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2021年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．在下列数：+3、+（﹣2.1）、﹣、π、0、|﹣9|中（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×105
3．如图，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．可回收垃圾 B．其他垃圾
C．有害垃圾 D．厨余垃圾
5．为了抵消美国关税提高带来的损失，某厂商不得不将出口到美国的A类产品每件提高3美元，结果美国人发现：现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，根据题意可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知x＞2，则下列二次根式定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
8．某学习小组的6名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A．中位数是90分 B．众数是94分
C．平均分是91分 D．方差是20
9．已知平面直角坐标系中点P（﹣3，4）．将它沿y轴方向向上平移3个单位所得点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣3，7） C．（0，4） D．（﹣6，4）
10．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，不知其大小，用锯去锯该材料，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的交点B在点（0，﹣2）与点（0，﹣3）（包含端点），顶点D的坐标为（1，n）．则下列结论：其中结论正确的个数为（ ）
①3a+c＝0；
②＜a＜1；
③对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共18分）
13．分解因式：2a2﹣ab＝ ．
14．按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝50°，以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E，则图中由O、D、E三点所围成的扇形面积（阴影部分） （结果保留π）．
16．如图，反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝（b＞0）交于A，B两点（点A在点B右侧），垂足为点C，连接AO，图中阴影部分的面积为12，则b的值为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣）2﹣﹣﹣|1﹣|+2cos45°．
18．（6分）先化简，再求值：，其中|x|＝3．
19．（6分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示
（1）如图1，作△ABC的高线CD；
（2）直接写出的值 ；
（3）在BC边上取点E，使得tan∠BAE＝；
（4）如图2，在（1）的条件下，在AC边上取一点P
20．（8分）针对春节期间新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命．远离病毒”知识竞赛初赛，赛后班长对成绩进行分析（未完成）．
类别
分数段
频数（人数）
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
16
C
80≤x＜90
24
D
90≤x＜1000
6
根据情况画出的扇形图如图，请解答下列问题：
（1）该班总人数为 ；
（2）频数分布表中a＝ ，并补全频数分布直方图中的“A”和“D”部分；
（3）扇形统计图中，类别B所在扇形的圆心角是 度．
（4）全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩“D”（90≤x＜100范围内）的学生有多少人？
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，tanC＝2，求BP的长．
22．（9分）疫情防控期间，在线教学引发手机支架畅销．某网店手机支架1月销量为256台，2月、3月销量持续走高（售价不变）．
（1）求2月、3月这两个月销售量的月平均增长率；
（2）手机支架进价为每台24元，售价为每台40元．调查发现：售价每降低1元，销售量增加50台．于是开展“红4月”促销活动．当售价降低多少元时
23．（9分）如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝6，BC＝10．
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH
24．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），当x＞m时（﹣x，﹣y）；当x≤m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）（其中m为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．
