2024年江苏省宿迁市部分中学中考数学一模试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 的相反数是（ ）
A. B. -C. D. -
【答案】D
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．
【详解】解：因为=
而−与只有符号不同，
所以 的相反数是-，
故选D．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的有关运算，根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则和积的乘方法则计算即可判断．
【详解】解：A、∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B、∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C、∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D、∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 如果有意义，那么a应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据二次根式中的被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
∴．
故选B．
4. 据年月日《天津日报》报道，今年前两个月，被称为“新三样”的锂离子蓄电池、电动汽车、光伏产品合计出口元，将数据用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
5. 世乒赛颁奖台如图所示，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据左视图是从左边看到的图形，据此即可作答．
【详解】解：∵世乒赛颁奖台如图所示，
∴它的左视图是
故选：C
6. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴它们的对应角平分线的比为．
故选：D．
7. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为，
故选：．
8. 已知点在y轴上，则点在第（ ）象限．
A 四B. 三C. 二D. 一
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用y轴上点的坐标特点（横坐标为0）得出n的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴，
∴，
∴点即，在第四象限．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标．记住y轴上点的坐标特点、各象限内点的坐标的符号是解决的关键．y轴上点的坐标特点是：横坐标为0；四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
9. 如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，，以为直径的交于点D，得到，，，继而得到，结合得到， 利用扇形面积与的面积差表示阴影即可．
本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．
【详解】∵，，以为直径的交于点D，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积为：．
故选C．
10. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识；
由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案．
【详解】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为，
∴，
，
∵是第2个黄金三角形，
∴，第2个黄金三角形的腰长是，
，
∵是第3个黄金三角形，
∴，第3个黄金三角形的腰长是，
，
∴第4个黄金三角形的腰长是，
…
第n个黄金三角形的腰长是，
第2024个黄金三角形的腰长是，
故选：A．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 过边形的一个顶点有条对角线，则这个多边形的内角和为____．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．
【详解】解：由题意得：，解得，
则该边形的内角和是：，
故答案为：．
12. 如果三角形的两边分别是，，那么第三边的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系判定可求解．
【详解】解：由题意得，
解得．
即第三边的取值范围是．
故答案为：．
13. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两实数根，则式子的值是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，由根与系数的关系得，将分式变形，然后代入求解，即可求解；掌握根与系数的关系：“、是一元二次方程的两个根，则有”是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
．
故答案为：．
14. 在中，，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正切的定义得，则可设，利用勾股定理计算出，可求出t，即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴
解得：，
即．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
15. 如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坡比的计算，根据，得到，利用勾股定理计算即可．
【详解】．∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
解得（负值舍去），
故答案：．
16. 已知关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】先将分式方程化成整式方程，求出方程的解为，再根据方程的解为非正数确定k的取值范围，要注意分式分母不为零的情况．
【详解】解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
由分式方程的解为非正数，得到，且，
解得：且．
故答案为：且
【点睛】本题考查了分式方程的解的情况求解参数的取值范围，解题的关键是用含k的代数式将方程的解表示出来，注意分式方程有意义的条件．
17. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若的面积是6，则k的值是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积公式．设点A即可得到点B的坐标，利用平行四边形的性质可列出方程，求解即可．
【详解】解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的面积是6，
∴，
解得．
故答案为：4．
18. 如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．根据题意，由旋转性质，结合直线与的一边平行，分两类：当时；当时；两种情况讨论求解即可得到答案，
【详解】解：根据题意，将绕点D按顺时针方向旋转得到，即，
在中，，
∴．
∵点D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴
当时，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴和均为等腰三角形，且，
∴，
由得到，则，
当时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是正方形，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算：
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数幂的意义，先根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数幂的意义化简，再算加减即可．
【详解】解：．
20. 先化简，再求值： ，其中满足．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再根据可得，即可得到分式化简后的值，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
21. 桌面上有4张正面分别标有数字2、4、6、7的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后平铺开．
（1）小红随机翻开一张卡片，正面数字是偶数的概率是___________；
（2）小红先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的3张卡片中随机翻开一张卡片并记录上面的数字．请用列表或画树状图的方法，求翻到的两张卡片上的数字之和为奇数的概率，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格是解题的关键．
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有4张卡片，其中正面数字是偶数的卡片有3张，每张卡片被翻开的概率相同，
∴随机翻开一张卡片，正面数字是偶数的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：用列表格法表示为：
共有12种等可能的结果，其中翻到的两张卡片上的数字之和为奇数的结果有6种，
∴ 翻到的两张卡片上的数字之和为奇数的概率为．
22. 为激发学生对中华诗词的学习兴趣，某初中学校组织了“诗词好少年”比赛，现随机抽取了部分学生的成绩，根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为__________，图①中的值为__________；
（2）求统计的这组学生成绩数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（1）50，28
（2）80,90,80
【解析】
【分析】本题考查了从条形统计图与房形统计图获取信息、求平均数、众数和中位数等知识点，掌握从条形统计图与扇形统计图获取信息方法是解题的关键．
（1）把得60分、70分、80分、90分、100分的人数加起来可得抽取的学生人数，再用得90分的人数除以总人数即可求得m的值；
（2）根据平均数、中位数、众数的定义即可解答．
【小问1详解】
解：本次接受调查的学生人数为人；
由，即．
故答案为：50，28．
【小问2详解】
解：这个班竞赛成绩数据的平均数为；
∵得90分的有14人，最多，
∴众数为90；
∵位于第25位和第26位均是80，
∴中位数为．
23. 随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活．小琪利用无人机从点竖直上升到点，测得点到点的距离为，此时点的俯角为；后无人机到达点，此时测得点的俯角为．求无人机从点到点的平均速度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】无人机从点到点的平均速度．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
根据题意可得：结合平行线性质，从而可得，，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答．
【详解】解：在中，，
，．
在中，，
，
，
，
无人机从点到点的平均速度．
24. 如图，在中，，垂直平分，分别交线段于点D、E，连接，若，．
（1）求线段的长度；
（2）延长线段使得，连接，求四边形面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
（2）先证明四边形为平行四边形，然后根据求解即可．
【小问1详解】
垂直平分，
，
又，，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
，
又D为中点，，
；
【小问2详解】
垂直平分，
，
∵，
四边形为平行四边形，
．
【点睛】此题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质， 直角三角形斜边上的中线等知识，熟练运用勾股定理、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
25. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见详解；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查切线证明，等腰直角三角形性质，圆的性质，勾股定理：
（1）连接，根据为的直径得到，根据是的平分线得到，即可得到，结合得到，即可得到证明；
（2）根据，，得到，从而得到，根据勾股定理求出，在中根据勾股定理求出，再求出即可得到答案.
