身手●眼疾手快●过关斩将●勇攀高峰的形式，充分调动孩子的积极性和能动性，激发学生的学习兴趣，引领学生自主解决，增强了教学的时效性，并当堂达标。
2.使用建议：本节课采取复习旧知引入新课的学习方法，在教学时也可以直接由情境导入。
3.需破解的问题：课堂上怎样更好的引导学生结合生活中的素材，理解比例的意义。
比例的基本性质
教学内容：青岛版小学数学六年级下册P37红点二，自主练习 第4、5、6、8题。
教学目标：
1. 通过对比例相关知识的整理回顾，加深学生对数量之间关系的认识，进一步引发学生运用新旧知识的联系探索新知的兴趣。
2．让学生经历：初步猜想—举例验证—总结规律等数学活动过程，积累学生数学活动经验，培养学生初步的观察、分析、比较、判断、概括的能力，发展学生的思维。
3．理解并掌握比例的基本性质，会根据比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例，和解决生活中的一些数学问题的方法，通过对比例性质的运用，体验成功的快乐。
4.渗透假设、验证、优化等解决问题的策略和方法，感受变与不变的思想，体验比例基本性质的应用价值。
教学重难点：
教学重点：探索并掌握比例的基本性质。
教学难点：运用比例的意义和基本性质，判断两个比能否组成比例，并解决生活中的简单问题。
教具、学具：
教师准备：多媒体课件
学生准备： 学习纸
教学过程：
谈话导入，提出问题
谈话导入：同学们，上节课我们学习认识了比例的知识，下面我们一起回顾有关内容。（课件出示）
关于比例，你掌握了哪些基础知识？
引导学生回顾再现：什么叫做比例、项、外项、內项？
判断下面各比中，哪一组能组成比例。（课本P39 页第4题中的部分习题和课本37页红点二的题；学生独立完成，教师板书。学生说出判断比例成立的理由）
6:9和0.9:1.2 14:20和2.8:4 40:2和60:3
展示：
6:9 ≠ 0.9:1.2 14:20 = 2.8:4 40:2 = 60:3
3、教师导语：同学们，刚才大家根据比例的意义先求出比值再判断两个比能否组成比例。今天，老师想告诉你一个小秘密，我们不用求比值就可以判断两个比能否组成比例，你想知道这个秘密是什么吗？其实秘密就藏在比例的两个内项和两个外项之中，它们两者之间可是存在着一种奇妙的关系，下面我们一起来揭穿这个秘密。
[设计意图] 从学生已有的知识经验入手, 引起了学生对已有知识的回忆，让学生“温故”而“启新”，为新课做好准备。
二、自主学习，小组探究
1.猜想：（课件出示课本P37页红点二问题）
在比例里，两个外项与两个內项之间有什么关系呢？

学生思考后教师引导：以刚做过的习题进行尝试猜想，通过看一看、想一想、算一算等方法，试试能不能发现这个关系？
预设： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①学生能够猜想出来两个外项的积等于两个內项的积。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②学生猜想不出来。
教师给出研究方案，引导学生探索、验证。
2.课件出示探究提示：
①观察比例的两个内项与两个外项，用算一算的方法，找同学说一说，你发现了什么。
②是不是每一个比例的两个外项与两个内项都具有这种规律，请你再举出几个例子来验证一下你的发现。
③通过以上研究，你发现了什么？
[设计意图]：这一部分的教学，教师并不是直接让学生去计算两个内项的积和两个外项的积，很快让学生归纳出比例的基本性质。而是让学生在完成判断两个比能否组成比例的练习后，让学生自己去观察、寻找比例中内项与外项的关系，提出自己的猜想，举例进行验证，与同伴合作交流，自己揭示出比例的基本性质，这样学生通过亲身经历的观察比例、归纳猜想、举例验证、交流表达的活动过程，不仅获得了比例的基本性质，更重要的是在学习科学探究的方法，培养学生主动获取知识的能力。
三、汇报交流，评价质疑
1.汇报交流
哪个小组愿意将您们组的发现与大家分享一下？
小组展示汇报，大家分享，相互评价，质疑对话。
6:9 ≠ 0.9:1.2 14:20 = 2.8:4 40:2 = 60:3
两个外项的积6×1.2=7.2 14×4=56 40×3=120
两个內项的积9×0.9=8.14 20×2.8=56 2×60=120
7.2 ≠ 8.1 56=56 120=120
①预设交流结果：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
②课件展示——比例的基本性质
③验证发现，共享成功。
2. 质疑
是不是所有的比例都有这样的规律呢，有什么好办法？（举例验证）应该怎样举例呢？
师：举例验证，这可是一种非常好的数学方法。那现在，咱们可以利用黑板上的比例，也可以自己组一个新的比例，验证看看，是不是所有的比例都是两个外项的积等于两个内项的积。（学生独立举例验证并汇报）
3.课件完整出示课本37页红点二的验证。
（1）师：我们共同以40:2与60:3为例，来验证这个规律。（课件展示过程）
（2）通过举例验证，你们能得出什么结论？
总结规律：
其实我们的发现与数学家不谋而合，他们也发现在“比例中，两个外项的积等于两个内项的积”，并且给它起了个名字，叫做比例的基本性质。（板书：比例的基本性质）
4. 完善
（1）如果用字母表示比例中的四个项，即a:b=c:d，那么，比例的基本性质用字母可以表示怎么表示？（ad=bc或bc=ad）
（2）质疑：老师这里也有一个比例0:3=0:4，可以吗？那么3:0=4:0呢？
（结论：比例中两个比的后项都不能为0）
（3）如果比例写成分数形式 =，这怎么相乘？（交叉相乘）
【设计意图]：不完整的比例激发学生根据比例的意义猜数的兴趣，教师举例示范，为学生小组合作举例验证比例的基本性质搭建支点，意在让学生经历“猜数——猜想——验证——归纳——完善”的知识探究过程，激发学生的探究欲望，让学生学会学习的方法，提高学习能力。】
三、抽象概括，总结提升
看来同学们很会观察，很会思考，很会验证，自己发现了比例的一条规律。你们不但可以根据算出比值判断两个比能否组成比例，还可以根据比例的基本性质，分别算出两个外项和两个内项的积是否相等来判断两个比能否组成比例。我们在小学阶段，在继分数、比的基本性质之后学习的第三个基本性质。运用它，我们可以解决许多数学问题。
四、巩固应用，拓展提高
1．自主练习第4题（剩下的部分）。
下列各比中，哪两个能组成比例？请把组成的比例写出来。
2:2.5 ： ： 0.4:0.5
温馨提示：学生独立完成后集体订正。交流时，重点谈谈想的过程，既可以根据比例的意义，也可以根据比例的基本性质进行判断，只要学生说的合理，都要给予肯定。
2.自主练习第5题。(课件出示)

（1）以小组为单位，先由1人说出一个比，其余的组员说出能与这个比组成比例的另一组比，并说出思考方法。
（2）小组内其他同学共同检验。
（3）组内成员每人轮流先说出一个比。
3.自主练习第39页第6题。(课件出示)