（1）点（5，7）的1分变换点坐标为 ；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y＝图象上 ；若点（a﹣1，5）的1分变换点在直线y＝x+2上，则a＝
（2）若点P在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，点Q为点P的3分变换点．
①直接写出点Q所在函数的解析式；
②求点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标；
③当﹣4≤x≤t时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6，直接写出t的取值范围．
（3）点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），若点P在二次函数y＝x2﹣mx+﹣2的图象上，点Q为点P的m分变换点．当点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点时
25．（10分）如果某封闭图形内部存在一个点．过该点的水平直线和沿垂直线交该图形的四个点到每个点的距离相等，我们称该图形叫做中心等距图形、这个点叫做该图形的等距中心．如正方形就是中心等距图形，请根据该定义探究以下回题：
（1）请写出两个常见几何图形是中心等距图形；
（2）如图①，在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（4，2），D（2，0），若是，求出等距中心的坐标，请说明理由．
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A（1，1）（x≥0）的图象经过点A，点C在x轴上（x＞0）的图象于点B（B在A右侧），若以线段OA、OC、BC和曲线AB所构成的封闭图形是中心等距图形
（4）如图③，在平面直角坐标系中，点A（0，2）（4，2），C（4，0），若抛物线y＝（x﹣m）2及其内部与矩形OABC重叠部分所构成的图形是中心等距图形，请直接写出m的取值范围．
2021年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．在下列数：+3、+（﹣2.1）、﹣、π、0、|﹣9|中（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据有理数的分类方法，可得非负数包括正数和0，据此判断出在+3、+（﹣2.1）、﹣、π、0、|﹣9|这六个数中，非负数有多少个即可．
【解答】解：∵+（﹣2.1）＝﹣2.1，|﹣9|＝3
在+3、+（﹣2.6）、﹣、π、5，非负数有+3，π、0，共5个，
故选：D．
2．中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：106000用科学记数法表示为：1.06×105．
故选：D．
3．如图，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角及邻补角的定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角；
B、∠3与∠2互为邻补角；
C、∠1与∠3关系不能确定；
D、∠1+∠2＞180°．
故选：B．
4．下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．可回收垃圾 B．其他垃圾
C．有害垃圾 D．厨余垃圾
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题；
C．既是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
5．为了抵消美国关税提高带来的损失，某厂商不得不将出口到美国的A类产品每件提高3美元，结果美国人发现：现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，根据题意可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设A类商品出口的原价为m美元/件，则提价后的价格为（m+3）美元/件，根据数量＝总价÷单价，结合现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，即可得出关于m的分式方程，此题得解．
【解答】解：设A类商品出口的原价为m美元/件，则提价后的价格为（m+3）美元/件，
依题意得：＝．
故选：A．
6．已知x＞2，则下列二次根式定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据负数没有平方根确定出所求即可．
【解答】解：∵x＞2，
∴x﹣2＞4，
∴2﹣x＜0，x﹣2＞0，
则当x＞2时，有意义．
故选：B．
7．如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，
∴当AC＝DF时，满足SSA，故A选项符合题意；
当AB＝DE时，满足SAS，故B选项不合题意；
当∠A＝∠D时，满足AAS，故C选项不合题意；
当∠ACB＝∠F时，满足ASA，故D选项不合题意；
故选：A．
8．某学习小组的6名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A．中位数是90分 B．众数是94分
