2025年中考数学考前冲刺：圆压轴题 强化练习题（含答案）

这是一份2025年中考数学考前冲刺：圆压轴题 强化练习题（含答案），共45页。

2．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧AD上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α．
①则∠F＝ ，（用含α的代数式表示）；
②当∠F＝3∠PCD时，则AMBM= ．
3．如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°，O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则∠CDG＝ ，CG＝ ．
4．如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为ABD的中点，连结CD，CA，AD．延长AC、DB交于点E．若CE=26，BD＝2，则⊙O的半径为 ，S△ABD＝ ．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD=3，CD=33，则AD的长是 ．
6．以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，弦DE⊥AB于点H连接CD并延长交AB于点F、交⊙O于点G，连接OD．若∠DOH＝2∠C，OD＝3，AH＝1．则DE＝ ，CG＝ ．
7．如图，以AB为直径的⊙O上有两点C、D，且点D平分劣弧BC，连接AC、AD，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接CD，若AB＝4，DE=5，则BE＝ ，CD＝ ．
8．如图，四边形ABCD内接于圆O，AC为圆O直径，BD、AC交于点E，BD平分∠ADC，∠CAD的平分线交BD于F，DG切圆O于D，交CA延长线于G，若BF=25，点O到DC的距离为2，则AC＝ ，AG＝ ．
9．如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为弧BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E，连接AC交BD于点F，若AF＝3CF，AB＝6，则CE的长度为 ．
10．如图，以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，以AE为边作菱形ACDE，点C在⊙O上，CD与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接GF，若AB＝8，AE=27，则CF＝ ，GF＝ ．
11．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，D是⊙O上一点，连接BD，CD，∠BDC＝30°，延长AB至点F，使得BF=12AB，连接OF，过点B作BG⊥OF于点G，BG＝2，则tan∠AFO为 ，四边形GOAB的面积为 ．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，若AB＝4，tan∠CAB＝2，则切线DE的长为 ．
13．如图，以AB为直径的⊙O与BE相切于点B，EF交⊙O于C、F，弦CD垂直AB于点H，连接BF交CD于G．若CD＝AH＝4，BF=151313，则BH＝ ，EC＝ ．
14．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，DE是⊙O的切线，点D为切点，点E在CB的延长线上，OC⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为点O，F，连接OF．若DE＝3，CE=313，则AD＝ ，OF＝ ．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点D为AC弧的中点，对角线AC经过圆心，延长AC与过点B的⊙O的切线BF交于点F．若AB=BF=33，则BC的长度 ；AD的长度为 ．
16．如图，∠MPN＝30°，点O在PM上，⊙O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B，C．作CD∥PN，与⊙O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F，CD＝8，则OA的长为 ，EF的长为 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC是切线，AC交⊙O于点D，若AB＝10，AD=45，则CD的长为 ，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE并延长交⊙O于点F，则EF的长为 ．
18．如图，AB为圆O的直径，过圆外一点E作圆的两条切线，交圆O于B，D两点，弦CD⊥OA于点M，连接AE交MD于点F，交圆O于点G，已知AM＝2，CD＝6，则AB的长为 ；则FG的长为 ．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D，G为BE的中点，连接FG．若∠D＝30°，FG=27，则⊙O的半径是 ，EFAD= ．