(学生独立完成，集体交流方法)
五、课堂总结
同桌俩互相说说自己在这节课都有哪些收获？（同桌互说后，师随意挑选多个同学说出他们在这一节课的收获）
板书设计：
使用说明：
1.设计说明：回味课堂，我感觉本节课的教学设计，亮点之处有：
（1）注重旧知识迁移，激发学生求知欲
新旧知识的联系是解决新问题的关键，本节课在学习比例的基本性质前，借助有关比例、项等知识，让学生判断哪组比能组成比例，并说出判断方法。当学生说出运用比例的意义进行判断时，教师引出新的知识，过渡自然，激发学生学习兴趣和探索欲望。
（2）用教材教，体现教学的民主性。
因为学生对比的知识了解甚多，所以在研究“比例的基本性质”的时候，不是教师出示教材中的例子，而是让学生自己举例研究，使研究材料的随机性大大增强，从而提高结论的可信度。这样也能让学生体会到归纳法研究的过程，并渗透科学态度的教育
（3）培养习惯，抓住时时刻刻。
在运用比例的基本性质进行判断时，要求学生讲明理由，培养学生有根据思考问题的良好习惯；在填写比例中未知数时，不仅要求学生说出理由，还要求学生进行检验，这样培养学生良好的检验习惯和灵活解决问题的能力，培养良好的学习习惯。
2、使用建议：
（1）学生在寻找能组成比例的比时，基本上是求完比值再写比例。在探究、寻找规律时，教师可适当给予提示。
（2）教学时，可根据本班学生的实际情况，增减部分有针对性的练习，以使学生进一步巩固理解。
3、需要破解的问题。举例验证比例的基本性质，并不是严格意义上的验证，是否有必要向学生说明。多个相等的比组成的连比式，是否有必要向学生作简单介绍。
解比例
教学内容：青岛版小学数学六年级下册第36-38页信息窗1，红点3。
教学目标：
1．进一步理解比例的意义和比例的基本性质。
2．知道什么是解比例，掌握解比例的方法，会解比例。
3．培养认真、仔细的良好习惯，提高计算能力，培养学生学习数学的兴趣。
教学重、难点：
1.掌握解比例的方法，学会解比例。
2.根据比例的基本性质，将比例改写成两个内项积等于两个外项积的形式，即已学过的含有未知数的等式。
教学用具：多媒体课件
教学过程
一、示标导学
创情导课
同学们，上节课我们一起学习了比例的意义和基本性质，谁能来说一说什么叫做比例，它有什么性质呢？
生：……
应用比例的基本性质，判断下面每一组中的两个比是否可以组成比例？
6∶10和9∶15
20∶5和4∶1
根据比例的基本性质，将下列各比例改写成其他等式。
3∶8＝15∶40 1.5∶0.2＝30∶4
[设计意图]：多角度多样化的复习比例的意义及比例的基本性质。关注学生已有的知识经验，使知识全面系统化，为新知的建构做好铺垫。
那么，根据比例的基本性质，还可以解决哪些有关问题。
今天让我们继续学习有关解比例的知识。
学习目标
本节课要达到以下学习目标（多媒体出示）：
（1）进一步理解比例的意义和比例的基本性质。
（2）知道什么是解比例，掌握解比例的方法，会解比例。
3.出示自学指导
为了达到学习目标，请看自学指导：
请同学们把3∶8＝15∶40 1.5∶0.2＝30∶4这两题中的任意一项用x来代替（可任意改换一项）。思考：（1）如果已知任何三项，可不可以求出这个比例中的另外一个未知项？然后结合课本38页自主练习上面的内容，重点看方框内的解题过程想一想什么叫做解比例？（2）解比例的依据是什么？（3）解比例的具体方法是怎样的？
（5分钟后，比谁会做与例题类似的题目。）
读书自学
请同学们根据“自学指导”开始自学，比一比谁看书最认真，谁自学效果最好。（师深入每个小组，巡视了解学情）
三、汇报交流
（一）揭示解比例的意义。
1．将上述两题中的任意一项用x来代替（可任意改换一项）。
讨论：如果已知任何三项，可不可以求出这个比例中的另外一个未知项？说明理由。
2．学生交流得出：
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以把它改写成内项积等于外项积的形式，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。
3．教师明确：
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。（板书课题）
解比例的依据
1.教师出示例题：解比例20∶25＝4∶x =
温馨提示：
（1）在比例里，怎样求出比例中的另外一个未知项？
（2）试着求出比例中的未知项。
（3）应用了比例的那什么知识?
学生板演其他生尝试，教师巡视指导
2.汇报解题方法
围绕上面的问题进行交流, 交流时规范解比例的书写过程。
（1）组织学生交流并明确．
师：根据比例的基本性质，可以把比例改写为什么结果呢？
生：改写为：20x ＝25×4．
师：写这个算式时 要注意什么？（强调一定是2内项相乘，2外项相乘）
生：展示结果：
板书：解：20x＝25×4
x=
x＝5
师讲解：像上面这样，利用比例的基本性质求比例中的未知项，叫做解比例。
（2）学生独立完成 = ：x=3： 。
师：根据比例的基本性质，可以把比例改写为什么结果呢？
生：我运用比例的基本性质，将=两边的分子和分母交叉相乘，得到4χ=5×9，再解出这个方程就可以了。
生：我运用比例的基本性质，将：x=3：的两个内向相乘，2个外向相乘，得到3x=×再解出这个方程。
（三）解比例的具体方法是怎样的？
师生共同归纳总结解比例的方法：根据比例的基本性质，把比例式转化成一个乘积式，这个含有未知数的等式实际上就是方程，我们一般把含有未知数的项写在左边，再用解方程的方法即可求出未知数的值。
解决问题的关键：用比例的基本性质将比例式改写成乘积式。
课件出示规范的解答过程，便于学生对照检查方法和格式。


学习诊断
1.出示课本40页，自主练习第13题
再一个比例中，两个内项的积是10，一个外项是4，另一个外项是多少？
【友情提示】：
（1）想一想：“两个内项的积与两个外项积之间的关系。”
（2）交流时，重点让学生说计算的方法。
2.出示课本40页，自主练习第10题
【友情提示】：
（1）列式独立进行计算。
（2）全班交流完善想法。
3.出示课本40页，自主练习第9题
【友情提示】
（1）想一想， 解比例的方法步骤。
（2）议一议，解题过程中要注意什么问题？
（3）说一说， 计算的方法，全班交流。
五、互助释疑
1）更正。让发现错误或不同算法的学生上台更正。要求用不同颜色的粉笔在错误旁边改正，不要擦去原来的。
（2）讨论。引导学生逐题讨论谁对谁错，重点说出对错的原因。
（3）互改。组织学生同位互改，错误的学生及时订正，然后统计全班对错情况，并让错误学生代表说说错因。
（4）评价。对学生的板演从对错和书写两方面进行评价，正确100分，书写10分，以“100＋10”的形式评价学生的板演，激励学生养成良好学习习惯。
（5）小结提升
通过本节课的学习，你有哪些收获？
预设：
生1：求比例中的未知项，叫做解比例。
生2：解比例时，根据比例的基本性质，先把比例式转化成方程的形式，再通过解方程求出未知项的值。
