2025年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷附答案

这是一份2025年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷附答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）观察下列图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）字母x说：我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的数．那么﹣x表示的数（ ）
A．一定是负数B．一定是正数
C．是0D．以上都有可能
3．（3分）2024年10月30日12时51分，神舟十九号3名航天员顺利进驻天宫空间站，完成中国航天史上第5次“太空会师”，天宫空间站是我国建成的最大可扩展为180000kg的六舱组合体国家级太空实验室．将180000用科学记数法表示是（ ）
A．1.8×103B．1.8×105C．18×105D．0.18×106
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．a2•a3＝a6
C．a5÷a3＝a2D．（a+2a）2＝4a2
5．（3分）有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．19，19B．19，18C．18，18D．18，19
6．（3分）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得点的坐标是（ ）
A．（m+3，n﹣2）B．（m+3，n+2）C．（m﹣3，n﹣2）D．（m﹣3，n+2）
7．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＜0D．k＜0，b＞0
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ABE的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
9．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（ ）
A．125B．245C．12D．24
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：S甲2＝2.5，S乙2＝3.1，S丙2＝7，S丁2＝0.9，则这四名同学中成绩最稳定的是 ．
12．（3分）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有180次，由此估计袋子中白球的个数为
13．（3分）若分式3x−1有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S＝ ．
15．（3分）如图A，B两处被池塘阻隔，为测量A，B两地的距离，在地面上选一点C，连结CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E．测得DE＝5m，则A，B两地的距离为 m．
16．（3分）在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的12，得到52和72两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的 13 第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的14；经过4次操作后所有数的和是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：12×(−2)2+(−2)3+4tan45°+|−12|．
18．（6分）先化简，再求值：2（x+2xy）﹣（3x+y）﹣4xy，其中x＝﹣1，y＝2．
19．（6分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线DP与BC边交于点P，连接AP，若△APC的周长为12，AD长为2，求△ABC的周长．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ，若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
20．（8分）某校运动会田赛部分由A、B、C、D四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求A区域扇形圆心角的度数；
（3）已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了A项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率．
21．（8分）已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM＝DN．
（1）求证：△BDN≌△CDM；
（2）若∠AMC＝80°，则∠N＝ °．
22．（9分）为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过a度，那么每度按0.55元缴纳；超过部分则按每度0.85元缴纳．
（1）某户5月份用电200度，共交电费125元，求a．
（2）若该户6月份的电费平均每度0.6元，求6月份共用电多少度？应交电费多少元？
23．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，E是边CD的延长线上的动点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）当F是AE的中点，且CE=82时，求△CEF的面积．
24．（10分）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题．
（1）如图1，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，⊙O的半径为正方形边长的一半，求证：⊙O与AD相切；
（2）如图2，在正方形ABCD中，AB＝4，DN，BM，BD分别与⊙O相切于点N，M，E，且DN=BM=22，OC=22−1，求⊙O的半径；