20．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B和对角线交点F均在⊙O上，⊙O与BC相切于点B，边AD经过圆心O且交⊙O于点E，若半径OA=2，则线段AB＝ ，线段DE＝ ．
21．如图，△ABC内接于⊙O，直径AC交弦BD于点E，延长BD交过点C的切线于点F，连接CD．若BD=83DE，CF＝3，DF＝1，则BF＝ ，AB＝ ．
22．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，CD是⊙O的切线，AD⊥CD，点E是弧BC的中点，连接BE，BD，若BC＝8，BE=25，则AB＝ ，BD＝ ．
23．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 ；DF的长度是 ．
24．如图，△ABC是⊙O内接三角形，⊙O的半径是13，BC＝2，∠ACB＝120°，∠ACB的角平分线CD交AB于点F，交⊙O于点D，连接AD、BD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E，则线段AB的长度为 ，线段DE的长度为 ．
25．如图，已知OB是⊙O的半径，弦CD⊥OB，垂足为点E，且tan∠BDC=23，OE=54，过点C作⊙O的切线，交OB的延长线于点P，则OB的长为 ，则CP的长为 ．
26．如图，以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，BE与⊙O交于点D，过D作CD⊥AB于点H，连接CE交AB于点F、交⊙O于点G．若BH＝2，AH＝8，则CD＝ ，AG＝ ．
2025年重庆中考数学压轴专题：圆
参考答案与试题解析
一．试题（共26小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，点E为⊙O上一点，满足DE=DB，连接BE交AC于点F，若CD＝1，BC=5，则AB＝ 25 ，EF＝ 355 ．
【解答】解：连接AE、BD，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ADB＝90°，BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BFC+∠DBE＝90°，∠C+∠DAB＝90°，
∵DE=DB，
∴∠DBE＝∠DAB，
∴∠BFC＝∠C，
∴BF＝BC=5，
∵BD⊥CF，
∴DF＝CD＝1，
∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴CDBC=BCAC，
∴AC=BC2CD=(5)21=5，
∴AF＝AC﹣CD﹣DF＝5﹣1﹣1＝3，AB=25−5=25，
∵∠EAF＝∠DBF，∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，
∴EFDF=AFBF，
∴EF=AF⋅DFBF=3×15=355，
故答案为：25，355．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧AD上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α．
①则∠F＝ 60°﹣α ，（用含α的代数式表示）；
②当∠F＝3∠PCD时，则AMBM= 3 ．
【解答】解：①连接OD，BD，PO，
∵弦CD⊥AB于点E，OE＝BE，
∴OD＝BD，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠PCD＝α，
∴∠POD＝2α，
∴∠POB＝60°+2α，
∴∠A=12∠POB＝30°+α，
∴∠PFE＝90°﹣∠A＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α；
②∵∠AFE＝3∠PCD，
∴60°﹣α＝3α，
∴α＝15°，
∴∠POD＝2∠PCD＝30°，
∴∠POB＝90°，
∴OP∥CE，
∴△POM∽△CEM，
∴OM：EM＝OP：CE，
∵直径AB⊥CD，
∴DE＝CE，
∴OM：EM＝OP：ED，
设圆的半径是r，OM＝x，
∴EM=12r﹣x，DE=32r，
∴x：（12r﹣x）＝r：32r，
∴x＝（2−3）r，
∴OM＝（2−3）r，
∴AM＝AO+OM＝3r−3r，BM＝OB﹣OM=3r﹣r，
∴AMMB=3r−3r3r−r=3．
故答案为：3．
3．如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°，O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则∠CDG＝ 67.5° ，CG＝ 32+3 ．
【解答】解：连接OD．
∵CD切⊙O于点D，
∴∠ODA＝90°，∠DOA＝45°，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD=12∠DOA＝22.5°，
∴∠CDG＝∠CDO﹣∠ODF＝90°﹣22.5°＝67.5°．
∵∠C＝90°，
∴OD∥CB；
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，即OD＝BC＝3；
∵AC＝BC＝6，∠C＝90°，
∴AB＝62，则OB＝32，
∵OD∥CG，
∴∠ODF＝∠G；
∵OD＝OF，则∠ODF＝∠OFD，
∴∠BFG＝∠OFD＝∠G，
∴BF＝BG＝OB﹣OF＝32−3，
∴CG＝BC+BG＝6+32−3＝32+3，