C．平均分是91分 D．方差是20
【分析】直接根据平均数、中位数、众数以及方差的计算公式对各选项进行判断．
【解答】解：A、这组数据按从小到大排列为：74、90、94，所以这组数据的中位数为92（分）；
B、这组数据的众数为94（分）；
C、这组数据的平均分：，所以C选项错误；
D、方差＝2+（98﹣88）7+（90﹣88）2+（94﹣88）2+（74﹣88）8+（80﹣88）2]≈73，所以D选项错误．
故选：B．
9．已知平面直角坐标系中点P（﹣3，4）．将它沿y轴方向向上平移3个单位所得点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣3，7） C．（0，4） D．（﹣6，4）
【分析】让横坐标不变，纵坐标加3可得到所求点的坐标．
【解答】解：所求点的横坐标为﹣3，
纵坐标为4+2＝7，
即（﹣3，6）．
故选：B．
10．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣8，
解不等式≤7，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：B．
11．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，不知其大小，用锯去锯该材料，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可；
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD＝5，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）7，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的交点B在点（0，﹣2）与点（0，﹣3）（包含端点），顶点D的坐标为（1，n）．则下列结论：其中结论正确的个数为（ ）
①3a+c＝0；
②＜a＜1；
③对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标以及与y轴的交点坐标，逐个进行判断，最后得出结论．
【解答】解：∵顶点D的坐标为（1，n）．
∴对称轴为x＝1，即﹣，也就是b＝﹣2a；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣8，0），
∴a﹣b+c＝0，将b＝﹣5a代入得，即3a+c＝0；
由a﹣b+c＝7得，c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a；
∵抛物线与y轴的交点B在点（6，﹣2）与点（0，
∴﹣6≤c≤﹣2，即：﹣3≤﹣8a≤﹣2，
∴≤a≤1；
当x＝1时，y＝a+b+c＝n，
当x＝m时，y＝am6+bm+c，（m为任意实数），
∵（1，n）为顶点坐标，
∴a+b+c≤am2+bm+c，即：a+b≤am5+bm，因此③正确，
∵a＞0，顶点为（1，
当y＝n时，关于x的方程ax5+bx+c＝n有两个相等的实数根，即：x1＝x2＝8，
当y＝n+1时，关于x的方程ax2+bx+c＝n+3有两个不相等的实数根，
因此④不正确；
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共18分）
13．分解因式：2a2﹣ab＝ a（2a﹣b） ．
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
【解答】解：2a2﹣ab＝a（6a﹣b）．
故答案为：a（2a﹣b）．
14．按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为 18 ．
【分析】根据﹣3＜﹣1确定出应代入y＝2x2中计算出y的值．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1，
把x＝﹣6代入y＝2x2，得y＝6×9＝18，
故答案为：18．
15．如图，在△ABC中，∠A＝50°，以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E，则图中由O、D、E三点所围成的扇形面积（阴影部分） 2π （结果保留π）．
【分析】根据题意和图形，可以先求的∠DOED的度数，然后根据BC可以得到OD的长，再根据扇形面积公式，即可解答本题．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝130°，
∵∠DOC+∠BOE＝2∠B+2∠C，∠DOC+∠BOE＝∠BOC+∠DOE，
∴∠DOC+∠BOE＝260°，
∴∠DOE＝260°﹣∠BOC＝260°﹣180°＝80°，
∵BC＝3，
∴OD＝3，
∴扇形DOE的面积是：＝2π，
故答案为：2π．
16．如图，反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝（b＞0）交于A，B两点（点A在点B右侧），垂足为点C，连接AO，图中阴影部分的面积为12，则b的值为 3 ．
【分析】首先由已知得到S△BDE＝2S△GCO从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝x+b即可得答案．
【解答】解：过B作BD⊥OE于D，过A⊥y轴于H，如图：