生3：解比例的关键是什么？应用比例的基本性质怎样解比例？
师：通过本节课的学习，我们进一步理解力解比例的意义，掌握了解比例的方法，解决此类问题的关键是用比例的基本性质将比例式改写成乘积式，即我们以前学习过的方程，再用解方程的方法即可求比例中的未知项。
检测作业
《新课堂》第33-34页第1-4题。
板书设计：
解比例

设计说明：
1.我感觉亮点之处有
（1）密切新旧知识间的联系，利用转化的方法建立用原有知识推动新知识学习的策略，将新知识解比例转化成以前学过的旧知识解方程。
（2）充分突出学生的主体地位，将新知识解比例转化成旧知识解方程这个转化过程完全建立在学生的自主探索上，让参与学习的全过程，主动地获取知识，解决问题，获得成功的体验。
（3）通过解答相关习题，使课继续、味以然，从而巩固解比例， 提高学生合作学习习惯，从中体验成功的快乐，增强学习数学的信心。
2. 使用建议：解比例一课是学生学习了比例的基本性质后进行的，实际上是一节比例基本性质的应用课。在解比例时，要先根据比例的基本性质把含有未知项的比例式改写成一般的方程，再运用解方程的方法求出未知数。在把含有未知项的比例式改写成方程时，要注意外项（或内项）乘积等于内项（外项）乘积的运用，不能用错。
3. 需破解的问题：（1）在学生掌握了用比例的基本性质解比例这种方法后，是否可以引导学生把比例和除法联系起来，用比例与除法的关系解，体现解法的多样化。（2）学生计算的技巧没有形成，有些式子在计算时可以约分的，不知道约分；式子中有分数和小数的计算不够熟练，解题准确率低。
正比例的意义
教学内容：
青岛版小学数学六年级下册41——42页第1课时
教学目标：
结合具体实例，感知成正比例关系的两种量之间的变化规律，和比值一定的特征,从而理解正比例的意义。
2.能根据正比例的意义，能判断两个相关联的量是否成正比例。
3.通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，培养学生分析、判断、概括能力；渗透初步的函数思想。
4.进一步感受数学与生活的联系，体会数学的应用价值。
教学重点：感知成正比例关系的两种量之间的变化规律，和比值一定的特征。
教学难点:正确判断两种量是否成正比例关系。
教学具准备：课本情境图、多媒体课件。
教学过程：
创设情境、初步感知
1.谈话导入：我们在第一次走进啤酒厂参观时，发现运输量和运输次数这两种量之间，有比值一定的关系，因此这两个比可以组成比例。
2.收集信息：
师：今天，再次来到啤酒厂，走进啤酒生产车间，呈现我们面前的是这样一个表，（课件出示情境图）
啤酒生产情况记录表
仔细观察，你收集到哪些信息？（目的：理解表格所记录的信息）
根据你发现的信息，能提出哪些数学问题？
工作总量和工作时间的比各是多少？他们有着怎样的关系？
【设计意图：收集信息时，仅让学生理解、明白表格所呈现的内容，有助于问题的提出。而且学生刚学完比例，他们对这两个量问题的建构，还停留在求比值找规律这一层次上，因此根据他们的知识基础，再有目的的引导，感知两个量的变化关系。】
二、自主学习、小组探究
过渡：要想解决这个问题，请同学们仔细观察记录表，完整、有序的观察，并做好记录，请看探究提示：（课件出示）
★观察工作总量和工作时间是如何变化的？
★写出工作总量和工作时间的比，算出比值，想一想比值表示什么。
★试着用一个式子表示这两个量的这种关系。
学生独立列举数据，算一算并交流自己的发现，在此基础上全班汇报。
教师参与到小组活动中，给予学生必要的指导。
三、汇报交流、评价质疑
1、初步感知成正比例关系的量的变化关系。
★观察工作总量和工作时间是如何变化的？
预设：
工作时间越长生产的啤酒越多，工作时间越短生产的啤酒越少。
工作时间增加，工作总量也增加。反之工作时间减少，工作总量也减少。
工作总量是随着工作时间的变化而变化的。
师引导学生总结：
工作总量和工作时间是两种相关联的量，工作总量随着工作时间的变化而变化。
2、再次感知成正比例关系的量的特征。
★写出工作总量和工作时间的比，算出比值，想想比值表示什么？并试着用一个式子表示它们的这种关系。
预设：（教师根据学生的汇报适时进行板书）
工作总量与工作时间的比分别是：
15:1=15 30:2=15 42:3=15 60:4=15 75:5=14 90:6=14 105:7=14
工作总量与工作时间的比，比值都相同，都是15，比值是指工作效率。用关系式表示为：
工作总量：工作时间=工作效率（一定）
师小结：工作总量与工作时间的比值都相等，我们也可以说工作总量与工作时间的比值一定， 即工作总量：工作时间=工作效率，工作效率一定。（板书）
【设计意图：通过让学生分两次感知，进一步明确成正比例的量的两个必要条件一是增减相同，二是比值相同，让学生在探究、交流中获取知识。】
3.初步了解正比例图像。
师呈现工作总量和工作时间变化情况图。（课件）
引导：如果将这种变化情况在统计图上表示出来，形成这样的图像，看有什么发现。
预设：
工作总量和工作时间的关系所绘出的图像是一条直线。
4.认识正比例
师：经过刚才的探究，发现啤酒生产的工作总量与工作时间之间，有三个显著的关系即：
①工作总量随工作时间的增加而增加，减少而减少。
②工作总量与工作时间的比值（工作效率）一定。
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③工作总量和工作时间的关系所绘出的图像是一条直线。
四、抽象概括、总结提升
师总结：由此可见，工作总量和工作时间是两种相关联的量，工作时间变化，工作总量也随着变化，而工作效率不变，也就是工作总量与工作时间的比值一定，我们就说工作总量和工作时间是成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
在探索正比例意义的活动中，我们经历了怎样一个学习过程？
观察数据
分析数据
发现规律
总结概念
1.下面表格中的量成正比例关系吗？为什么？
①
②
③
学生独立试做，教师巡视查看。
在汇报时，师可以引导学生按照以下思路完成：
表中（ ）和（ ）是有联系的量。
任意写出几个相对应的●和●的比，并算出它们的比值。
比值实际上表示（ ），请用式子表示它们的关系。
因为（ ）是一定，所以●和●成（ ）比例。
【设计意图：在具体事例和具体解决问题思路中，去进一步体会成正比例关系的量之间的关系，明确什么样的量是成正比例的量，初步认识并不是所有的量都成正比例关系。为进一步揭示正比例的意义奠定基础。】
2.找找身边的正比例
正比例在生活、生产中的应用很广泛，想一想，生活中还有哪两种量能成正比例关系？
教师指导学生找生活中成正比例的量，可以用列举数据的方法来辅助说明，比单纯的语言叙述要更有说服力。
学生汇报，师生共同归纳。
3.概括正比例的意义。
现在用自己的语言说说对正比例的理解。
