重庆市江津区京师实验学校等四校联考2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份重庆市江津区京师实验学校等四校联考2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7D．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．方程x2+x﹣12＝0的两根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相同的实数根D．不能确定
4．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝20°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ ）
A．65°B．60°C．55°D．20°
5．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
6．下列说法中正确的是（ ）
A．全等的两个图形成中心对称
B．能够完全重合的两个图形成中心对称
C．绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称
D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称
7．二次函数y＝x2+4x+a的最小值是5，则a的值是（ ）
A．5B．6C．7D．9
8．若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1D．x＝1
9．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第9个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．59B．65C．70D．71
10．已知二次函数y＝ax2+bc+c的图象如图所示，则在“①a＜0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0”中正确的判断是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
11．使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35B．30C．26D．21
12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．抛物线的顶点坐标是 ．
14．已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，则代数式7+6a﹣2a2的值为 ．
15．如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为 ．
16．新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉500千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部10名工人，分为A、B两组，A组负责将小麦加工成面粉，B组负责将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将100千克小麦生产成75千克面粉或将25千克面粉加工成50千克面条．生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，又生产了若干天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利3元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利 元．
三、解答题：（本大题共9个小题，17-18每小题8分，共16分、19-25每题各10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
17．计算：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）（x﹣5）2＝16．
18．计算：
（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；
（2）÷（1﹣）．
19．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，AE平分∠BAO交BD于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，EC；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
（2）猜想四边形AECF是哪种特殊四边形，并完成下列证明．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，AB∥CD．
∴∠ ＝∠ ．
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．
∴ ．
∵在△AEO和△CFO中，
，
．
．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是 ．
20．阅读与理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1和x2，那么，．
例如：方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别是x1和x2，则，．请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：
（1）已知方程3x2﹣7＝11x的两根分别是x1和x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1和x2，求的值．
21．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．
22．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
（1）今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了m个，最终商家获利6600元，求m．
23．对于各位数字均不相同的三位自然数m＝，交换百位数字和个位数字后得到m1＝，记F（m）＝，若F（m）能被5整除，则称m为“五好数”．例如：621是“五好数”，因为F（621）＝＝5，5能被5整除，所以621是“五好数”；743不是“五好数”，因为F（743）＝＝4，4不能被5整除，所以743不是“五好数”．
（1）判断409、678是否是“五好数”？并说明理由；
（2）m是“五好数”，若a＞c且满足|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，求出所有符合题意的m值．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线AC上方．
