2026年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷

这是一份2026年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数中，最小的是（ ）
A．−13B．0C．1D．﹣1.5
2．（3分）据统计，2025年湖南省生产总值达到5530000000000元．将5530000000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.053×1013B．5.53×1012
C．55.3×1011D．553×1010
3．（3分）如图，这是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列结果计算正确的是（ ）
A．3a2•4ab＝7a3bB．a（a﹣b）＝2a﹣ab
C．﹣（﹣2x）3＝﹣8x3D．a10÷a2＝a8
5．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．刻舟求剑D．水涨船高
6．（3分）某市五月份连续五天的日最高气温分别为：23、20、20、21、26（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．22℃，26℃B．22℃，20℃C．21℃，26℃D．21℃，20℃
7．（3分）如图，直线AD∥BC，若∠1＝38°，BA⊥AC于点A，则∠2为（ ）
A．38°B．32°C．52°D．58°
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若EO＝EC，∠COE＝50°，则∠BOD的度数为（ ）
A．150°B．130°C．90°D．70°
9．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
10．（3分）如图1，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG在直线BC上，∠EGF＝90°，EG＝FG＝10cm，AB＝16cm，Rt△EFG以2cm/s的速度沿着BC方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动，在运动过程中，当Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分面积为18cm2时，其运动时间为（ ）
A．10B．20C．1或10D．2或20
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：7m2﹣28＝ ．
12．（3分）若x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
13．（3分）方程2x+1=12−x的解为 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将点M（﹣3，2）先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为 ．
15．（3分）如图所示的扇形OAB中，∠AOB＝120°，过点O作OC⊥OB，OC交AB于点P，若OP＝2，则阴影部分的面积为 ．
16．（3分）你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关．大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0～9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足3A+3B+C＝z．请推理出大门密码 ．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题8分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题8分，第24、25题每小题8分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：(2026−π)0+|3−5|−12+3tan60°．
18．（8分）先化简，再求值：(1−3x+2)÷x2−2x+1x2−4，其中x=(13)−1．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，连接对角线BD，分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，交BD于点G．
（1）求证：△EGD≌△BFG；
（2）连接DF，若AB＝6，△CDF的周长为14，求线段BD的长．
20．（8分）随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人，请补全条形统计图．
（2）全校4500名学生中，步行上学的人数为 人．
（3）现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的弦，作OC⊥AB交AE于点F，连接AC交⊙O于点D，若CE＝CF．
（1）试判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，OF＝1，求AE的长．
22．（8分）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元．
（1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？
（2）该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？
23．（8分）如图，已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米．（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34，sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈0.4）．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离；