设M为AB的中点，A（x1，y1），B（x5，y2），
由得x2+2bx+24＝8，
∴x1+x2＝﹣5b，
y1+y2＝（x1+b）+（x2+b）＝（x1+x6）+2b＝b，
∴M（﹣b，），
而直线y＝x+b（b＞0）交于坐标轴于E、F，
∴E（﹣8b，0），b），
∴EF的中点为（﹣b，），即EF的中点也为M，
∴EM＝FM，BM＝AM，
∴EB＝FA，
又∠FAH＝∠BED，∠AHF＝∠EDB，
∴△EDB≌△AHF（AAS），
∴AH＝ED＝OC，
∵（S△AGO+S△GCO）+（S△GCO+S四边形GCDB）＝|k|+，
且图中阴影部分的面积为12，
∴S△BDE＝2S△GCO
∴ED•BD＝2×，
∴BD＝2GC，
∴OD＝2OC，即x8＝2x1
设x6＝m，则x2＝2m，
∴A（m，﹣），B（6m，﹣），
将A（m，﹣），B（2m，﹣x+b得：
，解得m＝5，
∴b＝﹣﹣×（﹣2．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣）2﹣﹣﹣|1﹣|+2cos45°．
【分析】分别根据二次根式的性质，算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣4﹣（﹣2）﹣（﹣1）+6×
＝2﹣+1+
＝2．
18．（6分）先化简，再求值：，其中|x|＝3．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据绝对值的性质和分式有意义的条件得出x的知，再代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝，
∵|x|＝3，
∴x＝±3，
又∵x≠2，
∴x＝﹣3，
则原式＝＝﹣．
19．（6分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示
（1）如图1，作△ABC的高线CD；
（2）直接写出的值 ；
（3）在BC边上取点E，使得tan∠BAE＝；
（4）如图2，在（1）的条件下，在AC边上取一点P
【分析】（1）根据三角形的高的定义即可作△ABC的高线CD；
（2）根据等面积法求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，即可得的值；
（3）根据正切的定义即可在BC边上取点E，使得tan∠BAE＝；
（4）根据两点之间线段最短，使DP和BP能在一条直线上，作AC的垂线BG，再作AC的平行线JK，交BG于点H，使得AC垂直平分BH，连接DH交AC于点P，即可使BP+DP的值最小．
【解答】解：（1）如图1，高线CD即为所求；
（2）∵S△BCF＝BC•BF＝，
∴3×2＝BD，
∴BD＝，
∵AB＝CF＝＝，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝，
∴＝＝．
∴的值为；
故答案为：；
（3）如图2，点E即为所求；
（4）如图4，点P即为所求．
20．（8分）针对春节期间新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命．远离病毒”知识竞赛初赛，赛后班长对成绩进行分析（未完成）．
类别
分数段
频数（人数）
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
16
C
80≤x＜90
24
D
90≤x＜1000
6
根据情况画出的扇形图如图，请解答下列问题：
（1）该班总人数为 48 ；
（2）频数分布表中a＝ 2 ，并补全频数分布直方图中的“A”和“D”部分；
（3）扇形统计图中，类别B所在扇形的圆心角是 120 度．
（4）全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩“D”（90≤x＜100范围内）的学生有多少人？
【分析】（1）从统计图中可知“C组”的有24人，占全班人数的50%，可求出全班人数；
（2）根据所有频数的和等于全班人数48人，可求出a的值，即可补全频数分布直方图；
（3）“类别B”占全班的，因此相应的圆心角为360°的；
（4）“D组”占全班的，估计全校720人的为“D组”的人数．
【解答】解：（1）24÷50%＝48（人），
故答案为：48；
（2）a＝48﹣16﹣24﹣6＝2（人），
故答案为：6，补全频数分布直方图，
（3）360°×＝120°；
故答案为：120；
（4）720×＝90（人），
答：该校成绩90≤x＜100范围内的学生有90人．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，tanC＝2，求BP的长．
【分析】（1）连接AE，OE，根据等腰三角形的性质和等量代换得到∠C＝∠OEB，根据平行线的性质得到OE⊥PF，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，设AE＝2x，BE＝x，根据勾股定理得到AE＝2，BE＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，OE，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠C＝∠OEB，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥PF，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝∠C，
