重庆市江津中学校2024届九年级上学期第二次月考数学试卷(含解析)

这是一份重庆市江津中学校2024届九年级上学期第二次月考数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，
故选B．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是二元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
3. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 低头思故乡B. 大漠孤烟直C. 千里江陵一日还D. 竹篮打水一场空
答案：D
解析：
详解：解：A、低头思故乡是随机事件，不符合题意；
B、大漠孤烟直是随机事件，不符合题意；
C、千里江陵一日是随机事件，不符合题意；
D、竹篮打水一场空是必然事件，符合题意；
故选D．
4. 如图，在平面直角坐标系中，若将绕点逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：如图，过B作于C，过作轴于D，
，
，
由旋转的性质可知，，，
，
；
在和中，
，
又，即，，
，
．
故选C．
5. 小明画出二次函数的图像如下图，则关于的方程的解为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：由函数图象可知二次函数与x轴的两个交点坐标为，
∴关于的方程的解为，
故选：B．
6. 根据如图所示的程序计算二次函数的值，若输入的值为1，则输出的值为；若输入的值为，则输出的值为（ ）
A. 8B. C. 4D.
答案：A
解析：
详解：解：由流程图可知，当时，，将代入得到；
当时，，将代入得到；
，
故选：A．
7. 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第个图形中小正方形的个数是个，第个图形中小正方形的个数是个，第个图形中小正方形的个数是个，则第个图形中小正方形的个数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵第个图形中小正方形的个数，
第个图形中小正方形的个数，
第个图形中小正方形的个数，
，
∴第个图形中小正方形的个数为个，
当时，，
∴第个图形中小正方形的个数是，
故选：．
8. 《开山人》讲述了二十世纪九十年代巴蜀地区巫山夏庄村村民在村支书毛永福的带领下，面对四周被10O0多米海拔的高山绝壁所环绕的艰险环境，他们毫不退缩，用自己的血肉之躯在绝壁上凿出了一条8公里长的“天路”．电影自上映以来，第一天票房约为2亿元，以后每天票房按照相同的增长率增长，前三天累计票房达到18亿元，将增长率记为x，依题意可列出方程（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
详解：解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：．
故选：D．
9. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点，若，则的长（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
答案：B
解析：
详解：连接，
∵是的直径，是的切线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
解得，
故，
故选B．
10. 对于多项式：，只选取两个字母，并交换它们的位置（符号不参与交换），称这种操作为一种“交换操作”．然后再进行运算，并将化简的结果记为．例如：交换后；交换后．下列相关说法正确的个数为（ ）
①存在一种“交换操作”，使其运算结果为；
②共有三种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等；
③所有的“交换操作”共有八种不同的运算结果．
A. 3B. 2C. 1D. 0
答案：C
解析：
详解：解：当b，n交换后，，故①正确；
当a，b交换后，；
当a，m交换后，；
当b，m交换后，；
当c，n交换后，；共有四种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等；故②不正确；
当a，c交换后，，
当a，n交换后，，
当b，c交换后，，
当b，n交换后，，
当c，m交换后，，
当m，n交换后，，
②中的四种交换与原多项式相等，共七种不同的运算结果，故③不正确，
故选：C．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
答案：
解析：
详解：解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝______．
答案：1
解析：
详解：解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，
所以x1+x2-x1x2=3-2=1．
故答案为：1．
13. 现有分别标有汉字“圆”“梦”“津”“中”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能组成“津中”的概率是______．
答案：
解析：
详解：解：“圆”“梦”“津”“中”的四张卡片分别用表示，画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“津中”有2种，所以两次抽出的卡片上的汉字能组成“津中”的概率是，
故答案为：．
14. 若三点在抛物线的图像．上，的大小关系是______．（用符号连接）
答案：
解析：
详解：解：函数对称轴为直线，开口向上，
函数在左侧单调递减，在右侧单调递增，且与的函数值相等，
，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，为的中点，连接．以为圆心，长为半径画弧，分别与交于点，则图中阴影部分的面积______．（结果保留）
答案：
解析：
详解：解：∵四边形是矩形，，，为的中点，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
16. 若数使关于的不等式组的解集是，且使关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为______．
答案：-12
解析：
详解：解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵整数a使关于x的一元一次不等式组的解集是，
∴，
解分式方程得：，且， 即
∵分式方程的解是非负整数，
∴，
∴，且，
∵为整数，
∴，
∴符合条件的所有整数a的值之积为，
故答案为：-12．
17. 如图，在中，，点为内部一点，在平面内将线段绕点逆时针旋转得到线段，点三点共线，点为线段的中点，连接，若，则的度数为______．