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．
24．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（abc≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点C，顶点为点D，直线CD与x轴交于点M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段OB中点，则称该抛物线为“X—型”抛物线；若M为线段CD中点，则称该抛物线为“Y—型”抛物线．根据该约定，完成下列各题．
（1）下列抛物线中是“X—型”抛物线的有： （填序号）；
①y＝x2﹣3x+4；②y＝x2﹣2x﹣3；③y＝x2﹣4x+3；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（abc≠0）为“Y—型”抛物线，且直线CD的解析式为y＝﹣2x+c，求x2−x1x1的值；
（3）抛物线G：y＝x2+bx+c为“X—型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“Y—型”抛物线，试求出抛物线G的解析式．
25．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC与BD相交于点E，对角线AC平分∠BAD．点F在线段AC上，满足CF＝CD，连接FB，FD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若S△BCD＝S△BFD，求AB+ADBD的值；
（3）若∠BFD＝∠BCD，⊙O的半径为1，记DE＝x，CDAB⋅ACCE+1CE⋅AD=y，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出1y的最大值．
2026年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，最小的是（ ）
A．−13B．0C．1D．﹣1.5
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣1.5＜−13＜0＜1，
∴最小的数是：﹣1.5．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（3分）据统计，2025年湖南省生产总值达到5530000000000元．将5530000000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.053×1013B．5.53×1012
C．55.3×1011D．553×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5530000000000＝5.53×1012．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，这是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】从几何体正面观察到的平面图形共有3列小正方形，左侧有2块正方形，中间有1块正方形，右侧有2块正方形．
【解答】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
4．（3分）下列结果计算正确的是（ ）
A．3a2•4ab＝7a3bB．a（a﹣b）＝2a﹣ab
C．﹣（﹣2x）3＝﹣8x3D．a10÷a2＝a8
【分析】根据单项式乘单项式、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂的除法的运算法则逐项判断即可，
【解答】解：A、3a2•4ab＝12a3b，故原选项计算错误，不符合题意；
B、a（a﹣b）＝a2﹣ab，故原选项计算错误，不符合题意；
C、﹣（﹣2x）3＝8x3，故原选项计算错误，不符合题意；
D、a10÷a2＝a8，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
5．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．刻舟求剑D．水涨船高
【分析】根据事件的分类逐一判断即可．
【解答】解：A、守株待兔是随机事件，不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
C、刻舟求剑是不可能事件，不符合题意；
D、水涨船高是必然事件，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，解题的关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
6．（3分）某市五月份连续五天的日最高气温分别为：23、20、20、21、26（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．22℃，26℃B．22℃，20℃C．21℃，26℃D．21℃，20℃
【分析】首先把所给数据按照由小到大的顺序排序，然后利用中位数和众数定义即可求出．
【解答】解：把所给数据按照由小到大的顺序排序后为20、20、21、23、26，
∴中位数为21，众数为20．
故选：D．
【点评】此题考查了中位数、众数的求法：
①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．一组数据是不一定存在众数的；如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．
7．（3分）如图，直线AD∥BC，若∠1＝38°，BA⊥AC于点A，则∠2为（ ）
A．38°B．32°C．52°D．58°
【分析】根据BA⊥AC得到∠BAC＝90°，根据“两直线平行同旁内角互补”得到∠2+∠BAC+∠1＝180°，计算即可．
【解答】解：∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠2+∠BAC+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠2+90°+38°＝180°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣38°＝52°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若EO＝EC，∠COE＝50°，则∠BOD的度数为（ ）