故答案为：67.5°，32+3．
4．如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为ABD的中点，连结CD，CA，AD．延长AC、DB交于点E．若CE=26，BD＝2，则⊙O的半径为 3 ，S△ABD＝ 42 ．
【解答】解：延长CO交⊙O于F，连接BC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即BE⊥AD，
∵点C为ABD的中点，
∴根据垂径定理得：CF⊥AD，
∴OC∥BE，
∵OA＝OB，
∴OC是△ABE的中位线，
设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OC＝R，
∴AC＝CE＝26，BE＝2OC＝2R，
∴AE＝46，DE＝BD+BE＝2R+2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2＝AE2﹣DE2，
∴AB2﹣BD2＝AE2﹣DE2，
∴（2R）2﹣22＝（46）2﹣（2R+2）2，
整理得：R2+R﹣12＝0，
解得：R1＝3，R2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴AD=AB2−BD2=62−22=42，
∴S△ABD=12AD•BD=12×42×2＝42，
故答案为：3；42．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD=3，CD=33，则AD的长是 13+2 ．
【解答】解：连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵BD=3，CD=33，
∴BC=BD+CD=43，
∴BF=12BC=23，DF=BF−BD=3，
∵∠BOF＝60°，∠BFO＝90°，
∴OB=OC=BFsin60°=4，OF=BFcs60°=2，
∴OG=DF=3，GD＝OF＝2，
在Rt△AGO中，AG=OA2−OG2=13，
∴AD=AG+GD=13+2，
故答案为：13+2．
6．以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，弦DE⊥AB于点H连接CD并延长交AB于点F、交⊙O于点G，连接OD．若∠DOH＝2∠C，OD＝3，AH＝1．则DE＝ 25 ，CG＝ 1063 ．
【解答】解：∵AB为直径，DE⊥AB，
∴DH=EH=12DE，
由题意知，OA＝OD＝3，
∴OH＝OA﹣AH＝2，
由勾股定理得，DH=OD2−OH2=5，
∴DE=25；
∵⊙O与AC相切于点A，
∴BA⊥CA，
∴DE∥CA，
∴∠GDE＝∠C，
如图，连接AE，AG，
∵AD=AD，
∴∠DEA=∠DGA=12∠DOA=∠C=∠GDE，
∴AC＝AG，AE∥CG，
又∵DE∥CA，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AC=DE=25，AE＝CD，
∴AG=25，
在△AHE和△FHD中，
∠HEA=∠HDFEH=DH∠AHE=∠FHD，
∴△AHE≌△FHD（ASA），
∴AE＝DF，AH＝FH＝1，
∴AF＝2，
如图，过G作GM⊥CA的延长线于M，
设GM＝a，AM＝b，则CM=25+b，
∵∠GCM＝∠FCA，∠GMC＝90°＝∠FAC，
∴△GCM∽△FCA，
∴GMAF=CMAC，即a2=25+b25，
解得，b=5(a−2)，
由勾股定理得，AG2＝AM2+GM2，即(25)2=b2+a2=[5(a−2)]2+a2，
解得，a=103或a＝0（舍去），
∴b=453，
∴CM=1053，
由勾股定理得CG=CM2+GM2=1063，
故答案为：25，1063．
7．如图，以AB为直径的⊙O上有两点C、D，且点D平分劣弧BC，连接AC、AD，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接CD，若AB＝4，DE=5，则BE＝ 1 ，CD＝ 263 ．
【解答】解：连接BC、OD交于点F，连接BD，
∵AB为⊙O的直径，且AB＝4，
∴OD＝OB=12AB＝2，∠ACB＝90°，
∵点D平分劣弧BC，
∴OD⊥BC，且FC＝FB，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠CFD＝∠ODE＝90°，
∴CB∥DE，
∴∠ABC＝∠E，
∵DE=5，
∴OE=OD2+DE2=22+(5)2=3，
∴BE＝OE﹣OB＝3﹣2＝1，
∵FB∥DE，
∴△OFB∽△ODE，
∴OFOD=FBDE=OBOE=23，
∴OF=23OD=23×2=43，FC＝FB=23DE=23×5=253，
∴FD＝OD﹣OF＝2−43=23，
∴CD=FC2+FD2=(253)2+(23)2=263，
故答案为：1，263．
8．如图，四边形ABCD内接于圆O，AC为圆O直径，BD、AC交于点E，BD平分∠ADC，∠CAD的平分线交BD于F，DG切圆O于D，交CA延长线于G，若BF=25，点O到DC的距离为2，则AC＝ 210 ，AG＝ 2103 ．
【解答】解：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴AB=BC，
∴AB＝BC，
∵AF平分∠CAD，
∴∠EAF＝∠DAF，
∵∠AFB＝∠DAF+∠ADB，∠BAF＝∠EAF+∠BAC，
