2025年中考数学一模猜题卷（江苏省宿迁市专用）（原卷版+解析版）

这是一份2025年中考数学一模猜题卷（江苏省宿迁市专用）（原卷版+解析版），共36页。试卷主要包含了 分解因式等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷共28小题，满分150分，考试时间120分钟
2.答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；
3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦牙净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的置上，不在答题区域内的答案无效，不得用其他笔答题；
4.考生答题必须答在答题卡律，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的倒数为（ ）
A. B. C. D. 3
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 年全国普通高校毕业生规模预计达万．其中“万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，若，则等于（ ）

A. 65°B. 55°C. 45°D. 41°
5. 如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中与“我”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A. 心B. 细C. 检D. 查
6. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，则可以取的值是（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 8
8. 如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若二次根式有意义，则x的取值范围为__________．
10. 分解因式：______．
11. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，简记为“等边对等角”，则它的逆命题是____命题．（填“真”或“假”）
12. 已知二次函数的顶点在第二象限，且过点，当为整数时，则______．
13. 有一组数据如下：2，3，，4，5，它们的平均数是3，则这组数据的方差是_________
14. 如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是______．
15. 如图，正六边形硬纸片在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为，则正六边形的中心运动的路程为___cm．
16. 如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠CMA＝25°，则∠C的度数为_______°．
17. 若方程组的解也是二元一次方程的一个解，则的值等于__________．
18. 如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是_____．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
20 化简求值：，其中．
21. 如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，．
（1）求证：；
（2）E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形．
22. 为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图.请根据图表信息回答下列问题：

（1）求本次调查学生的人数，并补全条形统计图．
（2）求图2中“做香囊”扇形圆心角的度数．
（3）已知本校共有1000名学生，试估计选择“折纸龙”学生有多少人？
23 元旦假期全国客流持续回暖，某景区入口检票处有A、B、C、D四个闸机，如图所示，游客领取门票后可随机选择一个闸口通过．
（1）一名游客通过该景点闸口时，选择A闸口通过的概率为______．
（2）当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择不同闸口通过的概率．
24. 【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
（1）计算C，D两点的垂直高度差．
（2）求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为．
（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
25. 如图，是的直径， F 为上一点，平分交于点C． 过点C作交的延长线于点D．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求半径．
26. 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点在抛物线上，其横坐标分别为，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当点与抛物线顶点重合时，求点的坐标．
（3）当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标．
（4）设，，，探索之间的等量关系，请直接写出结论．
28. 综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．

观察发现：
（1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°，_____；
问题探究：
（2）如图2，若，，，求的长；
拓展延伸：
（3），，若F为的三等分点，请求出的长．
2025年江苏省宿迁市中考一模猜题卷数学
注意事项：
1.本试卷共28小题，满分150分，考试时间120分钟
2.答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；
3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦牙净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的置上，不在答题区域内的答案无效，不得用其他笔答题；
4.考生答题必须答在答题卡律，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的倒数为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，解题的关键是牢记倒数的定义并正确运用．
根据倒数的定义，求出与乘积为1的数，即为的倒数．
【详解】解∵，
∴的倒数为．
故答案为：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相除、同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项、同底数幂相除、同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算正确，符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
3. 年全国普通高校毕业生规模预计达万．其中“万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：万，
故选：C．
4. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，若，则等于（ ）