A．150°B．130°C．90°D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OCE 的度数，再利用圆的半径相等得到∠D＝∠OCE，进而求出∠COD 的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出∠BOD 的度数．
【解答】解：∵EO＝EC，∠COE＝50°，
∴∠COE＝∠OCE＝50°，
∵OC＝OD，
∴∠OCE＝∠D＝50°，
∴∠COD＝180°﹣∠OCE﹣∠D＝80°，
∵∠COD＝∠COE+∠EOD，
∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝30°，
∵∠BOD+∠EOD＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣30°＝150°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟知有关定理是解题的关键．
9．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
【分析】先计算根的判别式，再根据方程解的情况得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0且a≠0．
∴22﹣4a＝0且a≠0．
∴a＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式和方程解的关系是解决本题的关键．
10．（3分）如图1，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG在直线BC上，∠EGF＝90°，EG＝FG＝10cm，AB＝16cm，Rt△EFG以2cm/s的速度沿着BC方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动，在运动过程中，当Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分面积为18cm2时，其运动时间为（ ）
A．10B．20C．1或10D．2或20
【分析】设运动时间为t秒，Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分面积为ycm2，根据三角形EFG与正方形ABCD的相对位置，分三种情况讨论重叠部分的面积：当0≤t≤5时，三角形部分进入正方形，重叠部分为直角梯形；当5＜t≤8时，三角形完全在正方形内部，重叠部分为三角形EFG；当8＜t≤13时，三角形部分移出正方形，重叠部分为等腰直角三角形；分别列出面积y关于t的函数关系式，令y＝18求解即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分面积为ycm2，则G点运动的距离为2tcm，
∵EG＝FG＝10cm，∠EGF＝90°，
∴△EFG是等腰直角三角形，∠EFG＝45°，
分三种情况讨论：
当5＜t≤8时，点F在BC上，点G在BC上（未到达C），此时△EFG 完全在正方形ABCD内部，如图
∴y=S△EFG=12×10×10=50，
∵50≠18，
∴此时无解；
当0≤t≤5时，点F在点B左侧或重合，点G在BC上，此时重叠部分为直角梯形，其高为BG＝2tcm，下底为EG＝10cm，如图，
设EF交AB于点H，则△FBH为等腰直角三角形，
∵FB＝FG﹣BG＝（10﹣2t）cm，
∴HB＝FB＝（10﹣2t）cm，
∴y=12(HB+EG)⋅BG=12(10−2t+10)⋅2t=−2t2+20t，
令﹣2t2+20t＝18，整理得t2﹣10t+9＝0，
解得t1＝1，t2＝9，
∵0≤t≤5，
∴t＝1；
当8＜t≤13时，点G在C右侧，点F在C左侧，此时重叠部分为△FCK（K为EF与CD的交点），如图，
∵∠KCF＝90°，∠KFC＝45°，
∴△FCK是等腰直角三角形，
∵F点运动的总距离为2tcm，初始F在B左侧10cm处，F点相对于B的位置为（2t﹣10）cm，
∴FC＝BC﹣（2t﹣10）＝16﹣2t+10＝（26﹣2t）cm，
∴y=12FC2=12(26−2t)2=2(13−t)2，
令2（13﹣t）2＝18，即（13﹣t）2＝9，
解得13﹣t＝3或13﹣t＝﹣3，
∴t＝10或t＝16，
∵8＜t≤13，
∴t＝10，
综上所述，当重叠部分面积为18cm2时，运动时间为1s或10s．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：7m2﹣28＝ 7（m+2）（m﹣2） ．
【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝7（m2﹣4）
＝7（m+2）（m﹣2），
故答案为：7（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
12．（3分）若x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 x≥3 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13．（3分）方程2x+1=12−x的解为x＝1 ．
【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【解答】解：2x+1=12−x，
方程两边同时乘（x+1）（2﹣x），得2（2﹣x）＝x+1，
去括号，得4﹣2x＝x+1，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入（x+1）（2﹣x）≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将点M（﹣3，2）先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为 （﹣8，﹣1） ．