∴∠ADB＝∠BAC，
∴∠AFB＝∠BAF，
∴BF=AB=25，
∴BC=AB=25，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=2AB=210，
如图，过点O作OH⊥CD于H，连接OD，
则CH=HD=12CD，OH=2，
又OC=12AC=10，
∴CH=OC2−OH2=22，
∴CD=42，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD=AC2−CD2=22，
∵DG切⊙O于D，
∴∠ODG＝∠ODA+∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝∠ODA+∠ODC＝90°，
∴∠ADG＝∠ODC，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ADG＝∠OCD
∵∠G＝∠G，
∴△GAD∽△GDC，
∴GAGD=ADDC=2242=12，
设AG＝x，则GD＝2x，
∴(2x)2+(10)2=(x+10)2，
解得x1＝0（不符合题意，舍去），x2=2310，
∴AG=2310，
故答案为：210；2310．
9．如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为弧BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E，连接AC交BD于点F，若AF＝3CF，AB＝6，则CE的长度为 4 ．
【解答】解：连接OC，
∵点C为弧BD的中点，
∴OC垂直平分BD，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥OC，
∴∠OHB＝∠OCE＝90°，
∴FB∥CE，
∴△AFB∽△ACE，
∵AF＝3CF，AB＝6，
∴AC＝3CF+CF＝4CF，OC＝OA=12AB＝3，
∴AFAC=3CF4CF=34，
∴ABAE=AFAC=34，
∴AE=43AB=43×6＝8，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣3＝5，
∴CE=OE2−OC2=52−32=4，
故答案为：4．
10．如图，以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，以AE为边作菱形ACDE，点C在⊙O上，CD与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接GF，若AB＝8，AE=27，则CF＝ 372 ，GF＝ 532 ．
【解答】解：连接OC，BG，AG，作CI⊥EA交EA延长线于点I，作GH⊥EA于点H，交CD延长线于点J，
∵菱形ACDE，
∵CD∥AE，
∴四边形CIHJ和四边形CIAF，四边形AFJH都是矩形，
∵⊙O与AE相切于点A，
∴∠CFA＝∠BAE＝90°，
设OF＝x，
∵AB＝8，
∴OA＝OC＝4，则AF＝4﹣x，
由勾股定理得CF2＝AC2﹣AF2＝OC2﹣OF2，
即(27)2−(4−x)2=42−x2，
解得x=12，
∵OF=12，AF=CI=72，
∴CF=OC2−OF2=42−(12)2=372，
∴EI=AE+AI=AE+CF=372+27=772，
∴CE=CI2+EI2=72，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠GAE＝90°﹣∠BAG＝∠B＝∠ECA，
∵∠AEG＝∠CEA，
∴△AEG∽△CEA，
∴EAEC=EGEA，即2772=EG27，
∴EG=22，CG=52，
∵GH∥CI，
∴△EGH∽△ECI，
∴EGEC=GHCI=EHEI，即2272=GH72=EH772，
∴GH＝1，EH=7，
∴CJ＝HI＝EI﹣EH=772−7=572，JG=JH−GH=72−1=52，
∴JF=JC−CF=572−372=7，
∴GF=JG2+JF2=(52)2+(7)2=532，
故答案为：372；532．
11．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，D是⊙O上一点，连接BD，CD，∠BDC＝30°，延长AB至点F，使得BF=12AB，连接OF，过点B作BG⊥OF于点G，BG＝2，则tan∠AFO为 233 ，四边形GOAB的面积为 63 ．
【解答】解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝∠FBO＝90°，
∵∠BDC＝30°，
∴∠AOB＝2∠BDC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠AOB＝30°，
∴OA＝2OB，
∴AB=OA2−OB2=(2OB)2−OB2=3OB，
∴BF=12AB=12×3OB=32OB，
∴tan∠AFO=OBBF=OB32OB=233，
∵BG⊥OF于点G，BG＝2，
∴∠FGB＝∠OGB＝∠FBO＝90°，
∴∠OBG＝∠AFO＝90°﹣∠FBG，
∴OGBG=tan∠OBG＝tan∠AFO=233，
∴OG=233BG=233×2=433，
∴OB=BG2+OG2=22+(433)2=2213，
∴AB=3×2213=27，
∴S四边形GOAB＝S△GOB+S△AOB=12×2×433+12×27×2213=63，
