中考数学一轮复习备考专题2：代数式与整式 综合测试(含答案)

这是一份中考数学一轮复习备考专题2：代数式与整式 综合测试(含答案)，共18页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.一个小数,十位上的数字是m,个位上的数字是0,十分位上的数字是n,根据每个数位上的计数单位,这个小数用含有字母的式子表示是( )
A.B.C.D.
2.随着科技不断发展,芯片的集成度越来越高,我国企业已经实现7纳米量产,已知7纳米毫米用科学记数法表示为( )
A.米B.米C.米D.米
3.下列运算正确的是( )
A.B.C.D.
4.关于x,y的单项式,若x的指数与y的指数是相等的正整数,则称该单项式是“等次单项式”,如,.给出下面四个结论：
①是“等次单项式”；
②“等次单项式”的次数可能是奇数；
③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”；
④若五个“等次单项式”的次数均不高于8,则它们中必有同类项.
上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
5.甲、乙两人在因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么的值为( )
A.-8B.-6C.-4D.2
6.在一个位的正整数中,若从左到右第n位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k,则称这样的数为“对称等和数”.例如：5173是“对称等和数”,其中.已知一个四位“对称等和数”能被11整除,且,这样的四位数共有( )
A.3个B.4个C.5个D.6个
7.请你计算：,,猜想的结果是( )
A.B.C.D.
8.设x为实数，已知实数x满足.则的值为( )
A.0B.1C.2D.3
9.下列因式分解正确的是( )
A.B.
C.D.
10.已知，则的最小值是( )
A.B.C.0D.2
11.设为正整数，若能被57整除，则能被下列哪个数整除( )
A.55B.56C.57D.58
12.已知a、b、c、d均为常数,e、f均为非零常数,若有两个整式,,下列结论中,正确个数为( )
①当为关于x的三次三项式时,则；
②当多项式乘积不含时,则；
③；
④当A能被整除时,；
⑤若或时,无论e和f取何值,A值总相等,则.
A.4B.3C.2D.1
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.当时，代数式的值为___________.
14.若,则代数式的值为______.
15.若一个三角形的三边长为a、b、c，满足，则三角形的形状为_________.
16.将多项式变形为的形式,这样的方法叫做配方法.利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大(小)值.例如：,
,,当时,多项式有最小值.
已知a,b为实数,多项式展开后x的一次项系数为m,多项式展开后x的一次项系数为n,且m,n均为正整数,则当时,的最大值为______.
17.如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1.现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是_____________.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为
(1)直接写出a、b的值：______，______.
(2)这道除法计算的正确结果是______；
(3)若，，计算（2）中代数式的值.
19.（8分）某同学做一道数学题,已知两个多项式A、B,其中,试求.这位同学把误看成,结果求出的答案为.
(1)请你替这位同学求出的正确答案；
(2)若的值与x的取值无关,求y的值.
20.（8分）【代数推理】代数推理指从一定条件出发,依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.
【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n,它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方.
(1)举例验证：当,,则
(2)推理证明：小明同学做了如下的证明：
设,m、n是连续的正整数,
∴；∵,∴.
∴一定是正数n的平方数.
【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.
请你举例验证及推理证明；
【深入思考】若(m,n为两个连续奇数,,)求证：p一定是偶数.
21.（10分）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3.
(1)和5关于2的“美好关联数”为_____；
(2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，和关于4的“美好关联数”为1，和关于5的“美好关联数”为1…，则的最小值为_____.
22.（12分）关于x、y、z的多项式，，，，在将字母x、y、z轮换（即将x换成y，y换成z，z换成x）时，保持不变.这样的多项式称为x、y、z的轮换式.我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法.
例题：分解因式
令时，原式
所以a是原式的因式，由于原式是a、b、c的轮换式，所以b、c也是原式的因式，从而可以设
，
（保证两边次数相同，其中是系数）
令，得，即
所以
阅读上述材料分解因式完成下列两题：
（1）对多项式
令________，原式；令________，原式
所以设
令得________
（2）用轮换式法因式分
23.（13分）(1)若,则的值是______；
(2)分解因式：
①；
②；
(3)若多项式能分解成两个一次式(常数项为整数)的乘积,求a的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：∵一个小数,十位上的数字是m,个位上的数字是0,十分位上的数字是n,
∴这个小数用含有字母的式子表示是.
故选：D.
2.答案：A
解析：.
故选：A.
3.答案：C
解析：A、与不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：C.
4.答案：B
解析：①的x的指数与y的指数是相等的正整数,是“等次单项式”,故选项原说法正确；
②x和y的指数相等且为正整数,那么它们的和(即次数)必然是偶数,故选项原说法错误；
③两个次数相等的“等次单项式”的和不一定是“等次单项式”,如不是“等次单项式”,故原说法错误；
④五个“等次单项式”的次数均不高于8,即它们的次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8中的某一个.