生用自己的语言解释后，教师再归纳、提示。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，而且这两种量中相对应的两个数的比值一定。像这样的两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母X和Y表示两种相关联的量，用字母K表示它们的比值，可以这样表示正比例关系：
X：Y=K（一定）
五、巩固应用、拓展提高
会判断这些量之间的关系吗？
学生独立完成，然后集体汇报。
本题是巩固正比例意义的基本练习，关键是引导学生先算出每组对应的数据的比值，找到不变的量是什么，再结合正比例的意义进一步判断。
看图了解正比例
下图是生产某种啤酒时，生产啤酒的总量与所需大麦芽吨数的关系
（1）从图中你可以发现什么？
（2）根据上图说一说，7吨大麦芽能生产多少吨啤酒？
（3）估计一下，要生产95吨啤酒需要多少吨大麦芽？
3.自主练习第2题：
学生先想一想，什么情况下两个数量成正比例？再独立解答。
分析：
这一题是对正比例意义的深化练习，再次对正比例的意义加深理解，同时让学生再次明确并不是所有的量都能成为正比例。
第（1）小题播音时间与播音字数的比值一定，所以播音时间与播音字数成正比例；第（2）小题虽然已播字数与未播字数也是有联系的量，但是已播字数与未播字数的比值不一定，所以不成正比例。
4、判断下面的两种量是否成正比例，并说明理由。
①每身校服的价钱一定，购买的件数与总价。
②平行四边形的高一定，它的底与面积。
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③一个人的年龄与体重。
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④一个加数是8，另一个加数与和。
学生独立完成，关键让学生体会两个量要成为正比例就必须比值相等，与加、减、乘没有关系。
六、评价体验 当堂检测
这节课我们研究了什么问题？你有什么收获？
学生自由回顾交流，重点还是就正比例的意义和判断方法进行回顾，在判断正比例时教师引导学生：首先要找到不变的量是谁，然后再对比其比值。
回顾时可以让学生借助具体的数据，便于简单化。
自主练习的第1、2题作为当堂检测题。
板书设计：
正比例的意义
工作总量与工作时间的比各是多少，有着怎样的关系？
15:1=15 30:2=15 42:3=15 60:4=15 75:5=14 90:6=14 105:7=14
工作总量：工作时间=工作效率（一定）
（比值）
观察数据
分析数据
发现规律
总结概念
X：Y=K（一定）
使用说明：
1．设计说明：
（1）尊重孩子知识基础的探究。学生有学习比例的基础，再设计这样两个量的问题，他们会自然而然的提出比的问题，并求比值，这样就让我们的探究直接深入重、难点还节。抓住问题的精髓。然后通过大量的数据对比和具体事例让学生逐步加深对正比例意义的理解，促使学生对正比例意义的感知，一次比一次明确，一次比一次具体全面。
（2）在抽象概括总结提升中有两次提示，一个是根据情境中两个量的提示，一个是结合具体的实例、生活中的应用之后的广义的提升，这样，学生能更好的建构正比例的模型与意义。
2.亮点：由于正比例的意义比较抽象，学生理解起来较为困难，教学时要指导学生找到固定的量，并且明确这个量是两个变量的比值。最好还是选用列举数据的方法。
3．困惑：课本中说到相关联的量，在学习比例时也没有这样的基础，我们应何时渗透？
正比例图像
教学内容：青岛版六年级下册41页 信息窗2 正比例图像
教学目标
1.能用“描点法”画出表示正比例关系的图像，初步理解图像上点所表示的实际意义，进一步认识成正比例量的变化规律，并能借助直观图像解决实际问题。
2. 初步认识正比例的图像是一条直线，能根据给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的图象，能根据具有正比例关系的一个量看图估计另一个量的数值。
3.体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动参与学习的习惯。
教学重难点
教学重点：能正确认识正比例关系的图像，认识成正比例量的变化规律。
教学难点：利用正比例图像的解决实际问题。
教具、学具
教师准备：多媒体课件；学生准备：直尺
教学过程：
创设情境，提出问题。
谈话：同学们，通过上节课的学习，我们知道了在啤酒生产中，工作总量和工作时间是成正比例关系的两个量，为了更直观反应这两个量之间的关系可以用图像把它们表示出来。（课件出示图表）
你能把上图中的工作时间和工作总量之间的关系在下图中表示出来吗？（课件出示未画图的空白坐标系）
二、自主学习，小组探究。
让学生在方格纸上尝试画图。
活动要求：
= 1 \* GB2 ⑴看一看，上图中横轴表示什么，纵轴表示什么？
= 2 \* GB2 ⑵画一画，你能根据工作时间和工作总量之间的关系在图中描出对应的点吗?
= 3 \* GB2 ⑶连一连，把对应各点顺次连起来，你有什么发现？
放手学生描点操作，师巡视指导，收集交流素材。
三、汇报交流，评价质疑
1.展示学生画图，感知正比例图像。
让学生到黑板前面，与同学面对面展示研究过程。（也可在多媒体上展示）

引导学生交流画法：在横轴上先找到表示时间的点，然后向横轴做垂线，在纵轴上找出表示相应工作总量的点，向纵轴做垂线，两条垂线的交点就是对应点，分别描出每组数据的对应点，然后把它们顺次连起来。
猜想：这些点连起来好像是一条直线，是不是这样呢？
学生验证：
= 1 \* GB3 ①用直尺放在各点上，画一画。
= 2 \* GB3 ②观察各点是否在同一直线上。
质疑：0点表示什么呢？
让学生反相延长直线到0点和右上角点，教师引导学生说出0点表示工作0小时就生产了0吨啤酒。右上角点表示工作8小时生产了的吨数。
小结：大家把所描的各点连起来都在一条直线上。看出正比例的图像就是一条直线，而且是一条斜着向右上的一条直线，也就是说随着工作时间的增大，工作总量也不断增大；反之，随着工作时间的减小，工作总量也不断减小，其比值不变。我们可以利用这个发现判断两个量是否成正比例。
起初，人们研究数量关系，只是反反复复地算来算去。数和形是数学的两大根基，以前毫不相干，正是笛卡儿的发明，把“数”转化为“形”的图像，从此数学发展更蓬勃，令数有了几何意义，是很多高等数学的思想。这是数学史上的伟大创举!大家的发现和数学家想的一样，好样的。
2.引导学生利用正比例图像解决问题 。
师用媒体再次出示学生画图。
问题：
（1）根据画图估计一下2.5小时可以生产多吨啤酒？
（2）估计一下，要生产77吨啤酒需要多少小时？
引导学生：
= 1 \* GB3 ①想一想，2.5小时大约在横轴的什么位置，能否在正比例图像上找到相对应的点？这个点对应纵轴上什么位置？
= 2 \* GB3 ②动动手，利用三角板在图上试着画一画、找一找、验证一下。
= 3 \* GB3 ③动画演示，将想象的点画出来。
得出结论：
