重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2025届九年级上学期第二次联考数学试卷(含解析)

这是一份重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2025届九年级上学期第二次联考数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）新能汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．2024年5月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米SU7汽车销量创历史新高．以下新能汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上
D．任意画一个三角形，其内角和是180度
3．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k≤1D．k≤1且k≠0
4．（4分）关于二次函数y＝﹣2x2+1的图象，下列说法中，正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝1
B．顶点坐标为（﹣2，1）
C．可以由二次函数y＝﹣2x2的图象向左平移1个单位长度得到
D．在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小
5．（4分）若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2
6．（4分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+x）＝1456
B．400（1+x）+400（1+x）2＝1456
C．400（1+x）2＝1456
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456
7．（4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝32°，则∠OAB的度数为（ ）
A．26°B．32°C．58°D．64°
8．（4分）下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第①个图形中有4朵梅花，第②个图形中有8朵梅花，第③个图形中有14朵梅花，第④个图形中有22朵梅花．按此规律摆放下去，则第⑦个图形中梅花朵数为（ ）
A．44B．58C．74D．92
9．（4分）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接DF、BF，若∠ADF＝α，则∠EFB一定等于（ ）
A．αB．45°﹣αC．90°﹣3αD．
10．（4分）a﹣b，a+b，a﹣b，a+b，...是由a﹣b，a+b交替排列的n个多项式，其中a≠b，将这n个多项式中的任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（1≤m≤n，且m，n均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…．例如：当n＝3，m＝2时，第1次操作后可能得到；﹣a+b，﹣a﹣b，a﹣b或﹣a+b，a+b，﹣a+b或a﹣b，﹣a﹣b，﹣a+b．
下列说法：
①当n为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的n个多项式的和为0；
②当n＝6，m＝5时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不含a；
③当n＝6，m＝3时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）若点P（x，﹣3）与点Q（4，y）关于原点对称，则（x+y）2024＝ ．
12．（4分）若（a+1）x|a﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
13．（4分）在化学课上，王老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将3种常见的生活现象制成背面完全相同的卡片，卡片上的内容分别是“火柴燃烧”、“水结成冰”、“灯泡发光”，然后将所有卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是 ．
14．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），则不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集是 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，，过点C与AB的中点D，并以CD为直径作半圆，与边BC和AB分别交于点E、F，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．（4分）在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队包揽了所有跳水项目的金牌，实现了历史性的突破．运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间t（s）和运动员距离水面的高度h（m）之间满足关系：，那么运动员完成规定动作的时长最多为 s．（结果保留根号）
17．（4分）若a使关于x的分式方程有整数解，且使关于y的一元二次方程（a﹣1）y2﹣5y﹣2＝0有实数根，那么满足条件的所有整数a的和为 ．