（3）如图3，半径为1的⊙O在边长为4的正方形ABCD内任意移动，在其任意移动的过程中，⊙O所移动过的最大区域面积为 ．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+(b−2)x+b24．
（1）当a＝1时，
①求该抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），求x2﹣x1的值．
（2）若b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n）．当t≤x≤t+1时，求y=ax2+(b−2)x+b24的最小值．
一．选择题（共10小题）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．【答案】A
【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；
D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
2．【答案】D
【解答】解：当x表示负数时，﹣x表示正数；当x表示正数时，﹣x表示负数；当x表示0时，﹣x表示0；
则﹣x表示正数，负数或0．
故选：D．
3．【答案】B．
【解答】解：180000＝1.8×105．
故选：B．
4．【答案】C
【解答】解：A、（a2）3＝a5，所以此选项不正确；
B、a2•a3＝a5，所以此选项不正确；
C、a5÷a3＝a2，所以此选项正确；
D、（a+2a）2＝（3a）2＝9a2，所以此选项不正确；
故选：C．
5．【答案】A
【解答】解：从小到大排列为：18，18，19，19，19，19，20，
其中出现最多次数的为：19，
∴众数为19，
一共7个数，中位数为第4个数，
∴中位数为：19，
故选：A．
6．【答案】B
【解答】解：将点（m，n）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，最后所得点的坐标是（m+3，n+2），
故选：B．
7．【答案】D
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选：D．
8．【答案】B
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠CAB）＝70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=12∠ABC＝35°．
故选：B．
9．【答案】D
【解答】解：如图，连接OA，
，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26寸，
故选：D．
10．【答案】B
【解答】解：设AC与BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，
∴AC⊥BD，OA=12AC＝4，OB=12BD＝3，
∴AB=AO2+BO2=5，
∵S菱形ABCD=12AC•BD＝24，DH⊥AB，
∴DH＝24÷DH=245．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．【答案】丁．
【解答】解：∵S甲2=2.5，S乙2=3.1，S丙2=7，S丁2=0.9，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁，
故答案为：丁．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设袋子中白球有x个，
∵袋子中装有黑球和白球共25个，从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有180次，
∴x25=180300，
解得x＝15，
∴估计袋子中白球大约有15个，
故答案为：15．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题可知，
x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵n＝120°，R＝2，
∴S=120⋅π⋅22360=4π3．
故答案为4π3．
15．【答案】10．
【解答】解：∵分别取CA，CB的中点D，E．测得DE＝5m，
∴DE是三角形ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝10m，
故答案为：10．
16．【答案】32．
【解答】解：设每一次操作之后所有数的和为S，
第一次操作：1，4，3，
S1＝4+4＝8，
第二次操作：1，52，4，72，3，
S2＝S1+52+72=8+6＝14，
第三次操作：1，76，52，136，4，156，72，136，3，
S3＝S2+76+136+156+136=14+8＝22，
此时我们可以发现每次增加的数比前一次多2，
所以S4＝S3+10＝32，当然我们也可以继续探究一次得出结果，
第四次操作：1，1324，76，1112，52，76，136，3724，4，138，156，32，72，1712，136，3124，3，
S4＝S3+1324+1112+76+3724+138+32+1712+3124=22+10＝32，
所以经过4次操作后所有数的和是32；
故答案为：32．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】−52．
【解答】解：12×(−2)2+(−2)3+4tan45°+|−12|
=12×2+(−8)+4×1+12
＝1+（﹣8）+4+12
=−52．
18．【答案】﹣x﹣y；﹣1．
【解答】解：2（x+2xy）﹣（3x+y）﹣4xy
＝2x+4xy﹣3x﹣y﹣4xy
＝﹣x﹣y，
当x＝﹣1，y＝2时，原式＝﹣x﹣y＝1﹣2＝﹣1．
19．【答案】（1）16；
（2）36°．
【解答】解：（1）根据题意得，PA＝PB，AD＝BD＝2，
∴AB＝AD+DB＝4，
∵△APC的周长为12，
即AP+PC+AC＝BP+PC+AC＝BC+AC＝12，
故△ABC的周长为4+12＝16．
（2）根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝∠B+∠BAQ，且∠AQC＝3∠B，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