故答案为：233，63．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，若AB＝4，tan∠CAB＝2，则切线DE的长为 4 ．
【解答】解：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠DOE＝∠CAB，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵AB＝4，tan∠CAB＝2，
∴OD=12AB＝2，DEOD=tan∠DOE＝tan∠CAB＝2，
∴DE＝2OD＝4，
故答案为：4．
13．如图，以AB为直径的⊙O与BE相切于点B，EF交⊙O于C、F，弦CD垂直AB于点H，连接BF交CD于G．若CD＝AH＝4，BF=151313，则BH＝ 1 ，EC＝ 654 ．
【解答】解：连接AC、BC、BD，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD＝AH＝4，
∴∠CHB＝∠AHC＝∠ACB＝90°，CH＝DH=12CD＝2，
∴∠BCH＝∠CAH＝90°﹣∠ACH，
∴△BCH∽△CAH，
∴BHCH=CHAH=24=12，
∴BH=12CH＝1，
∴BA＝BH+AH＝1+4＝5，CB=CH2+BH2=22+12=5，
∵∠BHG＝∠BFA＝90°，∠GBH＝∠ABF，BF=151313，
∴△GBH∽△ABF，
∴BGBA=BHBF=1151313=1315，
∴BG=1315BA=1315×5=133，
∴GF＝BF﹣BG=151313−133=321339，GH=BG2−BH2=(133)2−12=23，
∴CG＝CH+GH＝2+23=83，
∵⊙O与BE相切于点B，
∴EB⊥AB，
∴EB∥CG，
∴△EBF∽△CGF，
∴EBCG=BFGF=151313321339=4532，
∴EB=4532CG=4532×83=154，
∵AB垂直平分CD，
∴CB＝DB，
∴∠BCD＝∠D＝∠EFB，
∴∠EBC＝∠BCD＝∠EFB，
∵∠E＝∠E，
∴△EBC∽△EFB，
∴ECEB=CBBF=5151313=6515，
∴EC=6515EB=6515×154=654，
故答案为：1，654．
14．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，DE是⊙O的切线，点D为切点，点E在CB的延长线上，OC⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为点O，F，连接OF．若DE＝3，CE=313，则AD＝ 12 ，OF＝ 61313 ．
【解答】解：如图，过C作CH⊥DE交ED延长线于点H，过D作DQ⊥CE交CE于点Q，连接CD，BD，
∵AD是⊙O的直径，OC⊥AD，
∴OC＝OA＝OD，
∴△OAC、△ODC、△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ODC＝∠OAC＝45°，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵CH⊥DE，OC⊥AD，OC＝OD，
∴四边形OCHD为正方形，
设CH＝DH＝OD＝OC＝x，
则HE＝HD+DE＝x+3，
∵CH2+HE2＝CE2，
即x2+(x+3)2=(313)2，
解得：x1＝6（舍去负值），
∴CH＝DH＝OD＝OC＝6，DC=62，
∴AD＝2OD＝2×6＝12；
∵DQ⊥CE，
∴S△CDE=12⋅CE⋅DQ=12⋅DE⋅CH，
∴12×313⋅DQ=12×3×6，
∴DQ=61313，
∵∠CBD＝∠CAO＝45°，
∴BD=2DQ=62613，
∵CF⊥AB，OC⊥AD，
∴∠AOC＝∠AFC＝90°．
∴A、C、O、F四点共圆，
∴∠CFO＝∠CAO＝45°，∠OCF＝∠OAF，
∵∠CAO＝∠CBD＝45°，∠OAF＝∠DCB，
∴∠CFO＝∠CBD，∠OCF＝∠DCB，
∴△OCF∽△DCB，
∴OFBD=OCDC=12，
∴OF=12⋅BD=12×62613=61313，
故答案为：12；61313．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点D为AC弧的中点，对角线AC经过圆心，延长AC与过点B的⊙O的切线BF交于点F．若AB=BF=33，则BC的长度 3 ；AD的长度为 32 ．
【解答】解：四边形ABCD内接于⊙O，点D为AC弧的中点，BF是⊙O的切线，如图，连接OB，
∴∠BOF＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵AB=BF=33，
∴∠FAB＝∠F，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠FAB＝∠F，
∵∠FOB＝∠FAB+∠OBA，
∴∠FOB+∠F＝∠FAB+∠OBA+∠F＝90°，
∴∠FAB＝∠OBA＝∠F＝30°，
∴BC＝ABtan∠BAC=33tan30°=3，
∴∠ACB＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
OC＝BC＝OB＝OA＝3，
AC＝6，
∵点D为AC弧的中点，
AD=CD，
AD＝CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD2+CD2＝2AD2＝AC2，
∴AD=22AC=32，
故答案为：3；32．