师讲解：看来在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，就能够在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值，用它来解决生活中的问题。从这个图像我们也可以直观的看出这两种量同时扩大或缩小的变化规律。
四、抽象概括，总结提升
今天我们通过猜想验证和“画一画、说一说、估一估”等数学活动，学会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，知道成正比例的量所对应的点都在一条直线上，初步认识了正比例图像。并能在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值。
五、巩固应用，拓展提高
看来今天同学们掌握的不错，下面我们就用它来解决生活中的实际问题吧！
1.媒体出示绿点内容：
下图是生产某种啤酒时，生产啤酒的总量与所需大麦芽吨数的关系。
精致导练：
（1）仔细观察图象，生产啤酒的总量与所需大麦芽吨数之间有怎样的关系？
（2）根据上图说一说，用7吨大麦芽能生产多少吨啤酒？
（3）估一估，要生产95吨啤酒大约需要多少吨大麦芽？
此题设计是处理教材绿点内容，引导学生由图象得出生产啤酒的总量与所需大麦芽吨数之间成正比例关系，根据图象由大麦芽的吨数能说出生产啤酒的总量，由生产啤酒的总量能找到需要大麦芽的吨数，渗透数形结合的思想。
2.自主练习第6题
一辆汽车行驶的路程和时间之间的关系如下图。
习题解析：
（1）看一看，横轴、纵轴分别表示什么？时间和路程之间有怎样的关系？
（2）说一说，要行驶600千米大约需要多少小时？
（3）估一估，这辆汽车8.5小时大约行驶多少千米。
引导学生观察图象，能得出时间和路程成正比例关系。能根据图象由时间估计路程，由路程能估计所需时间。
3.自主练习第9题
在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下表。
处理建议：
（1）弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例关系吗？说明理由。
（2）试一试，你能在右图中画出它的图象吗？。
（3）根据上图估计一下，称2.5千克物体时，弹簧大约伸长多少厘米？
引导学生发现：在生活中有很多成正比例的两个量，都能画成正比例图形。进而感受数学与生活的紧密联系。
板书设计： 正比例图像
工作总量（吨）



90
75
60
45
30
15
0
1 2 3 4 5 6 7 8 工作时间（时）
正比例图像是一条直线。
设计说明：1.本教案设计亮点有：
（1）自己动手，经历过程。
本节课，让学生在具体情境中通过“画一画”的活动，在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，初步认识正比例图像，学生在描点画线的过程中感悟、体会，掌握知识技能。通过画线在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值，利用正比例图像，判断两个量是否成正比例的关系。
（2）大胆放手，自主探索。
在教学过程中，充分发挥学生的主体地位，把需要解决的问题大胆放给学生自主解决，通过先想一想，猜一猜，再想法验证的学习模式，训练学生的思维能力，获取必要的数学知识，如：汇报交流环节2，再次自主学习，小组探究仔细观察上图中的点，你有什么发现？通过友情提示：先猜一猜、想一想、再用直尺标一标、画一画。从而你想到啦什么，就是这样处理的。
2.使用建议：书中给的坐标轴已标完点，也连完点的。为了给学生提供更多的动手操作机会，给学生提供一些空白的坐标轴图。让学生亲自尝试画出正比例的图像，体会每个点都应该表示工作总量和工作时间的一组对应数值。
3.需要破解的问题：怎样通过本堂课，向学生渗透函数思想？
反比例的意义
教学内容：青岛版小学数学六年级下册46--48页第三单元，信息窗3 第1课时。
教学目标：
1. 经历反比例意义的构建过程，培养学生的探索发现能力和归纳概括能力。根据反比例的意义，正确判断两个相关联的量是不是成反比例。
2. 通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，培养学生分析、判断、概括能力；渗透初步的函数思想，建立事物是相互联系的这一辨证观点。
3. 利用反比例解决一些简单的实际问题，感受反比例在实际生活中的广泛存在及应用。
教学重难点：
教学重点：理解反比例的意义，正确判断成反比例的量，利用反比例解决一些简单的实际问题。
教学难点：引导学生通过观察、发现，思考反比例关系中两种相关联的量的变化规律。
教学具准备：多媒体课件
教学过程：
一、创设情景，提出问题。
1.回顾旧知，感受新知
同学们，上节课我们学习了有关正比例的知识，请回忆一下，怎样判断两个量是成正比例关系的量呢？
学生先独立思考，再与同桌相互说一说，最后全班汇报。
整理：判断两个量成正比例具备的三个特征
一是两个相关联的量；
二是两个量的变化方向相同；
三是两个量的比值相同。
找出生活中常用的成正比例的量。
常用的数量关系式：速度一定，路程和时间成正比例；单价一定，总价和数量成正比例；工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例。……
判断两个量是否成正比例时，注意语言要规范。
2.情境导入，提出问题
今天我们继续走进啤酒厂，看看能有哪些新收获。课件出示课本情境图：

（1）学生观察情境图，完整的说说图中的信息；
（2）根据所获得的的信息提出问题。
教师根据学生的提问，引导并选择性板书：
每天的生产吨数与需要生产的天数这两种量有什么关系呢？
啤酒厂一共要生产多少吨啤酒？
二、自主学习，小组探究。
利用图表，观察并分析数据，讨论探索变化。课件出示表格：

学生仔细观察，先独立思考，再在小组内交流自己的发现。
温馨提示:
（1）生产的天数是如何随着每天生产的吨数的变化而变化的？
（2）计算出啤酒厂一共要生产多少吨啤酒，看看有什么发现。
（3）在这个变化过程中，哪个量没有发生变化？
学生小组讨论交流，教师参与到学生探究活动中，倾听并指导学生探究。引导学生初步感知“每天生产的吨数和需要的天数”这两种量的变化：每天生产的吨数越多，需要的天数就越少，每天生产的吨数越少，需要的天数就越多。进而得出需要的天数是随着每天生产的天数的变化而变化的。
教师巡视指导，找出学习效果较好的小组准备汇报。
三、汇报交流，评价质疑。
再次出示探究要求，对照要求学生逐一汇报，其他小组补充完善。
（1）生产的天数是如何随着每天生产的吨数的变化而变化的？
（2）计算出啤酒厂一共要生产多少吨啤酒，看看有什么发现。
（3）在这个变化过程中，哪个量没有发生变化？
1.汇报交流,探索变化
小组代表汇报，其他小组认真倾听，随时补充完善。
（1）我们发现：每天生产的吨数增加，需要的天数就减少；每天生产的吨数减少，需要的天数就增加。老师根据学生的回答利用课件进行动态演示：