即5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
20．【答案】（1）见解析；
（2）36°；
（3）12．
【解答】解：（1）样本的容量为10÷20%＝50，
则参加B项目的人数为50﹣5﹣10﹣10＝25，
补全统计图如下：
（2）A区域扇形圆心角的度数为550×360°=36°；
（3）根据题意可知A项目有5个人参赛，小丽已获得第一名，所以小杰获奖的概率是24=12．
21．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）100．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
在△BDN和△CDM中，
DN=DM∠BDN=∠CDMBD=CD，
∴△BDN≌△CDM（SAS）；
（2）解：∵∠AMC＝80°，∠AMC+∠DMC＝180°，
∴∠DMC＝100°，
∵△BDN≌△CDM，
∴∠N＝∠DMC＝100°，
故答案为：100．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵200×0.55＝110＜125，
∴a＜200，
∴0.55a+0.85（200﹣a）＝125，
∴a＝150．
（2）设6月份用电量为x，
∴150×0.55+0.85×（x﹣150）＝0.6x，
解得：x＝180，
∴应交电费为0.6x＝108元，
答：6月份共用电180度，应交电费108元．
23．【答案】（1）见解析；
（2）162．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，
∴菱形ABCD为正方形；
（2）解：如图，连接AC，
∵E是边CD的延长线上的动点，CF⊥AE于点F，点F为AE的中点，CE=82，
∴CF为线段AE的垂直平分线，
∴AC=CE=82，AF＝EF，
∴S△AFC＝S△EFC=12S△AEC，
∵四边形ABCD为正方形，
∵AD＝BC，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
∴AD2=12AC2=12×(82)2=64，
∴AD＝8（负值舍去），
∴S△EFC=12S△AEC=12×12CE•AD＝162．
24．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）12+π．
【解答】（1）证明：过点O作OE⊥AD于点E，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∵OE⊥AD，
∴OE=12AD．
∵⊙O的半径为正方形边长的一半，
∴OE为⊙O的半径，
∴点O到AD的距离等于圆的半径，
∴⊙O与AD相切；
（2）解：连接OE，如图，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，
∴BC＝CD，BD=2AB＝42．
∵DN，BM，BD分别与⊙O相切于点N，M，E，
∴DN＝DE，BM＝BE，OE⊥BD，
∵DN=BM=22，
∴BE＝DE，
∴OE是BD的垂直平分线，
∵CD＝CB，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴点C，O，E在一条直线上，
∴CE=12BD＝22，
∵OC＝22−1，
∴OE＝CE﹣OC＝1，
∴⊙O的半径为1；
（3）解：设⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，连接OE，OF，如图，
∵⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，
∴OE⊥CD，OF⊥AD，
∵∠D＝90°，
∴四边形OEDF为矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形OEDF为正方形，
∴∠EOF＝90°，
∵半径为1的⊙O在边长为4的正方形ABCD内任意移动，
∴⊙O所移动过的最大区域面积为正方形ABCD的面积减去4个直角顶点处的空白部分的面积，
∴⊙O所移动过的最大区域面积＝42﹣4×（12−90π×12360）＝12+π．
故答案为：12+π．
25．【答案】（1）①顶点坐标为（2−b2，b﹣1）；
②2；
（2）当t≥12时，ymin＝4t2﹣4t+1；当t≤−12时，ymin＝4t2+4t+1；当−12＜t＜12时，ymin＝0．
【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线解析式为y=x2+(b−2)x+b24，
①由抛物线解析式得对称轴为直线x=2−b2，当x=2−b2时，y＝b﹣1，
故顶点坐标为（2−b2，b﹣1）．
②∵该抛物线与x轴有两个不同交点，
∴Δ＝b2﹣4ac=(b−2)2−4×b24=（b﹣2）2﹣b2＝﹣4b+4＞0，
∴b＜1，
又b为自然数，
∴b＝0，
则当b＝0时，x2﹣x1=b2−4ac=4=2．
（2）把A（0，2﹣m）和B（2，n）分别代入直线y＝ax+m中，
可得m＝1，n＝2a+1，
故A（0，1），B（2，2a+1），
再把A（0，1），B（2，2a+1）代入抛物线y=ax2+(b−2)x+b24中，
得b24=1a+b=2，又因为b＜0，
所以a＝4，b＝﹣2．
故抛物线表达式为y＝4x2﹣4x+1，对称轴为直线x=12，开口向上，
①当t＜12＜t+1，即−12＜t＜12时，
即当x=12时，ymin=4×(12)2−4×12+1=0；
②当t+1≤12，即t≤−12时，
即当x＝t+1时，ymin＝4（t+1）2﹣4（t+1）+1＝4t2+4t+1；
③当t≥12时，即当x＝t时，ymin＝4t2﹣4t+1．
综上，当t≥12时，ymin＝4t2﹣4t+1；当t≤−12时，ymin＝4t2+4t+1；当−12＜t＜12时，ymin＝0．
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6
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9
10
答案
A
D
B．
C
A
B
D
B
D
B