【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，计算即可得解．
【解答】解：由题知，
将点M（﹣3，2）先向左平移5个单位长度后，所得点的坐标为（﹣8，2），
再向下平移3个单位长度，得到点N的坐标为（﹣8，﹣1）．
故答案为：（﹣8，﹣1）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
15．（3分）如图所示的扇形OAB中，∠AOB＝120°，过点O作OC⊥OB，OC交AB于点P，若OP＝2，则阴影部分的面积为 3π﹣23 ．
【分析】用扇形的面积减去三角形的面积即可求解．
【解答】解：∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠PBO＝30°，
∴OB＝OP÷tan30°＝23，
∴阴影部分的面积为 90π×(23)2360−12×23×2＝3π﹣23．
故答案为：3π﹣23．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式和解直角三角形是解题的关键．
16．（3分）你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关．大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0～9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足3A+3B+C＝z．请推理出大门密码 525 ．
【分析】先根据题意得到x＝5.5∼6，y＝8，z＝26，再结合题意依次求出A，B，C的值即可．
【解答】解：根据题意，得x＝5.5∼6，y＝8，z＝26，
∵A为x最小值的整数部分；B为y的四分之一；C满足3A+3B+C＝z，
∴A=5，B=14×8=2，3A+3B+C=26，
∴3×5+3×2+C＝26，
∴C＝5，
∴大门密码是525，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了推理与论证等，掌握其相关知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题8分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题8分，第24、25题每小题8分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：(2026−π)0+|3−5|−12+3tan60°．
【分析】先化简零次幂、绝对值、算术平方根、正切值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【解答】解：(2026−π)0+|3−5|−12+3tan60°
=1+(5−3)−23+3×3
=1+5−3−23+33
=(1+5)+(−3−23+33)
＝6．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：(1−3x+2)÷x2−2x+1x2−4，其中x=(13)−1．
【分析】先根据负指数幂求得x的值，再根据分式的混合运算法则化简，然后将x的值代入计算即可．
【解答】解：∵x=(13)−1=1(13)=3，
∴原式=(x+2x+2−3x+2)÷(x−1)2(x+2)(x−2)
=x−1x+2×(x+2)(x−2)(x−1)2
=x−2x−1．
当x＝3时，原式=x−2x−1=3−23−1=12．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，连接对角线BD，分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，交BD于点G．
（1）求证：△EGD≌△BFG；
（2）连接DF，若AB＝6，△CDF的周长为14，求线段BD的长．
【分析】（1）由作图可知直线 MN是线段 BD的垂直平分线，结合矩形对边平行的性质，利用“角边角”（ASA）判定定理证明△EGD≌△BFG；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到 BF＝DF，将△CDF的周长转化为 BC+CD，结合已知条件求出 BC的长度，最后在 Rt△BCD中利用勾股定理计算对角线 BD的长．
【解答】（1）证明：由作法得MN垂直平分BD，
∴BG＝DG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDG＝∠FBG，
在△EGD和△BFG中，
∠BGF=∠DGEBG=DG∠GBF=∠EDG，
∴△EGD≌△BFG（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝6，
∵MN垂直平分BD，
∴BF＝DF，
∵C△CDF＝DF+DC+CF＝14，
∴BF+CF+DC＝14，
∴BC＝8，
在Rt△BCD中，
BD=BC2+CD2=10．
【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定以及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质与判定定理是解答本题的关键．
20．（8分）随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 100 人，请补全条形统计图．
（2）全校4500名学生中，步行上学的人数为 1800 人．
（3）现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率．
【分析】（1）依据其他的数据，即可得到调查的样本容量，再求出A的人数和B的人数即可画图；
（2）用样本估计总体的思想，即可解决问题；
（3）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解．
【解答】解：（1）本次抽样调查中的样本容量为：20÷20%＝100，
A的人数是100×10%＝10（人），
B的人数是100﹣10﹣20﹣40＝30（人），
补全条形统计图如图：
（2）全校4500名学生中，步行上学的人数为4500×40100=1800（人）．
（3）画树状图得：