答案：
解析：
详解：解：连接，如图所示：

将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
，
又，
，
，
，
点为线段的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18. 对于一个四位正整数，若它的千位与个位上的数字之和为9，百位与十位上的数字之和也为9，则称为“九九重阳数”．已知是一个“九九重阳数”．其中，且均为整数．将的前三位数字组成的三位数记为，的后三位数字组成的三位数记为，若能被13整除，则______．在此条件下，将“九九重阳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到一个新的“九九重阳数”B，若（为整数），则满足条件的的值为______．
答案： ①. 6 ②. 2457或4185
解析：
详解：解：由题干可得：千位数字a，百位数字b，十位数字，个位数字d；
，
，
，
，
整理得：；
进一步化简得
能被13整除，
能被13整除，
由题意可知，
列举法可求得： ．
由，，可得：，
，
，
为整数，
当，
则，，，
；
当，，
则，，，
；
当，，
则，，不符合题意，
故答案为：6，2457或4185．
三、解答题（19题8分，20-26每小题10分，共78分）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），；
（2），
解析：
小问1详解：
∴，
解得，；
小问2详解：
，，
∴
∴
解得，．
20. 如图，在矩形中，，点在上，连接．

（1）过点作，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）．
（2）根据（1）中作图，求证：．
证明：四边形是矩形，
且．
，
①______．
．
，
．
在与中，，
②______．
③______．
，
．
④______．
．
答案：（1）见解析 （2）①；②；③；④
解析：
小问1详解：
解：如图所示：
小问2详解：
证明：四边形是矩形，
且．
，
，
．
，
．
在与中，
，
．
．
，
．
．
．
21. 数学课上，李老师在讲授“中心对称”时，设计了如下四种教学方法：学生合作交流，探索规律；教师讲授，学生练习；教师引导学生总结规律，学生练习；教师引导学生总结规律，学生合作交流．李老师将上述教学方法作为调研内容发到九年级所有同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢一种，然后李老师从所有调查问卷中随机抽取了份调查问卷作为样本，并将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估算全校名九年级学生中，大约有多少人选择项教学方法；
（3）在选择项教学方法的人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
答案：（1），，见解析
（2）名
（3）
解析：
小问1详解：
由题意可得，%，%%%%%，
故答案为：，；
由题意可得：有：%人
有：%人
补全条形统计图如图所示：