或者举例说明每天生产的100吨扩大2倍变成200吨，那么需要的天数就是60天缩小2倍变成30天；同样每天生产的吨数缩小几倍，需要的天数也就扩大几倍。“需要的天数”与“每天生产的吨数”两者之间的变化规律恰好相反。
展示学生作品：
2.计算比较，探索定值
（2）我们计算出啤酒厂一共要生产6000吨啤酒，即：
100×60 ＝6000（吨） 200×30＝6000（吨）
300×20 ＝6000（吨） 400×15 =6000（吨）
500×12 =6000（吨）……
（3）我们发现无论每天生产的吨数和所需的天数如何变化，这批啤酒的总吨数都没有变化，都是6000吨。
教师引导提问：6000是哪两个量对应数据的乘积？把这个关系式写出来。课堂预设：每天生产的吨数×需要生产的天数＝总吨数
质疑：在这个关系式中，总吨数不变，那么它是个什么量？
总吨数不变，在数学上叫做一定，也就是每天生产的吨数和需要生产的天数的积（总吨数）是一定的。
即：每天生产的吨数×需要生产的天数＝总吨数（一定）
3. 借助对比，理解意义
质疑：想一想这种变化关系和成正比例关系的两个量间的变化规律有什么异同点？
学生思考，再与同桌相互说说，最后全班交流。
（1）相同点：都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；
（2）不同点：① 变化规律不同，正比例关系的两个量的变化规律相同，而这里的两个量的变化规律相反；② 正比例关系的两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，而这里是乘积一定。
四、抽象概括，总结提升。
1.概念归纳
通过我们的探究得知，这种变化关系也具备了三个特征： = 1 \* GB3 ①有两个相关联的量， = 2 \* GB3 ②这两个量的变化规律相反， = 3 \* GB3 ③这两个量的乘积相同。
每天生产的吨数和需要的天数是两种相关联的量，每天生产的吨数变化，需要的天数也随着变化。总吨数不变，也就是每天生产的吨数与需要的天数乘积一定，我们就说每天生产的吨数和需要的天数是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系也可表示为： x×y= k（一定）
2.明确判断方法
根据反比例的意义，类比正比例的判断方法，我们发现判断两个相关联的量是否成反比例，首先要抓住它的本质，探索其变化规律；同时也要抓住其要点，即判断其乘积是否一定。
总结为： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①必须有两个相关联的量。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②写出关系式。
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③乘积是不是一定。
3.联系生活，加深理解
（1）教师举例，抛砖引玉。
生活中成反比例的两个量是比较多的，比如一辆汽车行驶的路程一定，行驶的速度和时间成反比例。因为速度×时间=路程（一定）
（2）学生举例
买苹果的总价一定，苹果的单价和数量成反比例，因为单价×数量=总价（一定）。
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，因为工作效率×工作时间=工作总量（一定）……
五、巩固应用，拓展提高。
1． 教材47页自主学习第1题。
温馨提示：先算出每组对应数据的乘积，找到哪一种量是不变的，再结合反比例的意义进行判断：因为每页的字数×页数=总字数（一定），所以每页的字数和页数成反比例。
2.教材47页自主练习第2题。
已知x和y成反比例关系，请填写下表。
温馨提示：x和y成反比例关系说明什么？ 让学生明确解决这道题目，要抓住反比例的关键，得出乘积一定即x×y=8×4=32。
3．教材47页自主练习第3题。
判断下面各题中的两种量是不是成反比例，说说你的理由。
（1）煤的总量一定，每天的烧煤量与烧煤的天数。
（2）长方形的面积一定，它的长与宽。
（3）学校计划植500棵树，已植的棵数与未植的棵数。
（4）飞机从北京飞往上海，飞行的速度与需要的时间。
学生先独自判断，再集体订正，重点说说成与不成反比例关系的理由。教师可引导：
（1）每天的烧煤量×烧煤的天数=煤的总量（一定）
（2）长×宽=长方形的面积（一定）
（3）已植的棵树＋未植的棵树=500棵（一定），不是乘积一定。
（4）速度×时间=路程（一定）
4.教材47页自主练习第4题。
印刷厂用6000张纸装订练习本。先填写下表，再思考每本的页数与装订的本数有什么关系。
学生独立完成，指名学生口答，说明理由。重点让学生明确：在本题中哪些量是变化的？哪个量是不变的？这两种相关联的的量是如何变化的？再让学生用关系式来表示这两种变量间的关系。
5. 小华看一本书，已看的页数和剩下的页数如下表，把下表补充完整。想一想已看页数和剩下页数能不能成反比例？为什么？
这道题实际是判断题第三小题（学校计划植500棵树，已植的棵数与未植的棵数。）的进一步解释。明确：虽然是剩下的页数随着已看页数的变化而变化，总页数也一定；但是已看页数与剩下页数的和一定，所以不成反比例关系，同样也不成正比例。
全课总结：
这节课学习的是什么内容?反比例关系的意义是什么?判断两种量是不是成反比例，关键是什么?
学生自我整理，汇报。
教师根据学生回答，进一步强调：本节我们初步了解了反比例的意义，并能运用反比例的意义判断一些简单的问题。通过正、反比例意义的对比，使我们进一步认识到，要判断两种相关联的量是否成反比例的关系，要抓住两种相关联的量的变化规律，这是本质。
板书设计：
反比例的意义
设计说明：
1.教学反思：回味课堂，我感觉亮点之处有：
（1）温故知新，渗透难点。
联系旧知，抓住概念与旧知之间的联系，在联系中渗透重点难点，为引出概念打下伏笔，减轻学生理解概念的困难程度，使得学生对概念的理解轻松有效。
（2）重概念的形成过程，加强思维训练。
数学上，学习概念的最终目的是应用于实际，灵活解决实际问题，而实现这个目标归根结底依赖于对概念的本质理解。本节课注重在得出概念之前下功夫，设计多种教学环节，利用各种教学手段使学生充分体验得出反比例的思维过程，先做到对反比例本质的理解，再顺理成章的引出反比例的理论---用语句表达。 （3）重知识的迁移。
《反比例的意义》是继《正比例的意义》一课后学习的内容，两节课的学习内容和学习方法有相似之处，比较适合使用比较法。教师知识起到引导、点拨的作用，放手让学生对于相似的内容，从知识的差别中找到同一，从同一中找出差别，把新知识深化拓展。
2.使用说明：
反比例关系是一种重要的数量关系，它渗透了初步的函数思想，又为中学数学的反比例函数的教学奠定基础。本节课在教学时师生互动、生生互动、知识点的生成与强化，任务较多。因此小组活动要出效果，教师巡视时要多观察、多指点，典型发言的同学要给其他同学一个规范地引领。
3.困惑：学生在判断两个量是否成正、反比例关系时，对于两个量的比值或是积表示的意义在表达上有一定的难度。