共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，
刚好抽到两男一女的概率是38．
【点评】该题考查了扇形统计图、用画树状图法求随机事件的概率、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的弦，作OC⊥AB交AE于点F，连接AC交⊙O于点D，若CE＝CF．
（1）试判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，OF＝1，求AE的长．
【分析】（1）连接OE，证明∠CFE＝∠CEF＝∠AFO，∠OEA＝∠OAE，得出∠OED＝∠FEC，根据OC⊥AB，得出∠OAE+∠AFO＝90°，证明∴CEF+∠OEA＝90°即可得出结论；
（2）连接BE，求得OA=12AB=3，∠AEB＝90°，由勾股定理得到AF=OA2+OF2=32+12=10，证得△AEB∽△AOF，进而得到AEAQ=ABAF，代入数据求得AE=9105，据此解答即可．
【解答】解：（1）CE与⊙O相切；理由如下：
如图，CE＝CF，连接OE，则OA＝OE，
∴∠CFE＝∠CEF＝∠AFO，∠OEA＝∠OAE，
又∵OC⊥AB，
∴∠OAE+∠AFO＝90°，
∴∠CEF+∠OEA＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE，
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BE，
∵AB＝6，AB是⊙O的直径，
∴OA=12AB=3，∠AEB＝90°，
∵OC⊥AB，
∴OA2+OF2＝AF2，
∴AF=OA2+OF2=32+12=10，
∵∠AEB＝∠AOF，∠EAB＝∠OAF，
∴△AEB∽△AOF，
∴AEAQ=ABAF，即AE3=610，
解得：AE=9105，
故AE的长为9105．
【点评】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
22．（8分）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元．
（1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？
（2）该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？
【分析】（1）设每台A型机器人的单价为x元，每台B型机器人的单价为y元，根据购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）该公司购买A型机器人m台（m为正整数），则购买B型机器人（200﹣m）台，根据总费用不超过50000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每台A型机器人的单价为x元，每台B型机器人的单价为y元，
由题意得：x+2y=7002x+3y=1200，
解得：x=300y=200，
答：每台A型机器人的单价为300元，每台B型机器人的单价为200元；
（2）该公司购买A型机器人m台（m为正整数），
则：300m+200（200﹣m）≤50000，
解得：m≤100，
答：最多能购买A型机器人100台．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键．
23．（8分）如图，已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米．（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34，sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈0.4）．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离；
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．
【分析】（1）过B作BF⊥AD于F，通过作垂线构造直角三角形，利用正弦函数定义求出真空管上端到水平线的距离即可解答；
（2）先在直角三角形中求出相关线段长度，再根据矩形性质得到线段间的关系，最后通过线段的和差即可求出水平横管的长度．
【解答】解：（1）AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米．则：
如图，过B作BF⊥AD于F，
在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAB，
则BF=ABsin∠BAF=3sin37°≈3×35=1.8（米），
答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；
（2）在Rt△ABF中，cs∠BAF=AFAB，
则AF＝ABcs∠BAF＝3×cs37°≈2.4（米），
∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.6米，
∴DE＝CD﹣CE＝1.2米，
∵tan∠EAD=DEAD，
则AD=DEtan∠EAD≈（米），
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3﹣2.4≈0.6（米），
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.6米．
【点评】本题主要考查了直角三角形中三角函数的应用以及矩形的性质，正确进行计算是解题关键．
24．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（abc≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点C，顶点为点D，直线CD与x轴交于点M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段OB中点，则称该抛物线为“X—型”抛物线；若M为线段CD中点，则称该抛物线为“Y—型”抛物线．根据该约定，完成下列各题．
（1）下列抛物线中是“X—型”抛物线的有： ③ （填序号）；