【小问1详解】
证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∵是平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：过B作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
26. 食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．

（1）求a的值．
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
【答案】（1）4 （2）160人
（3）6
【解析】
【分析】（1）根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为；
每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出，余下人数为，建立等式解答即可．
（2）设线段的解析式为，根据题意，得，解方程组，得到解析式，后计算当时的函数值即可．
（3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为；故，解答即可．
本题考查了图象信息，待定系数法，不等式的应用，熟练掌握待定系数法，不等式的应用是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为；
每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出，
余下人数为，
根据图象信息，得，
解得，
故a的值为4．
【小问2详解】
设线段的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故线段的解析式为，
当时，
，
故开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数为160．
【小问3详解】
设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为；
故，
解得，
由x必需是正整数，
故至少开放6个窗口．
27. 如图1，在和中，，且，则可证明得到．
【初步探究】（1）如图2，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．请写出与的数量关系并说明理由；
【思维提升】（2）如图3，在中，以为边向外作等边，连接，，求长．
【拓展应用】（3）如图4，在中，，作交于点D，过点B作直线，点H是直线l上的一个动点，线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，则的最小值为_______．
【答案】（1），理由见解析；（2）5；（3）．
【解析】
【分析】（1）证明 ，从而得出结论；
（2）作等边三角形，连接，可得，同（1）可证，从而得出；
（3）将绕点A按顺时针方向旋转得到线段，可证，从而得出，所以点在与定线段成的直线m上运动，作点A关于直线m的对称点F，交m于点G，连接，交直线m于点，此时的最小，最小值是的长，进一步得出结果．
【详解】解：（1），理由如下：
等边中，
，
由旋转可得，
，
∴，
，
即，
，
；
（2）如图，
作等边三角形，连接，
，
，
，
，
，
∴，
同（1）可证，
；
（3）如图，
，
，
，
，
将绕点A按顺时针方向旋转得到线段，
，
∵线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，
，
，
，
，
，
∴点在与定线段成的直线m上运动，
作点A关于直线m的对称点F，交m于点G，连接，交直线m于点，此时的最小，最小值是的长，
，
，
，
，
，
，
，
即的最小值为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，轴对称的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关注是作辅助线，构造全等三角形．
28. 如图，已知抛物线（a，b，c是常数）与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点，顶点为点，直线轴于点E，点为抛物线上的一动点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在第一象限内时，
①求的面积的最大值；
②当时，求点P的坐标；
（3）在y轴上存在一点Q，使得以P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）①的面积的最大值为；②
（3）或或．
【解析】
【分析】（1）根据与y轴交于点，顶点为点求解析式即可；
（2）①过P作轴于点M，交于，根据求最大面积即可；
②当时，，代入计算即可；
（3）设，利用平行四边形对角线互相平分求解即可．
【小问1详解】
∵抛物线顶点为点，
∴设
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式；
【小问2详解】
①过P作轴于点M，交于，

∵直线轴于点E，
∴，
∴解析式为，
∵点为抛物线上的一动点．
∴，
∵轴于点M，交于，
∴，，，
∴
∴
∴当时，的面积的最大，最大值为；
②当时，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵点P在第一象限内，
∴
∴；
【小问3详解】
，，，设，
当以为对角线时，则与互相平分，
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时，
同理，当以为边，与为对角线时，；
当以为边，与为对角线时，；
综上所述，当以P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形时或或．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中三角形面积的求法，直角处理，平行四边形存在性问题，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键．
第一张
结果
第二张
2
4
6
7
2
（4，2）
（6，2）
（7，2）
4
（2，4）
（6，4）
（7，4）
6
（2，6）
（4，6）
（7，6）
7
（2，7）
（4，7）
（6，7）