∴tanC＝tan∠ABC＝＝2，
∴设AE＝2x，BE＝x，
∴AE5+BE2＝AB2，
∴5x2+x2＝25，
∴x＝（负值舍去），
∴AE＝2，BE＝，
∵∠C+∠CAE＝∠C+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝∠CAE，
∴△AEC∽△EFC，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝1，
∴AF＝4，
∵OE∥AF，
∴△PEO∽△PFA，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
22．（9分）疫情防控期间，在线教学引发手机支架畅销．某网店手机支架1月销量为256台，2月、3月销量持续走高（售价不变）．
（1）求2月、3月这两个月销售量的月平均增长率；
（2）手机支架进价为每台24元，售价为每台40元．调查发现：售价每降低1元，销售量增加50台．于是开展“红4月”促销活动．当售价降低多少元时
【分析】（1）设2月、3月这两个月销售量的月平均增长率为x，根据题意可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可；
（2）设当售价降低x元时，手机支架在4月的利润为w元，根据4月的利润等于每台的利润乘以销售量，列出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设2月、3月这两个月销售量的月平均增长率为x
256（2+x）2＝400，
解得：x1＝＝25%，x2＝﹣（不合题意．
∴2月、2月这两个月销售量的月平均增长率为25%；
（2）设当售价降低x元时，手机支架在4月的利润为w元
w＝（40﹣24﹣x）（400+50x）
＝（16﹣x）（400+50x）
＝﹣50x2+400x+6400
＝﹣50（x﹣5）2+7200．
∴当x＝4时，w有最大值为7200．
∴当售价降低7元时，手机支架在4月的利润最大．
23．（9分）如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝6，BC＝10．
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．
（2）①设AE＝x，证明△ABE∽△DEG，推出＝，可得DG＝利用二次函数的性质求解即可．
②如图2中，连接DH．解直角三角形求出AE，DE，DG，EG，由翻折的性质可知EG垂直平分线段DH，利用面积法可得DH＝2×．
【解答】解：（1）如图1中，
由折叠可知，∠AEB＝∠FEB，
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，
∴∠AEB+∠DEG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DEG，
∴△ABE∽△DEG．
（2）①设AE＝x，
∵△ABE∽△DEG，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝＝﹣3+，
∵﹣＜0（0＜x＜10），
∴x＝4时，DG有最大值．
②如图2中，连接DH．
由折叠可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，∠BFE＝∠A＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴CE＝CB＝10，
∵点C在直线EF上，
∴∠BFC＝90°，CF＝10﹣EF＝10﹣AE，
∴CF＝＝＝8，
∴AE＝EF＝CE﹣CF＝10﹣8＝4，
∴DG＝＝＝，
∴EG＝＝＝，
由折叠可知，EG垂直平分线段DH，
∴DH＝2×＝2×＝．
24．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），当x＞m时（﹣x，﹣y）；当x≤m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）（其中m为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．
（1）点（5，7）的1分变换点坐标为 （﹣5，﹣7） ；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y＝图象上 4 ；若点（a﹣1，5）的1分变换点在直线y＝x+2上，则a＝ 8
（2）若点P在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，点Q为点P的3分变换点．
①直接写出点Q所在函数的解析式；
②求点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标；
③当﹣4≤x≤t时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6，直接写出t的取值范围．
（3）点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），若点P在二次函数y＝x2﹣mx+﹣2的图象上，点Q为点P的m分变换点．当点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点时
【分析】（1）根据新定义进行解答便可；
（2）①分两种情况：x＜﹣3；x≥﹣3．根据m分变换点的定义求出Q点的坐标，进而便可写出点Q所在函数的解析式；