根据抽屉原理,在这里,我们有8个“抽屉”(即8个可能的次数),和5个“等次单项式”(即5个“物品”).由于5个“等次单项式”要放入8个“抽屉”中,根据抽屉原理,至少有一个“抽屉”里放有两个或两个以上的“等次单项式”.即至少有两个“等次单项式”的次数是相同的.故本选项说法正确；
综上所述：正确得有①④,
故选：B.
5.答案：A
解析：甲、乙两人在因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，.乙看错了b的值，分解的结果为，，.
6.答案：D
解析：设这个四位数是abcd,则,,
又是11的倍数,则,则,,
∴满足条件的四位数有6600、1155、5511、4422、2244、3333共6个.
故选：D.
7.答案：A
解析：,
,
猜想：,
故选：A.
8.答案：B
解析：，
，，
，
，
，
，
故选：B.
9.答案：D
解析：A、,无法分解因式,此选项错误,故该选项不符合题意;
B、,此选项错误,故该选项不符合题意;
C、此选项错误,故该选项不符合题意;
D、,此选项正确,故该选项符合题意.
故选:D.
10.答案：A
解析：，
，，则，
，
令，
，
，
最小值为：，
故选：A.
11.答案：C
解析：
，
能被57整除，
也能被57整除，
又能被57整除，
也能被57整除，
即能被57整除，
故选：C.
12.答案：B
解析：∵,,
∴,
当,时,为关于x的三次三项式,此时,故说法①错误；
∵多项式乘积不含,
∴,解得：,故说法②错误；
∵,
当时,,
即,
当时,,
即,
∴,故③说法正确；
∵A能被整除,
∴可设,
∵
∴,
令得：,即
∴,故④说法正确；
当时,,
当时,,
∵当或时,无论e和f取何值,A值总相等,
∴且,
解得：,故⑤说法正确；
正确的有：③④⑤,共3个.
故选：B.
13.答案：
解析：，当时，原式.
14.答案：49
解析：∵,
∴,
∴
=
=
=
=
=49.
故答案为：49.
15.答案：等边三角形
解析：，
，
即.
，，
，
.
该三角形是等边三角形.
16.答案：3
解析：∵
∴,
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴当时,的最大值为3,
故答案为：3.
17.答案：10
解析：设下方竖着放的有a个（），上方竖着放的有b个（），则正方形的边长为，一共摆了个礼盒
这些礼盒的面积为，
阴影部分的面积为：，
留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
正方形的边长为.
故答案为：10.
18.答案：(1)6，
(2)
(3)
解析：（1）由题意，，
,，
解得，，，
故答案为：，；
（2）由题意，得
，
故答案为：；
（3）
，
原式.
19.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可得,,
∴,
,
,
∴,
,
；
(2),
,
,
,
∵的值与x的取值无关,
∴,
∴.
20.答案：见解析
解析：类比猜想：(1)举例验证：当,,则
(2)推理证明：小明同学做了如下的证明：
设,m、n是连续的正整数,
∴；
∵,
∴.
∴一定是正数m的平方数.
深入思考：∵m,n为两个连续奇数,,
∴,
∴,
∴,
∴p一定是偶数.
21.答案：(1)8
(2)或
(3)1或10
解析：(1)∵，
∴和5关于2的“美好关联数”为8，
故答案为：8；
(2)∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或；
(3)∵和关于1的“美好关联数”为1，
∴，
当，时，则，即，
当，时，则，即，
∴；
当，时，则，即，
∴，
∴；
当，时，则，即，
∴的最小值为1；
∵和关于2的“美好关联数”为1，
∴，
当，时，则，即，
当，时，则，即，
∴，
∴；
当，时，则，即，
∴，
∴；
当，时，则，即，
∴的最小值为3；
同理的最小值为，
以此类推，可得的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：10.
22.答案：（1）1，1，1
（2）
解析：（1）对多项式，
令，原式；令，原式，
所以设，
令得，，即，
故答案为：1，1，1.
（2）对多项式，
令时，原式，
令时，原式，
令时，原式，
所以设（保证两边次数相同，其中k是系数），
令，，时，，
解得，
所以，
即.
23.答案：(1)
(2)①；②
(3)或
解析：(1)∵,
∴,
∴,
∴,,
∴,,
∴,
故答案为：；
(2)①
；
②
；
(3)∵能分解成两个一次式(常数项为整数)的乘积,
∴可设,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵m、n都是整数,
∴,都是整数,
∵,
∴或或或,
∴或或或,
∴或,
解得或.