A. 65°B. 55°C. 45°D. 41°
【答案】B
【解析】
【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
【详解】解：∵水面和杯底互相平行，
∴，
∴．
∵水中的两条折射光线平行，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
5. 如图，是一个正方体表面展开图，原正方体中与“我”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A. 心B. 细C. 检D. 查
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体中相对的面，在展开图中相对的面之间一定相隔一个正方形，且没有公共顶点．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：我与心相对，要与查相对，细与检相对，
故选A．
6. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．设共有x人，根据物品的价格不变列出方程．
【详解】解：设共有x人，
由题意，得．
故选：B．
7. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，则可以取的值是（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，即可求出m的取值范围，再根据范围判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
所以．
故选：A．
8. 如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，正比例函数的性质，根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据图象的位置确定解题即可．
【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，
∴A，B关于原点对称，
∴，
∵轴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵反比例函数图象上在第二象限，
∴．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若二次根式有意义，则x的取值范围为__________．
【答案】x≥﹣．
【解析】
【详解】考点：二次根式有意义的条件．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解．
解：根据题意得：1+2x≥0，
解得x≥-．
故答案为x≥-．
10. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据提取公因式法，提取公因式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法．
11. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，简记为“等边对等角”，则它的逆命题是____命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】本题考查了命题及逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假，掌握互逆命题的定义是解题的关键．
【详解】解：∵原命题题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题，
故答案为：真．
12. 已知二次函数的顶点在第二象限，且过点，当为整数时，则______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，顶点坐标的运用，一次函数图象的综合，掌握二次函数图象顶点坐标的计算，一次函数图象的性质是解题的关键．
根据题意，结合二次函数图象的顶点坐标可得，，，则，，设，由一次函数图象的性质可得，由此可得的值，代入计算即可求解．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为，
∵顶点坐标在第二象限，
∴，
∵二次函数图象过点，
∴，即，
∴，整理得，，
∵，
∴当时，，则，矛盾，不符合题意，舍去；
∴，则，
解得，，
∴在中得到，，
∵为整数，
∴设，则关于的一次函数图形如下，
即可满足条件，
∴，，
∴，
故答案为： ．
13. 有一组数据如下：2，3，，4，5，它们的平均数是3，则这组数据的方差是_________
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了方差和算术平均数，熟练掌握该方法是本题解题．先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．
【详解】∵2，3，，4，5，它们的平均数是3，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
14. 如图，用圆心角为半径为6扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是______．
【答案】．
【解析】
【分析】由圆心角为，半径为6的扇形求弧长=，可求圆锥底面圆周长：，解得，如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，由勾股定理即可．
【详解】解：圆心角为，半径为6的扇形弧长=，
圆锥底面圆周长：，
解得，
如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，
由勾股定理，
这个圆锥的高是．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，勾股定理，掌握扇形弧长公式，圆的周长，勾股定理是解题关键．
15. 如图，正六边形硬纸片在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为，则正六边形的中心运动的路程为___cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形与圆、旋转的性质以及弧长计算等知识，解题关键是弄清正六边形的中心运动的路径．根据题意可知正六边形的中心运动的路程就是6个以正六边形的半径为半径旋转的弧长，然后求解即可．
【详解】解：根据题意，六边形为正六边形，且边长为，
则每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转，
正六边形的中心运动的路程就是6个以正六边形的半径为半径旋转的弧长，
∴运动的路径为：．
故答案为：．
16. 如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠CMA＝25°，则∠C的度数为_______°．
【答案】130
【解析】
【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出∠CAM=∠MAB=∠CMA=25°，再利用平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：由作图知AP平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB，
∵ABCD，
∴∠CMA=∠MAB=25°，
∴∠CAM=∠MAB=25°，
∴∠CAB=50°，
∵ABCD，
∴∠C=180°-∠CAB=130°．
故答案为：130．
【点睛】此题主要考查了角平分线的基本作图以及平行线的性质，正确得出∠CAM=∠MAB=∠CMA=25°是解题关键．
17. 若方程组的解也是二元一次方程的一个解，则的值等于__________．
【答案】7
【解析】
【分析】先把2x-y=1中的y用x表示出来，代入3x+2y=12求出x的值，再代入2x-y=1求出y的值，最后将所求x，y的值代入5x-my=-11解答即可．
【详解】解：根据题意得
∴由①得：y=2x-1，
代入②用x表示y得，3x+2（2x-1）=12，
解得：x=2，代入①得，y=3，
∴将x=2，y=3，代入5x-my=-11解得，m=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了解二元一次方程和解二元一次方程组的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y的式子表示x的形式．
18. 如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短．
【详解】解：如图，作射线BG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，
∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，
∴∠BCG＝∠DCF，
在△CBG和△CDF中
，
∴△CBG≌△CDF，
∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，
此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝3m，
在Rt△BEG中，
∵BE2＝BG2+EG2，
∴4＝m2+9m2，
∴m＝（负根已经舍弃），
∴EG的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根的定义分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
，
．
20. 化简求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是先根据分式的混合运算将式子化简，再将x的值代入计算．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，．
（1）求证：；
（2）E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形性质得到，，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即可证明；
（2）利用直角三角形性质和线段中点的特点，得到，，结合平行四边形性质得到，进而证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明平行四边形是菱形．
本题考查平行四边形性质和判定，勾股定理逆定理，直角三角形性质，线段中点的特点，菱形的判定，熟练掌握运用这些判定和性质是解题关键．
【小问1详解】
证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，，
，．
，
，即，
为直角三角形，，
．
【小问2详解】
证明：由（1）知为直角三角形．
E，F分别是和的中点，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形．
又∵，
平行四边形是菱形．
22. 为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图.请根据图表信息回答下列问题：

