2025年江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学中考数学一模试卷（原卷版+解析版）

这是一份2025年江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学中考数学一模试卷（原卷版+解析版），共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 若是整数，则满足条件的自然数共有（ ）个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（ ）
A B. C. D.
6. 如图，已知钝角，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作，垂足为点，过点作，交于点．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 5
7. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，与相交于点O，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
8. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”.已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点B是点的“倍增点”，则的最小值是；
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共8题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把最后结果填在答题卷相应的位置上）
9. 函数，其中自变量的取值范围是__________．
10. 已知实数a，b，满足，，则的值为________．
11. 单项式次数是____．
12. 因式分解： _____．
13. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则________°．
14. 若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为_______．
15. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_____．
16. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀有x两，每只燕有y两，则可列方程组为 __
17. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
18. 如图，在矩形中，，，点为矩形对角线上一动点，连接，以为边向上作正方形，对角线交于点，连接，则线段的最小值为______

三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
20. 先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值．
21. 一只不透明的袋子中装有编号分别为“1”、“2”，“3”三个小球，这些球除了编号外其它都同，并将袋中的小球充分搅匀．
（1）若小亮从袋中任意摸出一个小球，则摸到编号为“3”的小球的概率为_______．
（2）若先由小亮从袋中任意摸出一个小球，记下该小球的编号后放回袋中，并再次搅匀，再由小丽从袋中任意摸出一个小球，同样记下此小球的编号，求摸到的两个小球编号之和为偶数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
22. 4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
23. 如图，反比例的数的图象经过点和点B，点B在点A的下方，平分，交x轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）尺规作图：作出线段的垂直平分线，分别与交于点D、E．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，连接．求证：．
24. 有一水果摊，其侧面示意图如图所示，分别是水果摊前挡板，后挡板，均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度为，在后挡板的正上方点E处安装顶棚，，且，此时顶棚的另一端点F到前挡板的水平距离．（参考数据，）

（1）水果放置区的水平宽度；
（2）求顶棚端点F离地面高度．（精确到1）
25. 如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．
（1）判断与位置关系，并说明理由．
（2）若，，求的半径长．
26. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
27. 【问题思考】
（1）如图1，已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接．
则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是 ．
【探究应用】
（2）如图2，正方形的边长为，点是射线上一动点(不与点重合)，连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接．
①当点E在上时．
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）若是等腰三角形，求此时的长．
②点在的延长线上时，若，则线段的长为______．
28. 在平面直角坐标系中，抛物线）交x轴于点，，交y轴于点C，连接，，抛物线的顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是位于第一象限内的抛物线上一点，连接，交y轴于点E，交于点F，连接，如图1所示，若的面积记为，的面积记为，试问：是否存在这样的点D，使得，若存在求出点D坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接，点M为抛物线的对称轴上一点，连接，，若，请直接写出点M的坐标．
2025年江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了幂的乘方的运算方法，合并同类项的方法，同底数幂的乘法的运算方法．根据幂的乘方的运算方法，合并同类项的方法，同底数幂的乘法的运算方法，逐项判断即可．
【详解】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意．
故选：C．
3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：
故选：C．
4. 若是整数，则满足条件的自然数共有（ ）个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简．先根据二次根式有意义的条件求出n的取值范围：，根据是整数，可得或1或4或9，解方程可求出n的值，进而求出答案．
【详解】解：∵
∴
又∵是整数，n为自然数
∴为完全平方数且 的最大值为
∴或1或4或9
∴或或或0．
∴满足条件的自然数共4个
故答案为：C．
5. 在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，根据上述性质得到，即可解答，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
，
．
故选：D．
6. 如图，已知钝角，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作，垂足为点，过点作，交于点．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查作图基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质等知识．如图，过点作于点．首先证明，推出，再利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：如图，过点作于点．
平分，
，
∵，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
7. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，与相交于点O，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，先连接，，并标注，再说明∽，可得，，进而得出∽，可知，然后根据勾股定理，求出，可得答案．
【详解】连接，，并标注字母如图所示．
根据题意可知，，，，
∵，，
∴∽，
∴，，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
故选：A．
8. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”.已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点B是点的“倍增点”，则的最小值是；
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由“倍增点”的定义得，，即可判断①；可设满足题意得“倍增点”为，由“倍增点”的定义得，解方程，即可判断②；可设抛物线上的“倍增点”为，由“倍增点”的定义得，解方程，即可判断③；设，由“倍增点”的定义得，由勾股定理得，即可判断④．
【详解】解：由题意得
，
，
点，都是点的“倍增点”，
①正确；
可设满足题意得“倍增点”为，
解得：，
，
∴②错误；
可设抛物线上的“倍增点”为，
，
解得：，
，
此时满足题意的“倍增点”有，个，
∴③错误；
设，
，
，
，
当时，的最小值为，
④正确，
正确的有①④，有个．
故选：B.
【点睛】本题考查了新定义，一次函数图象和二次函数图象上的点的坐标，二次函数的最值，勾股定理等，理解新定义，能根据新定义得到相应的方程或关系式是解题的关键．
二、填空题（本大题共8题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把最后结果填在答题卷相应的位置上）
9. 函数，其中自变量的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．
【详解】∵函数有意义，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键．
10. 已知实数a，b，满足，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是因式分解的应用．先将原式变形为，再将，代入计算即可．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
11. 单项式的次数是____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了单项式的知识，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式次数的概念求解．
【详解】解：单项式的次数是，
故答案为：6．
12. 因式分解： _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则________°．
【答案】28
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到．
由邻补角的性质得到，由圆周角定理求出．
【详解】解：∵，
，
．
故答案为：28．
14. 若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了换元法解一元一次方程，以及一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据题中方程的解确定出即可．
【详解】解：∵的解为，
∴，
解得：，
故答案为：3．
15. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】
【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
【详解】去分母得：，
解得：，
，
解得：，
当时，不合题意，
故且．
故答案为且．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
16. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀有x两，每只燕有y两，则可列方程组为 __
【答案】
【解析】
【分析】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
17. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
18. 如图，在矩形中，，，点为矩形对角线上一动点，连接，以为边向上作正方形，对角线交于点，连接，则线段的最小值为______