18．（4分）对于一个四位自然数M，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“凤翔数”．例如，M＝5241，因为5+1＝2+4，所以5241是“凤翔数”，则最小的“凤翔数”是 ；若“凤翔数”M＝1000a+100b+10c+d，使二次函数y＝ax2+（b+c）x+d与x轴有且只有一个交点，且满足20≤a+b+c+d≤33，则满足条件的M的最大值
为 ．
三、解答题（第19题8分，第20-26题每小题8分，共78分）
19．（8分）解一元二次方程．
（1）x（x+4）＝2（x+4）；
（2）2x2+4x﹣3＝0．
20．（10分）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E．用尺规过点A作BC的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）已知：平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，AF⊥BC于点F．求证：四边形AFCE是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，① ．
∵CE⊥AD，AF⊥BC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°．
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS）．
∴AF＝CE，② ．
∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即③ ．
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵CE⊥AD，
∴四边形AFCE是矩形．
进一步思考，如果四边形ABCD是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④ ．
21．（10分）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试，并将20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为10分），收集整理的数据制成了如下统计图表：
根据以上信息，回答下列问题．
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
22．（10分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，东部华侨城景区成为深圳著名旅游“网红打卡地”．已知在2024年“十一”长假期间，东部华侨城景区共接待游客达20万人次，其中该景区的成人票每张200元，学生票按成人票五折优惠．某班在该景区内组织活动，教师和学生一共去了30人，门票共需3300元．
请依据以下对话，完成本题．
（1）参与活动的教师和学生各有多少人？
（2）在该景区内有一家奶茶店销售的一款奶茶备受游客喜爱，店家决定在2025年“十一”期间进行降价促销活动，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家实现相应的利润额．
23．（10分）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，AC平分∠HAB，AH⊥CH，垂足为H，AH交⊙O于点D．
（1）求证：直线HC是⊙O的切线；
（2）若HC＝8，DH＝4，求⊙O的直径．
24．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点F是线段CD的中点．动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，△PBQ的面积为y．
（1）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；
（2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出△PBQ的面积为1时x的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，在y轴上取一点F，使得EF＝EC，求PE+CF的最大值及此时点P坐标；
（3）将该抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点M，使得∠BCM＝2∠OBC，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程．
26．（10分）在等边△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD．
（1）如图1，若∠CAD＝15°，BD＝2，求AB的长；
（2）如图2，将线段AD绕A点顺时针旋转120°至AE位置，连接CE，交AB于点F，求证：AF+CD＝BF；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点D为直线BC上一点，过点E作EG⊥BC于点G，BC＝4，连接FG，BE，当BE+2FG取得最小值时，请直接写出△BCE的面积．
2024-2025学年重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校九年级（上）第二次联考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．解：A、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：A、挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，不符合题意；