①试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标；
②在①的条件下求ME+EF+AF的最小值．
（3）抛物线上是否存在点P，平面内一点Q，使得以P、A、C、Q为顶点的四边形是以AC为边的矩形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．如图在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°；
（1）如图1，若AB＝2，求BC的长；
（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝120°，连接BD、CE，将△ADE绕点A旋转，
①当点D、E、C三点共线时，求证：CD＝AD+BD；
②若DE交AB于点F，且AE⊥CE，AD＝DF，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1．
解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、y＝2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；
D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：C．
2．
解：A、该图形是中心对称图形，正确，
B、该图形不是中心对称图形，错误；
C、该图形不是中心对称图形，错误；
D、该图形是轴对称图形，错误；
故选：A．
3．
解：∵方程x2+x﹣12＝0中，Δ＝12﹣4×（﹣12）＝49＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，
∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
故选：B．
5．
解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
6．
解：A．全等的两个图形不一定成中心对称，如：底边在同一条直线上且腰长大于底边长的两个全等等腰三角形不成中心对称，那么A错误，故A不符合题意．
B．能够完全重合的图形是全等图形，不一定成中心对称，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据中心对称图形的定义，绕某点旋转180度后能够重合的两个图形成中心对称，那么C错误，故C不符合题意．
D．根据中心对称图形的定义，绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
7．
解：由二次函数y＝x2+4x+a的最小值为5可知＝＝5，
解得a＝9，
故选：D．
8．
解：∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
故选：C．
9．
解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）＝4+×10×（10+1）＝59．
故选：A．
10．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①③④正确，
故选：D．
11．
解：解不等式组的≤x＜4，
∵关于x的不等式组有且只有4个整数解，
∴﹣1＜≤0，
解得4＜a≤10，
∵关于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有实数根，
∴△＝16﹣4（a﹣5）≥0，
解得：a≤9且a≠5，
∵a为整数，
∴a＝6，7，8，9，
∴所有整数a的值之和＝6+7+8+9＝30，
故选：B．
12．
解：①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，得ac2+bc+c＝0．当c≠0，则ac+b+1＝0；当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④，由b2﹣4ac＝，得．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：C．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．
解：抛物线的顶点坐标是（5，3），
故答案为：（5，3）．
14．
解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣6＝0的根，
∴a2﹣3a﹣6＝0，
∴a2﹣3a＝6，
∴7+6a﹣2a2＝7﹣2（a2﹣3a）＝7﹣2×6＝﹣5．
故答案为：﹣5．
15．
解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣110°）＝35°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，
∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝110°﹣35°＝75°．
故答案为：75°．
16．
解：设有x名工人分在A组，则有（10﹣x）名工人分在B组，
生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）（kg），
∵生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，
∴，
∴x＝，
∵m、x为正整数，且x＜10，
∴7m﹣1为17的倍数，
∴m＝5，
∴x＝＝＝8，
∴生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）
＝500+75×5×8﹣25×5×（10﹣8）
＝3250（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）
＝50×5×（10﹣8）
＝500（kg），
设又生产了t天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，
∴面粉质量为：3250+75×8t﹣25t×（10﹣8）
＝3250+600t﹣50t
＝（3250+550t）（kg），
面条质量为：500+50t×（10﹣8）
＝（500+100t）（kg），
∴，
解得：t＝5，
∴最后生产面条质量为：（3250+550×5）×2+500+100×5＝13000（kg），
故所有面条售出后可获利：13000×3＝39000（元），
故答案为：39000．
三、解答题：（本大题共9个小题，17-18每小题8分，共16分、19-25每题各10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
17．
解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1；
（2）（x﹣5）2＝16，
（x﹣5）2﹣16＝0，
（x﹣5﹣4）（x﹣5+4）＝0，
（x﹣9）（x﹣1）＝0，
解得x1＝9，x2＝1．
18．