【答案】
【解析】
【分析】作于点则由正方形的性质得所以 取的中点连接以点为圆心为半径作则点、点都在上, 所以可知点在过点且与直线所交成的锐角为的直线上运动，则当时，线段的值最小，此时由矩形的性质得，则由得所以于是得到问题的答案．
【详解】如图，作于点，

则
∵四边形是正方形，
∴且

取的中点连接以点为圆心为半径作，
∴点、 点都在上，
∴点在过点且与直线所交成的锐角为的直线上运动，
∴当时，线段的值最小，如图，则

∵点、点都在以为直径的圆上，
，
，
∵四边形矩形，，
，
∴的最小值为
故答案为：．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算，负整指数幂与零指数幂，特殊角的三角函数值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先计算乘方与开方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加法即可．
【详解】解：原式
．
20. 先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，结合分式有意义的条件，取，将代入化简后的式子计算求解，即可解题．
【详解】解：
，
，且，
且，
故当时，
上式．
21. 一只不透明的袋子中装有编号分别为“1”、“2”，“3”三个小球，这些球除了编号外其它都同，并将袋中的小球充分搅匀．
（1）若小亮从袋中任意摸出一个小球，则摸到编号为“3”的小球的概率为_______．
（2）若先由小亮从袋中任意摸出一个小球，记下该小球的编号后放回袋中，并再次搅匀，再由小丽从袋中任意摸出一个小球，同样记下此小球的编号，求摸到的两个小球编号之和为偶数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）摸到的两个小球编号之和为偶数的概率为．
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸到编号为“3”的小球的结果有1种，利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个小球编号之和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸到编号为“3”的小球的结果有1种，
摸到编号为“3”的小球的概率为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中摸到的两个小球编号之和为偶数的结果有：，，，，，共5种，
摸到的两个小球编号之和为偶数的概率为．
22. 4月23日是世界读书日．为了解学生阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【答案】（1）200人，40
（2）见解析 （3）360人
【解析】
【分析】（1）根据其它类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，用科技类的人数比上总人数，即可得出科技类的学生人数占抽样人数的百分比；
（2）用总人数减去文学类、科技类和其他的人数，求出艺术类的人数，补条形统计图即可；
（3）用1200乘以文学类书籍所占的百分比，即可得出答案．
【小问1详解】
被抽查的学生人数是（人）
∵，
∴扇形统计图中m的值是40．
【小问2详解】
∵（人），
∴补全的条形统计图如图所示
【小问3详解】
∵（人），
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
【点睛】本题考查的是条形统计图及其应用与用样本估计总体的知识，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，能够根据各个数据进行正确计算．
23. 如图，反比例的数的图象经过点和点B，点B在点A的下方，平分，交x轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）尺规作图：作出线段的垂直平分线，分别与交于点D、E．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，连接．求证：．
【答案】（1）
（2）详见解析 （3）详见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识． 解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）
（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；
（2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可；
（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图像经过点，
∴当时，，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：如图，直线即为所作；
．
【小问3详解】
解：证明：如图，
∵直线是线段垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
．
24. 有一水果摊，其侧面示意图如图所示，分别是水果摊前挡板，后挡板，均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度为，在后挡板的正上方点E处安装顶棚，，且，此时顶棚的另一端点F到前挡板的水平距离．（参考数据，）