16．如图，∠MPN＝30°，点O在PM上，⊙O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B，C．作CD∥PN，与⊙O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F，CD＝8，则OA的长为 833 ，EF的长为 221 ．
【解答】解：延长AO交CD于点H，
∵⊙O与PN相切于点A，
∴PN⊥OA，
∵CD∥PN，∠MPN＝30°，
∴∠OHC＝∠OAP＝90°，∠OCD＝∠MPN＝30°，
∵CD＝8，OH⊥CD于点H，
∴CH＝DH=12CD＝4，
∵OH=12OC，
∴CH=OC2−CH2=OC2−(12OC)2=32OC＝4，
∴OA＝OC=833；
∵CE⊥PN于点E，
∴∠AEC＝∠EAH＝∠AHC＝90°，
∴四边形AECH是矩形，
∴AE＝CH＝4，
∴OE=AE2+OA2=42+(833)2=4213，
∵HF∥AE，OH=12OC=12OA，
∴△HOF∽△AOE，
∴OFOE=OHOA=12，
∴OF=12OE=12×4213=2213，
∴EF＝OE+OF=4213+2213=221，
故答案为：833，221．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC是切线，AC交⊙O于点D，若AB＝10，AD=45，则CD的长为 5 ，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE并延长交⊙O于点F，则EF的长为 629+1014529 ．
【解答】解：连接OF、BD，作OL⊥EF于点L，则∠OLF＝∠OLE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，AD＝45，
∴OF＝OB=12AB＝5，∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴BD=AB2−AD2=102−(45)2=25，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝∠A＝90°﹣∠ACB，
∴CDBD=tan∠CBD＝tanA=BCAB=BDAD=2545=12，
∴CD=12BD=12×25=5，BC=12AB＝5，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠BED＝90°，
∴BEBD=BDAB=cs∠ABD，
∴BE=BD2AB=(25)210=2，
∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3，CE=BC2+BE2=52+22=29，
∵∠OEL＝∠CEB，
∴ELOE=cs∠OEL＝cs∠CEB=BECE=229=22929，OLOE=sin∠OEL＝sin∠CEB=BCCE=529=52929，
∴EL=22929OE=22929×3=62929，OL=52929OE=52929×3=152929，
∴FL=OF2−OL2=52−(152929)2=1014529，
∴EF＝EL+FL=62929+1014529=629+1014529，
故答案为：5，629+1014529．
18．如图，AB为圆O的直径，过圆外一点E作圆的两条切线，交圆O于B，D两点，弦CD⊥OA于点M，连接AE交MD于点F，交圆O于点G，已知AM＝2，CD＝6，则AB的长为 132 ；则FG的长为 2710 ．
【解答】解：连接AC、AD、BD，
∵AB为⊙⊙O的直径，弦CD⊥OA于点M，AM＝2，CD＝6，
∴∠AMD＝∠DMB＝∠ADB＝90°，CM＝DM=12CD＝3，
∴∠DAM＝∠BDM＝90°﹣∠ADM，
∴△AMD∽△DMB，
∴AMDM=DMBM，
∴BM=DM2AM=322=92，
∴AB＝AM+BM＝2+92=132，
∴OA＝OB=12AB=134，
∵AB垂直平分CD，
∴AC＝AD=AM2+DM2=22+32=13，
∴BD=AB2−AD2=(132)2−(13)2=3132，
连接OD、OE、DG，OE交BD于点L，
∵EB、ED分别与⊙O相切于点B、D，
∴EB＝ED，BE⊥AB，
∵OB＝OD，
∴点O、E都在BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD，
∴∠OLB＝∠OBE＝90°，LD＝LB=12BD=3134，
∴OL=12AD=132，
∵∠OLB＝∠OBE，∠LOB＝∠BOE，
∴△OLB∽△OBE，
∴OLOB=LBBE，
∴BE=OB⋅LBOL=134×3134132=398，
∴AE=AB2+BE2=(132)2+(398)2=658，
∵MF⊥AB，BE⊥AB，
∴MF∥BE，
∴△AMF∽△ABE，
∴AFAE=MFBE=AMAB=2132=413，
∴AF=413AE=413×658=52，MF=413BE=413×398=32，
∴FC＝CM+MF＝3+32=92，DF＝DM﹣MF＝3−32=32，
∵∠DGF＝∠C，∠DFG＝∠AFC，
∴△DFG∽△AFC，
∴FGFC=DFAF，
∴FG=FC⋅DFAF=92×3252=2710，
故答案为：132，2710．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D，G为BE的中点，连接FG．若∠D＝30°，FG=27，则⊙O的半径是 4 ，EFAD= 33 ．