（1）求本次调查学生的人数，并补全条形统计图．
（2）求图2中“做香囊”扇形圆心角的度数．
（3）已知本校共有1000名学生，试估计选择“折纸龙”的学生有多少人？
【答案】（1）本次调查抽取的学生人数为50人，补全图形见详解
（2）
（3）估计选择“折纸龙”的学生有160人
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图已知数据和扇形统计图已知的对应数据，即可求出被调查的总人数，再利用总人数减去选择“折纸龙” “做香囊”与“包粽子”的人数，即可得到选择“采艾叶”的人数，补全条形统计图即可；
（2）用“做香囊”的人数除以总人数，再乘以即可作答；
（3）先求出选择“折纸龙”的学生在样本中的百分比，再乘以全校总人数即可作答．
【小问1详解】
由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得，
∴本次调查抽取的学生人数为50人．
其中选“采艾叶”的人数：．
补全条形统计图，如图：
【小问2详解】
【小问3详解】
选“折纸龙”课程的比例．
选“折纸龙”课程的总人数为（人），
即估计选择“折纸龙”的学生有160人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图结合，用样本估计总体，求解扇形统计图中圆心角等知识，结合条形统计图和扇形统计图求出相关数据是解题的关键．
23. 元旦假期全国客流持续回暖，某景区入口检票处有A、B、C、D四个闸机，如图所示，游客领取门票后可随机选择一个闸口通过．
（1）一名游客通过该景点闸口时，选择A闸口通过的概率为______．
（2）当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择不同闸口通过的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键；
（1）根据概率公式可直接进行求解；
（2）根据列表法进行求解概率即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：选择A闸口通过的概率为；
故答案为；
【小问2详解】
解：设这两名游客为甲和乙，由题意可得如下表格：
由表格可知两名游客选择闸口通过的可能性有16种，其中选择不同闸口通过的情况有12种，
∴两名游客选择不同闸口通过的概率为．
24. 【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
（1）计算C，D两点的垂直高度差．
（2）求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为．
（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
【答案】（1）C，D两点的垂直高度差；（2）顶点A到水平地面的垂直高度；（3）若选择小组一：旗杆的高度为；若选择小组二：旗杆的高度为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义．
（1）作交于点H，根据斜坡的坡比为，，求出，即可；
（2）延长DG交于M，延长交延长线于N，根据的正切值为2，仰角的正切值为，得出，，设，则，，，得出，求出a的值即可得出答案；
（3）根据测出的仰角或俯角的正切值，解直角三角形得出答案即可．
详解】解：（1）作交于点H，
斜坡的坡比为，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
解得：
，，
C，D两点的垂直高度差；
（2）延长DG交于M，延长交延长线于N，
∵的正切值为2，仰角的正切值为，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，则，，，
，
解得，
，，，
顶点A到水平地面的垂直高度；
（3）小组一：∵的正切值为，
∴，
∵，
，
；
小组二：∵的正切值为，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
25. 如图，是的直径， F 为上一点，平分交于点C． 过点C作交的延长线于点D．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；
（2）过点O作于E，，证明四边形为矩形，设半径为r，由勾股定理列出方程求解即可．
【小问1详解】
连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
【小问2详解】
过点O作于E，
，，
四边形为矩形，
，，
设半径为r，则，
∴，
在中
∵，
，
解得：，
的半径为5．
26. 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
【答案】（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元．
【解析】
【分析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可；
由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得．
【详解】解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．
解得；
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：种笔记本的单价为元．
由知种笔记本的单价为元，
又∵
∴W随的增大而减小．
又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍
∴；
解得：；
∵m为正整数
∴当时，取得最小值，最小值为702元．
答：所需最少经费为702元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次不等式的应用及其解法；其中将分式方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点在抛物线上，其横坐标分别为，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当点与抛物线顶点重合时，求点的坐标．
（3）当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标．
（4）设，，，探索之间的等量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）
（2）
（3）当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44；
（4）．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）求出抛物线的顶点为，对称轴为直线，根据点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为，知，故，在中，令得；
（3）分两种情况：当轴时，由A，D关于抛物线的对称轴对称，，抛物线的对称轴为直线，可得；即知，故，，在中，令求出y值即得E，F的纵坐标；当轴时，同理可得答案；
（4）根据点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，，，，可得，，，，而，，，可求出，，，观察即可得答案．
【小问1详解】
解：把代入得：
，
解得
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：，
∴抛物线的顶点为，
∵点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为，，
，
，
在中，令得：，
；
【小问3详解】
解：当轴时，如图：
∴A，D关于抛物线的对称轴对称，
，抛物线的对称轴为直线，
；
∵D在抛物线上，横坐标分别为，
，
，
在中，令，
得，
，
在中，令，
得，
；
当轴时，如图：
同理可得，
，
，
在中，令，
得，
；
在中，令，
得，
；
综上所述，当的边与y轴垂直时，
E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44；
【小问4详解】
解：，理由如下：
∵点C，D，E，F在抛物线上，
其横坐标分别为m，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上坐标的特征，整式的加减等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和分类讨论思想的应用．
28 综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．