解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2﹣y2+2xy
＝x2；
（2）原式＝÷
＝
＝．
19．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，AB∥DC，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：∠BAO＝∠DCO，∠EAO＝∠FCO，△AEO≌△CFO（ASA），OE＝OF，平行四边形．
20．
解：（1）∵原方程化为一般形式为3x2﹣11x﹣7＝0，
∴a＝3，b＝﹣11，c＝﹣7，
∵x1和x2是原方程的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣．
故答案为：；﹣．
（2）∵方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，
∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）＝31．
21．
解：（1）根据题意得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则B（﹣3，0），A（1，0），
∵△ABP的面积为10，
∴•4•|x2+2x﹣3|＝10，
解方程x2+2x﹣3＝5得x1＝﹣4，x2＝2，此时P点坐标为（﹣4，5），（2，5）；
方程x2+2x﹣3＝﹣5没有实数解，
∴P点坐标为（﹣4，5），（2，5）．
22．
解：（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．
（2）依题意得：（150﹣120）（120+m）+（100﹣m﹣80）（150+m）＝6600，
整理得：m2﹣10m＝0，
解得：m1＝10，m2＝0（不符合题意，舍去）．
答：m的值为10．
23．
解：（1）F（m）＝＝＝|a﹣c|，
∵F（409）＝|4﹣9|＝5，5能被5整除，
∴409为“五好数”，
∵F（678）＝|6﹣8|＝2，2不能被5整除，
∴678不是“五好数”；
（2）∵1≤a≤9，1≤c≤9，a＞c，
∴1≤|a﹣c|≤8，
∵m是“五好数”，
∴|a﹣c|能被5整除，
∴a﹣c＝5，
∴a＝9，c＝4或a＝8，c＝3或a＝7，c＝2或a＝6，c＝1，
∵1≤|a﹣b|≤9，1≤|b﹣c|≤9，
∴2≤|a﹣b|+|b﹣c|≤18，
∵|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝7或14，
1°当a＝9，c＝4时，|9﹣b|+|b﹣4|＝7或14，解得b＝3，此时m＝934，
2°当a＝8，c＝3时，|8﹣b|+|b﹣3|＝7或14，解得b＝2或9，此时m＝823或893
3°当a＝7，c＝2时，|7﹣b|+|b﹣2|＝7或14，解得b＝1或8，此时m＝712或782，
4°当a＝6，c＝1时，|6﹣b|+|b﹣1|＝7或14，解得b＝0或7，此时m＝601或671，
综上：所有符合题意的m值为601，671，712，782，823，893，934．
24．
解：（1）将A（1，0），C（4，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1，
过点M作MN∥y轴交AC于点N，
设M（t，﹣t2+4t﹣3），则N（t，﹣t+1），
∴MN＝﹣t2+4t﹣3+t﹣1＝﹣t2+5t﹣4，
∴S△ACM＝×3×（﹣t2+5t﹣4）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△ACM的面积有最大值，
此时M（，）；
②∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
过M点作MG⊥AC交于点G，交对称轴于点E，交x轴于点F，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x+1，
∴∠FAG＝45°，
∴FG＝AF，
∴ME+EF+AF＝ME+EF+FG≥MG，
∴当M、E、F、G四点共线时，ME+EF+AF有最小值，
∵S△ACM＝＝×AC×MG，
∴MG＝，
∴ME+EF+AF的最小值为；
（3）存在点P，使得以P、A、C、Q为顶点的四边形是以AC为边的矩形，理由如下：
当P点在AC上方时，过点P作PG⊥x轴交于点G，过点Q作QH⊥x轴交于点H，
∵∠BAC＝45°，∠PAC＝90°，
∴∠PAG＝45°，
∴AG＝PG，
设P（x，﹣x2+4x﹣3），Q（a，b），
∴x﹣1＝﹣x2+4x﹣3，
解得x＝1（舍）或x＝2，
∴P（2，1），
∵∠ABP＝45°，
∴∠HBQ＝45°，
∴BH＝HQ，
∴﹣b＝a﹣3①，
∵AC＝PQ，
∴3＝②，
联立①②可得或（舍），
∴Q（5，﹣2）；
当P点在直线AC的下方时，过点Q作QK⊥x轴交于K点，过C点作MN⊥x轴交于N点，过P作PM⊥MN交于M点，
∵∠NAC＝45°，∠ACP＝90°，
∴∠PCM＝45°，
∴PM＝CM，
∴4﹣x＝﹣3﹣（﹣x2+4x﹣3），
解得x＝﹣1或x＝4（舍），
∴P（﹣1，﹣8），
∵∠KAQ＝45°，
∴KQ＝AK，
∴﹣b＝1﹣a，
∵QP＝AC，
∴3＝，
∴a＝﹣4，
∴b＝﹣5，
∴Q（﹣4，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（5，﹣2）或（﹣4，﹣5）．
25．
解：（1）解：如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵AB＝2，∠B＝30°，∠AHB＝90°，
∴AH＝AB＝1，
∴BH＝＝＝，
∴BC＝2BH＝2．
（2）证明：如图2中，过点A作AT⊥CD于T．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAE＝120°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝EC，
∵AD＝AE，AT⊥DE，∠DAE＝120°，
∴∠ADE＝30°，DT＝ET，
∴DE＝2DT＝2AD•cs30°＝AD，
∴CD＝DE+EC＝AD+BD．
（3）如图3中，延长AE交BC于J，在EC上取一点R，使得RJ＝CR，连接RJ．
∵∠ADF＝30°，DF＝DA，
∴∠DAF＝∠DFA＝75°，
∵∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴∠BAJ＝120°﹣75°＝45°，∠CAJ＝120°﹣45°＝75°，
∴∠ACJ＝30°，
∴∠CAJ＝∠CJA＝75°，
∴CA＝CJ，
∵CE⊥AJ，
∴AE＝EJ，
∵∠AED＝∠JEG＝30°，
∴∠EJG＝∠EGJ＝75°，
∴EJ＝EG，
∴AD＝AE＝DF，
∴DA＝DF＝EJ＝EG，
∴△DAF≌△EGJ（SAS），
∴AF＝JG，
∴CG+AF＝CG+JG＝CJ，
设AE＝EJ＝a，
∵CA＝CJ，CE∠AJ，
∴∠ECJ＝∠ACB＝15°，
∵RC＝RJ，
∴∠RJC＝∠RCJ＝15°，
∴∠ERJ＝∠RJC+∠RCJ＝30°，
∴RJ＝RC＝2a，ER＝a，
∴CJ＝＝＝（+）a，
∴＝＝+．