（1）水果放置区的水平宽度；
（2）求顶棚端点F离地面的高度．（精确到1）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
（1）如图1，过点作于，则四边形是矩形，，，，由，可求，进而可得；
（2）如图1，过点作于，则四边形是矩形，，，，由，即，可求，根据，求解作答即可．
【小问1详解】
解：如图1，过点作于，


又∵，，
四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴水果放置区的水平宽度为；
【小问2详解】
解：如图1，过点作于，
又，，
四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，，
∴，
∴顶棚端点F离地面的高度为．
25. 如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）与相切，理由见解析
（2）的半径长为
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；
（2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，如下图所示，
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵过半径的外端点B，
∴与相切；
【小问2详解】
解：设，则，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
故的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
26. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【解析】
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
27. 【问题思考】
（1）如图1，已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接．
则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是 ．
【探究应用】
（2）如图2，正方形的边长为，点是射线上一动点(不与点重合)，连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接．
①当点E在上时．
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）若是等腰三角形，求此时的长．
②点在的延长线上时，若，则线段的长为______．
【答案】（1），理由见解析；（2）①（ⅰ）；（ⅱ）或5；②
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）①（i）连接，利用正方形的性质得到，利用（）的结论得到：，设，则，，利用勾股定理列出方程求得值，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；（ii）过点作，交的延长线于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求得．设，则，，，再利用分类讨论的思想方法分三种情况推论解答：I．当时，，此种情况不存在；Ⅱ．当时，，则，点与点重合；Ⅲ．当时，．则，利用勾股定理解答即可；②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和矩形的判定与性质得到，设，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：（1），之间数量关系是：．理由：
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
即．
，
．
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）①（i）连接，如图，
四边形为正方形，
，，
，
由（）知：．
正方形的边长为，，
．
设，则，．
，
，
．
，
；
（ii）过点作，交的延长线于点，如图，
四边形和四边形为正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
设，则，，．
．
Ⅰ．当时，，
．
，
．
此时，不合题意，舍去；
Ⅱ．当时，，
，
此时，点与点重合，
点与点重合，
；
Ⅲ．当时，．
则，
．
，
．
解得：
综上，若是等腰三角形，的长为或；
②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，如图，
四边形和四边形为正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形为矩形，
，，
同理：四边形为矩形，
．
，
．
设，则，
．
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，添加恰当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，抛物线）交x轴于点，，交y轴于点C，连接，，抛物线的顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是位于第一象限内的抛物线上一点，连接，交y轴于点E，交于点F，连接，如图1所示，若的面积记为，的面积记为，试问：是否存在这样的点D，使得，若存在求出点D坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接，点M为抛物线的对称轴上一点，连接，，若，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）连接，过点D作轴，交于点G，交x轴于点H，求出直线的解析式为：，设点D的坐标为，则，求出，，得出，证明，得出，求出，，得出，即，求出其最大值进行比较即可得出答案；
（3）连接，在上取点E，求出，证明，得出，求出，过点A作，取，连接，过点F作轴于点G，以的中点N为圆心，的长为半径画圆，与抛物线的对称轴交于点M，连接，，，得出，求出，证明，得出，求出，根据中点坐标公式求出，设，根据两点间距离公式得出，求出t的值即可．
【小问1详解】
解：把点，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：不存在，理由如下：
连接，过点D作轴，交于点G，交x轴于点H，如图所示：
把代入得：，
∴，
设直线的解析式为：，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点D的坐标为，则，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴
，
当时，的最大值为，
∵，
∴不存在这样的点D，使得；
【小问3详解】
解：连接，在上取点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
，
∵，
即，
∴为直角三角形，，
设，则，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
过点A作，取，连接，过点F作轴于点G，以的中点N为圆心，的长为半径画圆，与抛物线的对称轴交于点M，连接，，，如图所示：
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
，
∴，
设，则，
解得：或，
∴或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，圆周角定理，两点间距离公式，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的性质．
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