B、车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意；
C、抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180度是必然事件，符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：A．
4． 【解答】解：A、由二次函数y＝﹣2x2+1得，对称轴为直线x＝0；故本项错误；
B、由二次函数y＝﹣2x2+1得，顶点坐标为 （0，1）；故本项错误；
C、由二次函数y＝﹣2x2+1的图象可由二次函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位得到；故本项错误；
D、由二次函数y＝﹣2x2+1得，其开口向下，顶点为（0，1），则在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小；故本项正确．
综上，正确的是D．
故选：D．
5．【解答】解：当x＝﹣4时，y1＝（﹣4）2+4×（﹣4）﹣5＝﹣5；
当x＝﹣1时，y2＝（﹣1）2+4×（﹣1）﹣5＝﹣8；
当x＝1时，y3＝12+4×1﹣5＝0．
∵﹣8＜﹣5＜0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
6．【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456．
故选：D．
7．【解答】解：∵∠D＝32°，
∴∠BOC＝2∠D＝64°．
∵OC⊥AB，
∴点C为的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝64°，
∴∠AOB＝2×64°＝128°．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA26°，
故选：A．
8．【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中梅花的朵数为：4＝2×1+2；
第②个图形中梅花的朵数为：8＝2×（1+2）+2；
第③个图形中梅花的朵数为：14＝2×（1+2+3）+2；
第④个图形中梅花的朵数为：22＝2×（1+2+3+4）+2；
…，
所以第n个图形中梅花的朵数为2×（1+2+3+…+n）+2＝n（n+1）+2，
当n＝7时，
n（n+1）+2＝7×8+2＝58（朵），
即第⑧个图形中梅花的朵数为58朵．
故选：B．
9．【解答】解：过点F作FG⊥CB，交CB的延长线于点G，
由旋转得，DE＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠EDF＝45°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠C＝∠EGF＝90°．
∵∠CDE+∠CED＝90°，∠FEG+∠CED＝90°，
∴∠CDE＝∠FEG，
∴△CDE≌△GEF（AAS），
∴FG＝CE，EG＝CD．
∴EG＝BC，
即BG+BE＝BE+CE，
∴BG＝CE＝FG，
∴∠FBG＝45°．
∵∠ADF＝α，∠EDF＝45°，
∴∠CDE＝∠FEG＝45°﹣α，
∴∠EFB＝∠FBG﹣∠FEB＝α．
故选：A．
10．【解答】解：①n为奇数时，无论经过多少次操作后，得到的n个多项式中a的个数与﹣a的个数不会相同，①正确，符合题意；
②3次操作后，只需6个多项式中有3个含a，3个含﹣a，不用考虑b，
原多项式：a，a，a，a，a，a，
第一次操作：﹣a，﹣a，﹣a，﹣a，﹣a，a，
第二次操作：a，a，a，a，﹣a，﹣a，
第三次操作：﹣a，﹣a，﹣a，a．a．a．此时它们的和为零，
故②正确，符合题意；
③n＝6，m＝3时
如果对6个a进行3次操作，其结果可能出现：1负5正或3负3正或5负1正，
因为是从6个多项式中任意选出3个添加负号，
由任意性可知，6个多项式进行3次操作后可能出现的结果：其中1个或3个或5个多项式整体添加了负号，
（1）若其中3个添加了负号：3个a+b整体添加负号，其余不变，则和为4a﹣2b；a﹣b整体添加负号，其余不变，则和为4a+2b；
（2）若其中3个添加了负号：3个a+b整体添加负号，其余不变，则和为﹣6b；3个a﹣b整体添加负号，其余不变，则和为6b；2个a﹣b和1个a+b整体添加负号，其余不变，则和为2b；2个a+b和1个a﹣b整体添加负号，其余不变，则和为﹣2b；
（3）若其中5个添加了负号；若a+b不变，其余均整体添加了负号，则和为﹣4a+2b；a﹣b不变其余均整体添加了负号，则和为﹣4a﹣2b；
所以有8种可能出现的结果，
故③正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．【解答】解：∵点P（x，﹣3）与点Q（4，y）关于原点对称，
∴x＝﹣4，y＝3，
∴（x+y）2024＝（﹣4+3）2024＝（﹣1）2024＝1．
故答案为：1．
12．【解答】解：∵（a+1）x|a﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程，
∴|a﹣1|＝2，
∴a﹣1＝±2，
∴a＝3或a＝﹣1，
∵a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝3，
故答案为：3．
13．【解答】解：∵3张卡片给出的变化是化学变化的有：火柴燃烧，共1种，
∴从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是．
故答案为：．
14．【解答】解：由ax2﹣bx﹣c≥0得：ax2≥bx+c，
∴满足不等式的解为抛物线在直线上方的部分，
∴x≤﹣3或x≥1，