用正比例知识解决问题
教学内容:青岛版六年级上册第三单元信息窗4第1课时（第1个红点）。
教学目标
1．掌握用正比例的方法解决相关实际问题。
2．通过解答实际问题进一步熟练地判断成正比例的量，加深对正比例意义的理解。
3．培养学生分析问题、解决问题的能力。
4．发展学生综合运用知识解决简单实际问题的能力。
教学重点：掌握用正比例的方法解答相关实际问题。
教学难点：能正确判断两种相关联的量成什么比例，正确列出比例式。
教具准备：多媒体课件。
教学过程
一、创设情景，导入新课。
谈话：同学们，前几节课，通过解决“啤酒生产中的数学问题”认识了比例、
正反比例。这节课我们继续到啤酒厂参观，又会发现哪些数学问题呢。
课件出示
学生找信息，提出数学问题。
根据学生的回答，板书：
2个箱子能装24瓶啤酒，现在有480瓶啤酒，装480瓶啤酒需要几个箱子？
学生读信息和问题。
师谈话：这节课通过解决这个问题，我们一起来学习用正比例知识解决问题。
板书课题：正比例知识解决问题
二、自主学习，合作探究。
1.交流解决问题的策略
师提出问题：根据你们以前解决实际问题的经验，你们认为怎样思考这个问
题呢？
学生在交流中明确思考的过程：审题—整理信息问题—分析—确定解题方法—列式解答。
2.学生根据“探究提示”独立思考。
课件出示探究提示
探究提示
1.审题：采用合适的方法整理信息和问题。
2.分数量之间的关系：题中有哪两种量？它们成什么比例？
写出比例式
3.确定解题方法：根据比例关系列方程解答。
4.换种思路：用以前学过的方法解答。
3.小组交流讨论
学生在小组内交流自己的解题思路。
三、汇报交流 评价质疑
1.交流整理信息和问题的方法
预设一
2箱 24瓶
？箱 480瓶
质疑：这什么这样整理？
学生在交流中体会：找到信息、问题中的关键量，把主要信息与问题摘
录下来，去掉非主要的信息，易于寻找数量之间的关系，有利于分析解题。
预设二
质疑：这样整理信息的问题有什么好处呢？
学生在交流中体会：条理清晰，易于寻找数量之间的关系。
追问：虽然两种整理信息和问题的方法略有不同，但它们有什么共同点呢？
学生在交流中体会：摘录重要信息，去除干扰信息，有利于寻找数量之间的关系。
2.汇报交流分析数量间关系的过程
预设
根据整理的信息和问题可以看出题中的两种量是啤酒的总瓶数和箱数，它们
成正比例关系。
质疑：为什么成正比例关系？
学生在交流中明确：啤酒箱数和总瓶数是相关联的量，总瓶数除以箱数等于
每箱的瓶数，每箱的瓶数是一定的，也就是比值一定。
比例式：
3.交流解题方法，列比例解答的过程。
学生边板书边讲解根据比例关系列方程解答的过程
1.提出问题，明确目标。
出示教材信息窗4情境图。
质疑：难 各表示什么意思？
学生在交流中体会：表示每箱的瓶数，利用比值一定列出方程。
4.交流另一种解题方法
预设
480÷（24÷2）
质疑：说一说解题思路，先求什么，再求什么？
学生在交流中体会：这是我们以前学过的连除实际问题，这种连除实际问题我们还可以用有关于正比例的知识列方程解答。
四、抽象概括 总结提升
学生回顾解题过程，说一说用正比例解决问题的过程。
在学生交流的基础上师小结“用正比例解决问题的一般方法和步骤”
（1）整理信息问题
（2）判断题目中两种相关联的量是否成正比例。
（3）设未知量为x。
（4）列出比例式，并解比例。
过渡语：通过刚才的研究，掌握了用“正比例”解决数学问题的方法，下面就让我们用这节课掌握的知识去解决问题。
五、巩固应用，拓展提高
（一）及时巩固和练习
1.教材第50页第1题。（巩固教学目标1的学习效果）。
“海上霸王”大白鲨2小时游140千米。照这样的速度，5小时游多少千米？
分析：这是一道应用正比例解决数学问题的基本练习题。
建议：学生独立完成后，请他们说说：怎样整理信息问题？怎样分析？怎样列比例解答。
2.教材第50页第2题。（巩固教学目标2的学习效果）。
王阿姨资助一名大学生，上次她汇款200元，付了2元钱的汇费，这次她又汇款了1000元，需要缴纳多少元？
分析：这也是一道可以用正比例解决的数学问题。
建议：学生先用比例解决，再用再用算术方法解决相互检验。
在小组内交流自己的解题思路。
3.课件出示
小兰的身高1.5米，她的影子是2.4米。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长40米，这棵树有多高？（用比例知识解答）
分析：这是学生比较熟悉的问题，学生在用比例解决的过程中体会学习正比例解决实际问题的价值。
建议：学生先独立思考，再在小组内说一说比例关系是什么？再列比例解答。
（二）全课总结。
过渡语：相信通过今天的学习，掌握了用正比例解决数学问题的方法，希望大家今后能灵活地运用解决生活中的数学问题。
板书设计
用正比例知识解决问题
用正比例解决问题的一般方法和步骤”
（1）整理信息问题
（2）判断题目中两种相关联的量是否成正比例。
（3）设未知量为x。
（4）列出比例式，并解比例。
使用说明
1.教学反思：回味课堂，我感觉亮点之处有：
（1）以“探究提示”引导学生经历完整的思考过程。
学生在“探究提示”的引领下经历从头到尾的思考过程，为后继学习积累数学活动经验，学会思考。
（2）吃透教材，重点引导学生体会用正比例解决数学问题的优越性。
“用正比例知识解决数学问题”，只需要找出题目中的相关联的两个量的比值一定，顺向思考，就能写出比例，便于理解。但是有些学生认为，用比例解决数学问题，写起来步骤太复杂，所以，不愿用正比例解决。本节课，主要引导学生先通过分析题意找出等量关系，再根据等量关系写出比例，并通过让学生说“解题思路”来体会用“正比例解决数学问题”便于理解的优越性。
2.使用建议。
（1）教学时，要注重引导学生找出题目中的相关联的量是如何变化的，不变的量是什么？根据不变的量（比值一定）写出比例，再用正比例解决数学问题。
（2）用比例解决数学问题时，先培养学生找量之间关系的习惯。
3.需破解的问题：教材中用正比例解决的数学问题太少，建议再增加2-3道题目。
用反比例知识解决问题
教学内容：青岛版小学数学六年级下册48页红点2，49页自主练习第2、3题，50页第5题、8题。
教学目标
结合具体情境，探究运用反比例知识解答以前学过的归总实际问题，掌
握其解题思路与方法。进一步熟练地判断成反比例的量，加深对反比例意义的理解，沟通知识间的相互联系。
提高学生对实际问题数量关系分析的能力和对反比例判断能力，体会解
题策略的多样性。
提高学生利用所学知识解决实际问题的能力，培养分析、判断的推理能
力，感受数学的价值。
教学重难点
教学重点：会用反比例的知识解决实际问题。
教学难点：正确判断数量之间的比例关系。
教具、学具
教师准备：多媒体课件
教学过程
一、创设情境 提出问题
1.找出信息。问题。
课件出示：一批啤酒用载重8吨的汽车运，需要15辆。如果改用载重10吨的汽车运，
提出问题
需要多少辆汽车？
二、自主学习 合作探究
1．个人自主学习。
学生根据“探究提示”独立思考。
温馨提示：
（1）审题：题目有哪两个相关联的量？