【解答】解：连接OE，OF，OG，如图所示：
∵DF与⊙O相切于点F，
∴OF⊥DF，
∴∠OFD＝90°，
在Rt△OFD中，∠D＝30°，
∴∠BOF＝90°﹣∠D＝60°，
∵弦EF⊥AB，
∴BE=BF，CE＝CF，
∴∠EOB＝∠BOF＝60°，
∵OB＝OE，
∴△EOB是等边三角形，
设OE＝OB＝BE＝2a，
∴OF＝OE＝2a，
∵点G是BE的中点，
∴设GE＝BG＝a，OG⊥BE，∠EOG＝∠BOG＝30°，
∴∠GOF＝∠BOG+∠BOF＝30°+60°＝90°，
在Rt△EOG中，由勾股定理得：OG＝√OE2−EG2=(2a)2−a2=3a，
在Rt△GOF中，∠GOF＝90°，OG=3a，OF＝2a，FG=27，
由勾股定理得：OG2+OF2＝FG2，
∴(3a)2+(2a)2=(27)2，
整理得：a2＝4，
∴a＝2，a＝﹣2（不合题意，舍去），
∴OE＝2a＝4，
∴⊙O的半径是4；
∴OA＝OB＝4，
∵△EOB是等边三角形，EF⊥AB于点C，
∴OC＝BC=12OB＝2，
在Rt△EOC中，由勾股定理得：CE＝√OE2−OC2=42−22=23，
∴CE＝CF=23，
∴EF＝CE+CF=43，
在Rt△OFD中，OF＝4，∠D＝30°，
∴OD＝2OF＝2×4＝8，
∴AD＝OA+OD＝4+8＝12，
∴EFAD=4312=33．
故答案为：4；33．
20．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B和对角线交点F均在⊙O上，⊙O与BC相切于点B，边AD经过圆心O且交⊙O于点E，若半径OA=2，则线段AB＝ 2 ，线段DE＝ 6−2 ．
【解答】解：如图，连接OB、OF，
∵⊙O与BC相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BF＝FD，
∴OB⊥AD，
∴AB=OA2+OB2=2，
在Rt△BOD中，BF＝FD，
∴BD＝2OF＝22，
∴OD=BD2−OB2=(22)2−(2)2=6，
∴DE＝OD﹣OE=6−2，
故答案为：2，6−2．
21．如图，△ABC内接于⊙O，直径AC交弦BD于点E，延长BD交过点C的切线于点F，连接CD．若BD=83DE，CF＝3，DF＝1，则BF＝ 9 ，AB＝ 515414 ．
【解答】解：连接AD，作CL⊥ED于点L，则∠CLE＝∠CLD＝90°，
∵AC是⊙O的直径，CF与⊙O相切于点C，
∴CF⊥AC，
∴∠ACF＝∠ADC＝90°，
∴∠FCD＝∠DAC＝90°﹣∠ACD，
∵∠FBC＝∠DAC，
∴∠FCD＝∠FBC，
∵∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FBC，
∴DFCF=CFBF，
∵CF＝3，DF＝1，
∴BF=CF2DF=321=9，
∴BD＝BF﹣DF＝9﹣1＝8，
∵BD=83DE＝8，
∴DE＝3，
∴BE＝BD﹣DE＝8﹣3＝5，EF＝DE+DF＝3+1＝4，
∴CE=EF2−CF2=42−32=7，
∵S△CEF=12×4CL=12×7×3，
∴CL=374，
∴EL=CE2−CL2=(7)2−(374)2=74，
∴DL＝DE﹣EL＝3−74=54，
∴DC=DL2+CL2=(54)2+(374)2=222，
∵∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC，
∴△BAE∽△CDE，
∴ABDC=BECE，
∴AB=BE⋅DCCE=5×2227=515414，
故答案为：9，515414．
22．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，CD是⊙O的切线，AD⊥CD，点E是弧BC的中点，连接BE，BD，若BC＝8，BE=25，则AB＝ 10 ，BD＝ 16135 ．
【解答】解：连接OC，OE，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆的直径，
∵点E是弧BC的中点，
∴∠BOE＝∠COE，
∵OC＝OB，
∴OE⊥BC，BM=12BC=12×8＝4，
∵BE＝25，
∴ME=BE2−MB2=2，
设圆的半径是r，
∴OM＝r﹣2，
∵OB2＝OM2+MB2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
∴AB＝2r＝10；
∵∠ACB＝90°，
∴AC=AB2−BC2=6，
∵DC切圆于C，
∴OC⊥CD，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵∠BCO+∠ACO＝90°，
∴∠ACD＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠BCO，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AD：AC＝AC：AB＝CD：BC，
∴AD：6＝6：10＝CD：8，
∴AD＝3.6，CD＝4.8，
∵AD⊥CD，OC⊥CD，
∴AD∥OC，
∵OA＝OB，
∴BN＝DN，
∴ON是△BAD的中位线，
∴ON=12AD＝1.8，
∴CN＝5﹣1.8＝3.2，
∴DN=CD2+CN2=8135，
∴BD＝2DN=16135．
故答案为：10，16135．
23．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 203 ；DF的长度是 83 ．