①y＝x2﹣3x+4；②y＝x2﹣2x﹣3；③y＝x2﹣4x+3；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（abc≠0）为“Y—型”抛物线，且直线CD的解析式为y＝﹣2x+c，求x2−x1x1的值；
（3）抛物线G：y＝x2+bx+c为“X—型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“Y—型”抛物线，试求出抛物线G的解析式．
【分析】（1）利用判别式可得抛物线①与x轴没有交点，据此可判断①；求出抛物线②与x轴的两个交点的横坐标，结合0＜x1＜x2可判断②；求出抛物线与x轴的两个交点的坐标，与y轴的交点的坐标，以及顶点的坐标，进而求出直线CD的解析式，则可求出点M的坐标，再根据定义可判断③；
（2）可求出C（0，c），M(c2，0)，则根据定义可得D（c，﹣c），根据对称轴公式和待定系数法可推出b=−ac−2，−b2a=c，据此求出b和ac的值，解方程ax2+bx+c＝0得到x1，x2即可得到答案；
（3）可求出平移前C（0，c），M(x22，0)，D(−b2，c−b24)，求出直线CD的解析式为y=b2x+c，则M(−2cb，0)，可推出x2=−4cb，利用待定系数法可推出b2=163c；可求出平移后的顶点坐标为(−b2，c−b24−2)，平移后的抛物线与y轴交于点（0，c﹣2），则根据定义点(−b2，c−b24−2)和点（0，c﹣2）组成的线段的中点在x轴上，据此可得b2＝8c﹣16，则8c−16=163c，据此求出b、c的值即可得到答案．
【解答】解：（1）①在y＝x2﹣3x+4中，
当y＝0时，得：x2﹣3x+4＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴方程x2﹣3x+4＝0无实数根，即抛物线y＝x2﹣3x+4与x轴无交点，
∴抛物线y＝x2﹣3x+4不为“X—型”抛物线；
②在y＝x2﹣2x﹣3中，
当y＝0时，得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
此时不满足0＜x1＜x2，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3不为“X—型”抛物线；
③在y＝x2﹣4x+3中，
当y＝0时，得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
当x＝0时，得：y＝3，
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴D（2，﹣1），
设直线CD的解析式为y＝kx+b′，将点C，点D的坐标分别代入得：
2k+b′=−1b′=3，
解得：k=−2b′=3，
∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3，
在y＝﹣2x+3中，当y＝0时，得：﹣2x+3＝0，
解得：x=32，
∴M(32，0)，
∵OB的中点坐标为(32，0)，
∴点M是OB的中点，
∴该抛物线为“X—型”抛物线，
故答案为：③；
（2）在y＝﹣2x+c中，
当x＝0时，得：y＝c；
当y＝0时，得：﹣2x+c＝0，
解得：x=c2，
∴C（0，c），M(c2，0)；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（abc≠0）为“Y—型”抛物线，
∴M 为线段CD中点，
∴D（c，﹣c），
∴ac2+bc+c＝﹣c，且对称轴为直线x＝c，
∴b=−ac−2，−b2a=c，
∴b＝﹣2ac，
∴﹣ac﹣2＝﹣2ac，
∴ac＝2，
∴b＝﹣4，
在y＝ax2+bx+c（abc≠0）中，
当y＝0时，得：ax2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2＝8，
∴x1=−b−82a=−b−222a，x2=−b+82a=−b+222a，
∴x2−x1x1=−b+222a−−b−222a−b−222a
=422a4−222a
=22+2；
（3）平移前，在y＝x2+bx+c中，当x＝0时，y＝c，
∴C（0，c），
∵抛物线G：y＝x2+bx+c为“X—型”抛物线，
∴M为线段OB中点，
∴M(x22，0)，
∵y=x2+bx+c=(x+b2)2+c−b24，
∴D(−b2，c−b24)，
设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，将点C，点D的坐标分别代入得：
−b2k1+b1=c−b24b1=c，
解得：k1=b2b1=c，
∴直线CD的解析式为y=b2x+c，
在y=b2x+c中，当y＝0时，得：b2x+c=0，
解得：x=−2cb，
∴M(−2cb，0)，
∴x22=−2cb，
∴x2=−4cb，
∴(−4cb)2+b⋅(−4cb)+c=0，
∴16c2b2−4c+c=0，
∴b2=163c；
将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为y＝x2+bx+c﹣2，平移后的顶点坐标为(−b2，c−b24−2)，
在y＝x2+bx+c﹣2中，当x＝0时，得：y＝c﹣2，
∴平移后的抛物线与y轴交于点（0，c﹣2），
∵平移后的抛物线为“Y—型”抛物线，
∴点(−b2，c−b24−2)和点（0，c﹣2）组成的线段的中点在x轴上，
∴c−b24−2+c−2=0，
∴b2＝8c﹣16，
∴8c−16=163c，
解得：c＝6，
∴b2＝8×6﹣16＝32，
∴b=±42，
∵x2=−4cb=−24b＞0，
∴b＜0，
∴b=−42，
∴抛物线G的解析式为y=x2−42x+6．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，函数图象的平移，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
25．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC与BD相交于点E，对角线AC平分∠BAD．点F在线段AC上，满足CF＝CD，连接FB，FD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若S△BCD＝S△BFD，求AB+ADBD的值；