（2）分析：这两个相关联的量成什么比例关系？你是根据什么判断的？
（3）解答：根据你分析出的比例关系，列出等式解决问题。
生在独立探究的过程中，教师参与其中一个小组的探究，以了解学生在思考过程中遇到的困惑。
2．组内交流互学
三、展示交流 评价质疑
找一个小组的学生分别汇报。
1．题目中的两个相关联系的量
预设：学生能找出题目中的两个量，但可能描述不够准确。
师质疑：载重8吨用我们的生活语言怎么表达？
学生在交流中明确：载重8吨也就是一辆车最多能装8吨。
信息中的两个相关联的量是：载重量、辆数
2．两个量的比例关系
预设：两个量成反比例关系，因为它们的乘积一定。
质疑：从哪儿看出示汽车的载重量与辆数成反比例关系？
学生在交流中体会：根据信息“一批啤酒”可以判断啤酒的总量一定。载重量×辆数=总吨数（一定），所以载重量与辆数与反比例关系。审题时要注意分析信息中隐藏的信息。
质疑：在审题时应关注什么？
学生在交流中体会：在审题时应注意分析文字信息中隐藏的信息，本题中“一批啤酒”就说明啤酒的总量一定，结合题目中的其他信息可以联想到载重量×辆数=总吨数（一定）。
3．根据反比例的意义列等式解决问题。
学生到黑板板演列出的等式，并讲解自己的想法。
预设 解：设需要X辆 解：设需要X辆
10X=8×15 8×15=10X
10X=120 120=10X
10X÷10=120÷10 120÷10= 10X÷10=
X=12 12= X
根据反比例意义，第一组信息中的载重量8吨乘15辆车的积与载重量10吨乘X辆的积相等，列出方程。
质疑：在利用反比例的意义列方程时，你认为是把含X的式子放左边，方便解方程还是放在右边呢？
学生在交流中确定：把含X的式子放左边方便解方程。
想一想，解正反比例问题的步骤是怎样的？
1.质疑：你们认为在运用反比例解决实际问题与运用正比例解决实际问题，有什么相同之处？不同之处？
学生在交流中体会，解决问题的思路相同：分析题意，找到相关联的两个量；根据所学的知识或题目中给出的信息判断相关联的量成什么比例；根据相应比例的意义列出等式。
不同点：一个列出比例（每个式子是除法关系），一个列出的是方程（每个式子是乘法关系）。
运用比例知识解决实际问题的关键是什么？
判断关系
四、抽象概括 总结提升
同学们在探究运用比例解决实际问题的过程中发现，运用反比例解决实际问题时，要认真审题，找到信息中两个相关联的量，可借助以前学过的一些等量关系式或题中隐藏的信息判断出哪一个量是不变的，从而得出相关联的两个量成什么比例，如果成反比例，再根据反比例的意义，列出左右两边含有乘法的方程，为了方便解方程，一般把含X项的乘法算式写在左边；再解方程。
五、巩固应用，拓展提高
1．做课本第48页第2题
本题是运用反比例知识解决实际问题的题目，教学时可按以下方式处理
（1）学生独立思考完成。
（2）交流：题目中有哪两个相关联的量？
成什么比例关系？为什么？
怎样根据比例关系列出方程？
2.做课本50页第5题
学校计划用方砖铺微机室地面。如果用边是5分米的，需要360块。如果改用边长是6分米的，需要多少块？
本题是灵活运用反比例的知识解决实际问题的题目。教学时按以下方式处理。
（1）学生独立思考解决问题。
（2）学生板书解题过程。（可找一名做对的学生与做错一名学生板演）
（3）引导学生对比分析黑板上板书的解题过程，哪个是对的，哪个是错的？为什么？
学生在交流中体会到：地面的面积一定，每块方砖的面积与块数与反比例。但题目中给出的信息是方砖的边长，因此，要先根据边长计算出方砖的面积，再利用反比例知识列方程解决。认真审题是解答正确的关键点。
3．做课本50页第8题
本题是灵活运用反比例的知识解决实际问题的题目。教学时按以下方式处理。
（1）学生独立完成，在小组内交流自己的想法。
（2）个别学生汇报本小组同学完成题目的情况。
（3）反思：做这题哪个地方容易出错？
通过交流，学生体会到认真审题的必要性，此题容易出错的地方是，把“1分钟”当成小瑞所用的时间。
4.（1）明新骑车从甲地到乙地，前5分钟行了700米，照这样的速度，从甲地到乙地一共用了20分钟。甲、乙两地相距多少米？
（2）明新骑车从甲地到乙地一共用了20分钟，每分钟行140米；返回时每分钟行100米，返回时用了多少分钟？
（1）根据正反比例的关系找出其中的关系量。
（2）判断是成正比例还是成反比例。
（3）根据关系式列出算式。并解答。
小结：
本节课我们学习了运用反比例实际问题，解决这类问题的关键是找准信息中相关的两个联，判断成什么比例，如果成反比例，根据反比例的意义，两个量存在乘法关系，而且积一定，列出方程解决问题。但有时信息中可能不会直接给出相关量的对应数据，这就需要同学们认真审题，灵活解题。
板书设计
用反比例解决问题
不方便解方程
解：设需要X辆 解：设需要X辆
10X=8×15 8×15=10X
10X=120 120=10X
10X÷10=120÷10 120÷10= 10X÷10=
X=12 12=X
找相关联的量
判断成什么比例
列方程
解方程
使用说明
1．回味本节课的过程，亮点如下:
（1）加强新旧知识间的联系，促进学生对新知的自主构建。
学生在学习本课之前已掌握了运用正比例知识解决相关实际问题，因此在本节课我完全放手让学生自己探究运用反比例解决实际问题的解题方法，学生在独立思考，相互交流的过程中，通过反思，从中悟出解决问题的方法策略，把运用反比例解决实际问题融入自己的知识结构。
（2）在掌握基本方法策略的同时，培养学生严谨审题的学习习惯。
练习题中的第5、8题中的一个相关的量没有直接告诉，而有的学生在做题时，不注意审题，列方程时直接用给出的数字，导致出错。在做练习时，寻找错例让学生们分析，在分析的过程中体会认真审题的必要性，培养学生严谨的思维习惯。
2．教学建议
在课堂教学的过程中给学生充分展示思考过程的空间，以说促思。
3．需破解的问题
信息窗4的两个红点可以放在一节课学习。
时间（秒）
1
2
3
4
…
10
距离（米）
340
680
1020
1360
…
3400
工作时间（时）
1
2
3
4
5
6
7
…
工作总量（吨）
14
28
42
56
70
84
98
…
长方形的宽
1
2
3
4
5
6
…
长方形面积
6
12
18
…
时间
1
2
3
4
5
6
…
路程
60
120
180
…
正方形边长
1
2
3
4
5
6
…
正方形面积
1
4
9
…
已看页数
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120
150
……
剩下页数
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关系
异同点
正比例
反比例
不同点
1.两个量的变化规律相同
2.两个量的比值一定
(关系式：＝k)
1.两个量的变化规律相反
2.两个量的乘积一定
（关系式：xy＝k）
相同点
都是两个相关联的量，一个量随着另一个量的变化而变化
2箱
24瓶
？箱
480瓶