故答案为：x≤﹣3 或 x≥1．
15． 【解答】解：如图，连接OE，OF，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴设BC＝x，则AB＝2x，
∴AB2﹣BC2＝AC2，即4x2﹣x2＝12，
解得：x＝2，
∴BC＝2，AB＝4，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝2，∠A＝∠DCA＝30°，
∴∠CDB＝∠DCB＝60°，
∴，
∵，
∴△DOF，△COE为等边三角形，
∴∠EOF＝60°，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．【解答】解：令5，
解得：t（s）（舍去负值），
故答案为：．
17．【解答】解：由题知，
解方程得，
x．
因为a为整数，且方程有整数解及x≠2，
所以a＝﹣7或﹣6或﹣5或﹣4或﹣2或0或1．
因为关于y的一元二次方程（a﹣1）y2﹣5y﹣2＝0有实数根，
所以Δ＝（﹣5）2﹣4（a﹣1）×（﹣2）≥0，
解得a．
又因为a﹣1≠0，
即a≠1，
所以满足条件的所有整数a为：﹣2或0，
则它们的和为：﹣2+0＝﹣2．
故答案为：﹣2．
18．【解答】解：对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小，
∴千位上的数字为1，百位上的数字为0，
又∵千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，
∴十位上的数字为1，个位上的数字为0，
∴最小的“凤翔数”是1010；
∵“凤翔数”M＝1000a+100b+10c+d，
显然1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，且a，b，c，d均为整数，
根据“凤翔数”的定义得：a+d＝b+c，
∵二次函数y＝ax2+（b+c）x+d与x轴有且只有一个交点，
∴（b+c）2﹣4ad＝0，
∴（a+d）2﹣4ad＝0，
∴整理得：（a﹣d）2＝0，
∴d＝a，
∴b+c＝2a，
又∵20≤a+b+c+d≤33，
∴20≤a+2a+a≤33，
解得：，
∵“凤翔数”M＝1000a+100b+10c+d为最大，
∴a、b均为最大，
∴a取最大值8，b取最大值9，此时c＝2a﹣b＝2×8﹣9＝7，d＝a＝8，
∵M的最大值为：8978．
故答案为：1010；8978．
三、解答题（第19题8分，第20-26题每小题8分，共78分）
19．【解答】解：（1）x（x+4）＝2（x+4）；
x（x+4）﹣2（x+4）＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
x1＝﹣4，x2＝2；
（2）2x2+4x﹣3＝0．
2x2+4x＝3，
x2+2x，
x2+2x+1，
（x+1）2，
x+1＝±，
x1＝﹣1，x2＝﹣1．
20．【解答】（1）解：如图，AF即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．
∵∠AFB＝∠CED＝90°．
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS）．
∴AF＝CE，BF＝DE．
∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即CF＝AE．
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵CE⊥AD，
∴四边形AFCE是矩形．
过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形．
故答案为：①∠B＝∠D；②BF＝DE；③CF＝AE；④矩形．
21．【解答】解：（1）a＝（7×1+8×6+9×2+10×1）÷10＝8.3．
将乙组的10名学生竞赛成绩数据按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的学生成绩数据分别为8和9，
∴b＝（8+9）÷2＝8.5．
由图2可知，乙组学生竞赛成绩的众数为7，
∴c＝7．
故答案为：8.3；8.5；7．
（2）360144（名）．
∴估计竞赛成绩达到9分及以上的人数约144名．
（3）将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：（A，B），（A，C），（B，A），（C，A），共4种，
∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为．
22．【解答】解：（1）设参与活动的教师有x人，学生有y人，
由教师和学生一共去了30人，门票共需3300元可得：，
解得：，
答：参与活动的老师有3人，学生有27人；
（2）设每杯奶茶降价m元，
依题意，得：（25﹣m﹣5）（300+30m）＝6720，
整理得：m2﹣10m+24＝0，
解得：m1＝4，m2＝6，
∵让顾客获得最大优惠，
∴m＝6，
答：当每杯奶茶降价6元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6720元的利润额．
23．【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AC平分∠HAB，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∴AH∥OC，
∵AH⊥CH，
∴OC⊥CH，
∵OC是⊙O的半径；
∴直线HC是⊙O的切线；
（2）解：如图，作OI⊥AH于点I，
∴AI＝DI，
∵∠OCH＝∠CHI＝∠OIH＝90°，
∴四边形OCHI是矩形，
∵HC＝8，DH＝4，
∴IH＝OC＝OA，OI＝HC＝8，