（3）若∠BFD＝∠BCD，⊙O的半径为1，记DE＝x，CDAB⋅ACCE+1CE⋅AD=y，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出1y的最大值．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAB＝∠CAD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABE＝∠ACD，即可得证；
（2）过点F，C分别作BD的垂线，垂足分别为G，H，根据S△BCD＝S△BFD得出CH＝FG，进而证明△CEH≌△FEG（AAS）得出CE＝EF则CD＝2CE，根据角平分线的性质以及三角形的面积关系，得出ABBE=ADDE，进而可得AB+ADBD=AB+ADBE+DE=ABBE，证明△BEA∽△CED得出ABBE=CDCE=2CECE=2，即可求解；
（3）连接OC，OD，设CO，BD交于点M，∠CAB＝∠CAD＝α，∠BDF＝β，导角得出∠FDA＝β，进而可得∠FDA＝∠BDF＝β即DF平分∠BDA，则F是△ABD的内心，求得∠BFD＝90°+α，则∠BCD＝90°+α，根据圆内接四边形得出∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣2α，进而求得α＝30°得出△OCD是等边三角形，则BC＝CD＝OC＝1，BD=3，证明△BEA∽△CED，可得CDAB=CEBE，证明△BCE∽△ACB，可得BC2＝AC•CE＝1，证明△BCE∽△DAE，可得AD•CE＝BC•DE，代入y=CDAB⋅ACCE+1CE⋅AD得出y的关系式，进而求得1y=−33x2+x=−33(x−32)2+34，根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠CAD，
∵AD=AD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD；
（2）解：如图1，过点F，C分别作BD的垂线，垂足分别为G，H，
∴∠FGE＝∠CHE＝90°，
∵S△BCD＝S△BFD，
∴12BD×CH=12BD×FG，
∴CH＝FG，
在△CEH和△FEG中，
∠CEH=∠FEG∠CHE=∠FGECH=FG，
∴△CEH≌△FEG（AAS），
∴CE＝EF，
又∵CF＝CD，
∴CD＝2CE，
∵AC平分∠BAD，
∴E到AB，AD的距离相等，设E到AB，AD的距离为d，A到BD的距离为h，
∴S△ABES△ADE=12AB×d12AD×d=12BE×ℎ12DE×ℎ，
∴ABAD=BEDE，即ABBE=ADDE，
∴AB+ADBD=AB+ADBE+DE=ABBE，
∵BC=BC，
∴∠BAE＝∠EDC，
又∵∠BEA＝∠CED，
∴△BEA∽△CED，
∴ABCD=BECE，
∴ABBE=CDCE=2CECE=2，
即AB+ADBD=2；
（3）解：y=13−x+1x，1y的最大值为34．理由如下：
如图2，连接OC，OD，设CO，BD交于点M，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠CAD，
∴BC=CD，
∴OC⊥BD，
设∠CAB＝∠CAD＝α，∠BDF＝β，
∵BC=BC，
∴∠BDC＝∠BAC＝α，
∴∠CFD＝CDF＝α+β，
又∵CF＝CD，
∴∠CFD＝α+β，
∵∠CFD＝∠CAD+∠FDA＝α+∠FDA，
∴∠FDA＝β，
∴∠FDA＝∠BDF＝β即DF平分∠BDA，
∴F是△ABD的内心，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠BFD=180°−12(∠ABD+∠ADB)
=180°−12(180°−∠BAD)
=180°−12(180°−2α)
＝90°+α，
∵∠BFD＝∠BCD，
∴∠BCD＝90°+α，
又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣2α，
∴90°+α＝180°﹣2α，
解得：α＝30°，
∴∠COD＝2∠DAC＝2α＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴BC＝CD＝OC＝1，
∵DE＝x，OC⊥BD，∠BDC＝α＝30°，
∴BM=MD=CDcs30°=1×32=32，
∴BD=3，
由（2）可得△BEA∽△CED，
∴CDAB=CEBE，
又∵∠CBD＝∠CAB＝30°，∠BCE＝∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴BCAC=CEBC，
∴BC2＝AC•CE＝1，
又∵∠BCE＝∠ADE，∠BEC＝∠AED，
∴△BCE∽△DAE，
∴BCAD=CEDE，
∴AD•CE＝BC•DE，
∴y=CDAB⋅ACCE+1CE⋅AD
=CEBE⋅ACCE+1BC⋅DE
=CE⋅ACBE2+1BC⋅DE
=1BE+1DE
=13−x+1x
=x+3−x(3−x)x
=33x−x2，
1y=3x−x23=−33x2+x=−33(x−32)2+34，
∴当x=32时，1y的最大值为34．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的性质等，熟练掌握相似三角形与全等三角形的性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/28 9:58:55；用户：邢连强；邮箱：13468187680；学号：36611160望城未来五年主要预期目标为：
①地区生产总值年均增长5.5%∼6%；
②全社会研发经费投入年均增长8%；
③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达26%，居民收入增长与经济增长同步．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D．
B．
A
D
D
D
C
A
C
C
望城未来五年主要预期目标为：
①地区生产总值年均增长5.5%∼6%；
②全社会研发经费投入年均增长8%；
③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达26%，居民收入增长与经济增长同步．