小问2详解：
(名)，
答：估计该校大约有名学生选择参观科学馆．
小问3详解：
解法一 列表如下：
如上表，共有12种等可能的结果．
甲、乙恰好被分在一组的结果为4种：(甲，乙)，(乙，甲)(丙丁一组意味着，甲乙一组)．
甲、乙恰好被分在一组的概率为．
22. 如图，点A为外一点，交于两点，于点，交于点为上一点，连接交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
证明：连接，如图所示：
，
于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
为的半径，
是的切线；
小问2详解：
解：过点作于，如图所示：
，
，
是等边三角形，
，
在，
，
在，
，
．
23. 民族要复兴，乡村必振兴！新时代新征程，江津“三农”一定高扬新重庆“敢闯敢干、唯实争先”主旋律，持续奋斗、不辱使命，奋力推动农业农村优先发展．江津去年广相大获丰收，果农李大爷共售出两种广相900千克，种广柑售价是3元/千克，种广柑售价是4元/千克，全部售出后总销售额为3000元．
（1）去年，果农李大爷售出两种广柑各多少千克？
（2）今年广相又获得丰收，李大爷借助抖音直播平台销售广柑，种广柑让利销售，其单价比去年下降了种广柑的单价比去年上涨了，结果种广柑的销量是去年的2倍，种广柑的销量比去年减少了，总销售额比去年增加了．求的值．
答案：（1）去年果农李大爷售出两种广柑各600千克300千克
（2）
解析：
小问1详解：
解：设去年果农李大爷售出广柑千克，
解得
答：去年果农李大爷售出两种广柑各600千克300千克；
小问2详解：
解：由题意列方程：
令，
化简得，
解得（舍去），
．
24. 如图，在四边形中，，，点F从B点出发，沿着折线运动，点F的速度始终为每秒1个单位长度，设运动时间为x秒，的面积记为y，请解答下列问题：
（1）请直接写出y关于x的函数解析式，并注明x的取值范围．
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质：__________．
（3）若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围______．
答案：（1）
（2）当时，y取得最大值，最大值为12
（3）或
解析：
小问1详解：
解：如图，过点A作于点E，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
当时，点F在线段上时，此时，
，
当时，当点F在线段上时，如图，此时，
，
综上所述，y关于x的函数解析式为；
小问2详解：
解：当时，；当时，；当时，，
描点画出函数图象如下：
当时，y取得最大值，最大值为12（答案不唯一），
故答案为：当时，y取得最大值，最大值为12；
小问3详解：
解：若经过点，
∴，
∴，
若经过原点，，，
∴当时，与y的图象有且只有一个交点；
若经过点，，
∴，
∴时，与y的图象有且只有一个交点，
综上所述，当或时，与y的图象有且只有一个交点．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴为．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）为第一象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，在平面内是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标，并选择一个你喜欢的点，写出求解过程；若不存在，请说明理由．
答案：（1）抛物线的解析式为
（2）面积的最大值为4，此时的坐标为
（3）存在，所有可能的点的坐标为，求解过程见解析
解析：
小问1详解：
解：抛物线对称轴为对称轴为，
，
即，
解得：，
把，代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
小问2详解：
解：如图所示，连接，过点作平行于轴的直线交于点，
，
，即求面积的最大值即可，
把代入得:．
点坐标为，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：
直线的解析式为：，
设，则，
，
，
根据二次函数的性质可得：当时，取得最大值为4，
将代入，得到此时的坐标为，
面积的最大值为4，此时的坐标为；
小问3详解：
解：存在，理由如下：
由（2）可知，当面积的最大值为4时，的坐标为，
，
，则，
原抛物线解析式为：，
设向右平移后的解析式为：，
将代入求得：（舍负值），
平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线，
设，
根据对称性可知，点A的横坐标为：，
∴，
∵，
，
①当时，
根据勾股定理得：，
即：，
解得：，
即：，
∵此时与为矩形的对角线，
∴根据中点坐标公式可得：
，
解得：，
；
②当时，
根据勾股定理得：，
即：，
解得：，即：，
∵此时与为矩形的对角线，
∴根据中点坐标公式可得：
，
解得：，
；
③当时，根据勾股定理得：，
即：，
整理得：，
，
上述方程在实数范围内无解，即不存在的情况；
综上所述，所有可能的点的坐标为．
26. 已知正方形的边长为为等边三角形，点在边上，点在边的左侧．
（1）如图1，若在同一直线上，求的长；
（2）如图2，连接，并延长交于点，若，求证：；
（3）如图3，将沿翻折得到，点为的中点，连接，若点在射线上运动时，请直接写出线段的最小值．
答案：（1）
（2）见解析 （3）线段最小值为
解析：
小问1详解：
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小问2详解：
证明：如图2，延长交于点G，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问3详解：
解：当点E在线段上时，如图3，取的中点N，连接，
∵将沿翻折得到，
∴，
∵点Q为的中点，点N是的中点，
∴，
∴，
∴点Q在过的中点N，且与成的直线上移动，
∴当时，有最小值，
如图，延长交于点H，连接，
∵点N是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴的最小值为．
甲
乙
丙
丁
甲
(乙，甲)
(丙，甲)
(丁，甲)
乙
(甲，乙)
(丙，乙)
(丁，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
(丁，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
(丙，丁)