∴AI＝DI＝IH﹣DH＝OA﹣4，
∵∠OIA＝90°，
∴（OA﹣4）2+82＝OA2，
∴OA＝10，
∴AB＝2OA＝20，
∴⊙O的直径长为20．
24．【解答】解：（1）P从A到B所需时间为4÷2＝2（秒），Q从B到C所需时间为2÷1＝2（秒），Q从C到F所需时间为2÷1＝2（秒）；
当0＜x＜2时，yx（4﹣2x）＝﹣x2+2x；
当2＜x≤4时，y2（2x﹣4）＝2x﹣4；
∴y；
（2）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）；y＝2x﹣4过（2，0）和（4，4），
如图：
当P在AB上时，△PBQ的面积最大为1；当2＜x≤4时，△PBQ的面积随x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）由图象可得，x＝1或x＝2.5时，△PBQ的面积为1．
25．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2x+2；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∴6k+2＝0，
解得k，
∴直线BC的解析式为yx+2，
设P（t，t2t+2），则E（t，t+2），
∴PEt2t+2t﹣2t2+2t，
∵EF＝EC，
∴F（0，t+2），
∴CFt，
∴PE+CFt2t（t﹣4）2，
当t＝4时，PE+CF的最大值为，此时P（4，）；
（3）∵抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，
∴抛物线向上平移1个单位长度，向左平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为yx2x+5，
设M（m，m2m+5），
当点M在直线BC上方时，
过C点作x轴的平行线l，作B点关于直线l的对称点E，连接BE交l于点H，
∴E（6，4），
∵∠CBO＝∠HCB，∠ECH＝∠HCB，
∴∠ECB＝2∠OBC，
∵∠BCM＝2∠OBC，
∴M点在直线CE上，
∵tan∠OBC，
∴，
解得m＝﹣1或m＝﹣1（舍），
∴M点横坐标为﹣1；
当点M在直线BC下方时，
作E点关于直线BC的对称点F，连接EF与BC交于G点，
∴∠ECB＝∠BCF＝2∠OBC，
∴点M在直线CF上，
在△BCE中，BE＝4，CH＝6，BC＝2，
∴4×62EG，
解得EG，
在Rt△CEG中，CE＝2，
∴CG，
∴tan∠ECB，
设G（x，x+2），
∴CG，
解得x，
∴G（，），
∵G点时EF的中点，
∴F（，），
设直线CF的解析式为y＝k'x+2，
∴k'+2，
解得k'，
∴直线CF的解析式为yx+2，
当x+2x2x+5时，解得x或x（舍），
∴M点坐标为；
综上所述：M点的坐标为或﹣1．
26．【解答】（1）解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
∴∠BDH＝30°，
∴，
∴，
∵∠CAD＝15°，
∴∠DAH＝45°，
∴∠ADH＝45°＝∠DAH，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，在AB上截取BG＝CD，连接CG交AD于T，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACD＝∠B＝60°，
又∵BG＝CD，
∴△BCG≌△CAD（SAS），
∴∠CAD＝∠BCG，CG＝AD，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG＝60°，
∴∠ACG+∠CAD＝60°，即∠ATG＝60°，
由旋转的性质可得AE＝AD，∠EAD＝120°，
∴AE＝CG，∠EAD+∠ATG＝180°，
∴AE∥CG，
∴∠E＝∠GCF，∠FAE＝∠FGC，
∴△AEF≌△GCF（ASA），
∴AF＝GF，
∵BF＝BG+GF，
∴BF＝AF+CD；
（3）解：如图所示，将AC绕点A顺时针旋转120度得到AQ，连接EQ，
∴AQ＝AC，∠EAD＝∠QAC＝120°，
∴∠EAQ＝∠DAC，
又∵AE＝AD，
∴△AEQ≌△ADC（SAS），
∴∠EQA＝∠DCA＝60°，
∴点E在直线EQ上运动，
设直线EQ交直线BC于S，
∵∠EAC+∠ACB＝120°+60°＝180°，
∴AQ∥BC，
∴∠ESC＝∠EQA＝60°，
由（2）可得EF＝CF，
∵EG⊥CG，
∴CE＝2FG，
∴BE+2FG＝BE+CE，
如图所示，左点B关于直线QS的对称点H，连接HS，过点H作HR⊥BC交直线BC于R，连接CH分别交QS，AB于E′、F′，
∴HE＝BE，
∴BE+2FG＝BE+CE＝HE+CE，
∴当H、C、E三点共线时，HE+CE最小，即此时BE+2FG最小，且此时点E和点F分别与点E′、点F′重合，
∴CF′＝E′F′
∵∠ESC＝∠ABC＝60°，
∴E′S∥BF′，
取CS的中点W，连接F′W，则F′W是△CSE′的中位线，
∴WF′∥E′S，
∴由平行线的唯一性可知BF′与W′F重合，即点W与点B重合，
∴BS＝BC＝4，
由轴对称的性质可得HS＝BS＝4，∠HSE′＝∠BSE′＝60°，
∴∠HSR＝60°，
∴∠RHS＝30°，
∴，
∴，
又∵SE′＝SE′，
∴△HSE′≌△BSE′（SAS），
∴S△HSE′＝S△BSE′，
∵BS＝BC，
∴S△BCE′＝S△BSE′，
∴．
平均数
中位数
众数
甲组
a
8
8
乙组
8.3
b
c
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
D
C
D
A
B
A
D
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）