【解答】解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD=BC2−CD2=4，
∵BC切圆于B，
∴直径AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BCD＝∠ACB，∠CDB＝∠ABC＝90°，
∴△CDB∽△CBA，
∴DB：BA＝CD：CB，
∴4：AB＝3：5，
∴AB=203，
∵AF∥BE，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝∠ADE，∠F＝∠ADE，
∴∠F＝∠BAF，
∴BF＝AB=203，
∴FD＝BF﹣BD=203−4=83．
故答案为：203，83．
24．如图，△ABC是⊙O内接三角形，⊙O的半径是13，BC＝2，∠ACB＝120°，∠ACB的角平分线CD交AB于点F，交⊙O于点D，连接AD、BD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E，则线段AB的长度为 39 ，线段DE的长度为 7539 ．
【解答】解：△ABC是⊙O内接三角形，∠ACB＝120°，∠ACB的角平分线CD交AB于点F，如图，作直径BG，连接DG，OD，过点B作BH⊥CD于点H，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴∠DAB＝∠BCD＝∠ACD＝∠ABD＝∠BGD＝60°，
∴∠ADB＝60°＝∠BAD＝∠DBA，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
∵BG是⊙O的直径，
∴∠BDG＝90°，
∴∠GBD＝90°﹣60°＝30°，
∴DG=12BG=13，
∴AB=BD=BG2−DG2=(213)2−(13)2=39，
∵BH⊥CD，∠BCD＝60°，
∴∠CBH＝90°﹣60°＝30°，
∴CH=12BC=1，
∴BH=BC2−CH2=22−12=3，
∴DH=BD2−BH2=(39)2−(3)2=6，
∴CD＝CH+DH＝7，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠BDE＝90°﹣∠ODB＝60°＝∠DCE，
∵∠E＝∠E，
∴△BDE∽△DCE，
∴DCBD=DEBE=CEDE，即739=DEBE=2+BEDE，
∴BE=397DE，
∴739=2+397DEDE，
解得DE=7539．
故答案为：39，7539．
25．如图，已知OB是⊙O的半径，弦CD⊥OB，垂足为点E，且tan∠BDC=23，OE=54，过点C作⊙O的切线，交OB的延长线于点P，则OB的长为 134 ，则CP的长为 395 ．
【解答】解：如图，连接OC，
设BE＝2x，
∵CD⊥OB，
∴CE＝DE，∠BED＝90°，
∵tan∠BDC=BEDE=23，
∴DE＝3x，
∴CE＝3x，OC＝OB＝2x+54，
在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，即（2x+54）2＝（54）2+（3x）2，
解得：x＝1，
∴OB＝2+54=134，
则sin∠OCE=OEOC=54134=513，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCE+∠PCE＝90°，
∵CD⊥OB，
∴∠OCE+∠CPE＝90°，
∴∠CPE＝∠OCE，
∴sin∠CPE=CECP=513，
∴PC=3513=395，
故答案为：134；395．
26．如图，以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，BE与⊙O交于点D，过D作CD⊥AB于点H，连接CE交AB于点F、交⊙O于点G．若BH＝2，AH＝8，则CD＝ 8 ，AG＝ 52 ．
【解答】解：连接OD，BC，如图所示：
∵BH＝2，AH＝8，
∴AB＝BH+AH＝10，
∵AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OD＝5，
∴OH＝OB﹣BH＝3，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH，即CD＝2DH，
在Rt△OOHD中，OH＝3，OD＝5，
由勾股定理得：DH=OD2−OH2=4，
∴CD＝2DH＝8；
在Rt△BHC中，CH＝DH＝4，BH＝2，
由勾股定理得：BC=CH2+BH2=25，
∵以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，
∴AE∥AB，
又∵CD⊥AB，
∴CD∥AE，
∴△BDH∽△BEA，
∴BH：AB＝DH：EA，
即2：10＝4：EA，
∴AE＝20，
设HF＝a，则AF＝AH﹣FH＝8﹣a，
∵CD∥AE，
∴△CHF∽△EAF，
∴CH：EA＝HF：AF，
即4：20＝a：（8﹣a），
解得：a=43，
∴HF＝a=43，
∴BF＝BH+HF=2+43=103，AF＝8﹣a=8−43=203，
在Rt△AHF中，由勾股定理得：CF=AH2+HF2=42+(43)2=4103，
∵∠CBA＝∠CGA，∠AFB＝∠AFG，
∴△CFB∽△AFG，
∴CF：AF＝BC：AG，
∴CF•AG＝AF•BC，
即4103⋅AG=203⋅25，
∴AG=52．
故答案为：8；52．