观察发现：
（1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°，_____；
问题探究：
（2）如图2，若，，，求的长；
拓展延伸：
（3），，若F为的三等分点，请求出的长．
【答案】（1）45，（2）（3）9或
【解析】
【分析】（1）根据折叠重合部分全等得到角度关系求出即可；设长度利用直角三角形勾股定理列方程即可．
（2）由特殊角得到等腰直角三角形，利用其边长特点进行计算即可；
（3）构造矩形，根据两个共边直角三角形设元列方程进行计算即可，但要区分三等分点的位置分别计算．
【详解】由折叠可知，，
，
矩形，
，
，
设，
则，
，
，
中，
，
解得，
故；
故答案为：；
（2）延长交于K，

由折叠可知，，，，
又，，
为等腰直角三角形，
，
，
由得为等腰直角三角形，
，
，
；
（3）过F做的垂线交于点I，连接，

由得四边形为矩形，
中，，中，，
，
当点F是靠近D的三等分点时，
，，
设，则，，
由得，
解得，
当点F是靠近A的三等分点时，
，，
设，则，，
由得，
解得，
．
综上，的长为9或．
【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，包含角度和边长计算，需要根据实际情况寻找直角三角形，利用设元列方程进行求解．通常遇到两个点有垂直折线进行矩形构造来求两点间距离．实际问题中如果遇到特殊角度可利用特殊三角形进行快速求解．
甲/乙
A
B
C
D
A
B
C
D