②把y＝﹣5代入点Q所在的函数解析式中，便可求得交点坐标；
③根据函数的性质进行解答便可；
（3）分两种情况：x＞m和x≤m求得点Q所在的函数解析式，再根据函数的性质求得函数图象与线段AB的两个公共点，画出函数图象，可得结论．．
【解答】解：（1）∵5＞1，
∴点（5，7）的1分变换点坐标为（﹣6；
∵1＝1，
∴点（3，6）的1分变换点为（﹣6，
∵点（1，6）的8分变换点在反比例函数y＝，
∴k＝﹣1×（﹣4）＝7；
当a﹣1＞1，即a＞5时，5）的1分变换点为（5﹣a，
∵点（a﹣1，5）的7分变换点在直线y＝x+2上，
∴﹣5＝5﹣a+2，
∴a＝8，
当a﹣5≤1，即a≤2时，4）的1分变换点为（1﹣a，
∵点（a﹣4，5）的1分变换点在直线y＝x+4上，
∴﹣3＝1﹣a+8，
∴a＝6，（不合题意舍去）
故答案为：（﹣5，﹣2）；4；8；
（2）①设Q（m，n），
∵点Q为点P的8分变换点，
∴当m＞3，，P（﹣m，
∴﹣n＝m2+4m﹣3，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴点Q所在函数的解析式为y＝﹣x2﹣6x+3（x＞3）；
当m≤2，P（﹣m，
∴2﹣n＝m2+2m﹣3，
∴n＝﹣m2﹣6m+5，
∴点Q所在函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5（x≤3）
故点Q所在函数的解析式为y＝﹣x8﹣2x+3（x＞7）或y＝﹣x2﹣2x+2（x≤3）．
②把y＝﹣5代入y＝﹣x6﹣2x+3（x＜﹣5）得﹣x2﹣2x+6＝﹣5，
解得，x＝﹣4；
把y＝﹣2代入y＝﹣x2﹣2x+5（x≥﹣3）得，﹣x2﹣7x+5＝﹣5，
解得，x＝﹣4﹣，
综上，点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标为（﹣1+，﹣3）．
③∵y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+1）2+4（x＞3），
∴y的最大值为4＜8，且当x＞3时，
令y＝﹣5，得y＝﹣x3﹣2x+3＝﹣6（x＞3），
解得，x＝2（舍）；
∵y＝﹣x4﹣2x+5＝﹣（x+7）2+6（x≤7），
∴y的最大值为6，当﹣1＜x≤4时，当x＜﹣1时，
令y＝﹣5时，得﹣x8﹣2x+5＝﹣7，
解得，x＝﹣1+，
当y＝0时，﹣x8﹣2x+5＝5，
解得，x＝﹣1+（舍弃）
∴当﹣1+≤t≤﹣8+时；
综上，当﹣4≤x≤t时，其t的取值范围是﹣1+；
（3）设P（x，x2﹣mx+﹣2），函数图象．
当m＞5时，抛物线y＝﹣（x+）2﹣+2交y轴于（8，m＝（舍弃），
此时函数Q与线段AB只有一个交点，
当﹣（6+）2﹣+4≤﹣6时，
解得，m≤﹣2﹣，
观察图象可知，满足条件的m的值为：﹣2+≤．
当m≤0时，观察图象可知．
综上所述，满足条件的m的值为：﹣2+．
25．（10分）如果某封闭图形内部存在一个点．过该点的水平直线和沿垂直线交该图形的四个点到每个点的距离相等，我们称该图形叫做中心等距图形、这个点叫做该图形的等距中心．如正方形就是中心等距图形，请根据该定义探究以下回题：
（1）请写出两个常见几何图形是中心等距图形；
（2）如图①，在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（4，2），D（2，0），若是，求出等距中心的坐标，请说明理由．
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A（1，1）（x≥0）的图象经过点A，点C在x轴上（x＞0）的图象于点B（B在A右侧），若以线段OA、OC、BC和曲线AB所构成的封闭图形是中心等距图形
（4）如图③，在平面直角坐标系中，点A（0，2）（4，2），C（4，0），若抛物线y＝（x﹣m）2及其内部与矩形OABC重叠部分所构成的图形是中心等距图形，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据题设的定义即可求解；
（2）如图①作点A、D作直线AD，取线段AD的中点P作x轴的平行线交OA、BD于点E、F，则点P（2，1），则点E、F的坐标分别为（1，1）、（3，1），即可求解；
（3）设点H坐标为（m，b），则E（b，b），点C（m，0），点P（，b），G（，0），点F（，），由0＜b＜3，即可求解；
（4）设点P（a，b），则点E（0，b），点G[2a，（a﹣m）2]，点F（a，2），点H[a，（a﹣m）2]，即可求解．
【解答】解：（1）根据题设的定义知：圆和等腰直角三角形是中心等距图形；
（2）如图①作点A、D作直线AD、BD于点E、F，
则点P（2，1）、F的坐标分别为（6、（3，
由题意得：PA＝PD＝PE＝PF，
故四边形OABD是否为中心等距图形；
（3）在封闭图形内部找一点P，过点P分别作x，分别交OA、H，交反比例函数、G，
设：PE＝PH＝PF＝PG，
A（1，7），
设点H坐标为（m，b），b），0），
PE＝PH，则点P（，G（，点F（，），
由PG＝PE得：4b＝，解得：m＝3b，
点E（b，b），
故：7＜m＜9，
即0＜xC＜7；
（4）在封闭图形内部找一点P，过点P分别作x，分别交AB、H，交y轴、G，
设点P（a，b），
由题意得：PE＝PF＝PG＝PH，
则点E（0，b），（a﹣m）2]，点F（a，点H[a4]，
点P是FH中点，则b＝，
由PG＝PH得：a＝b﹣（a﹣m）2…②，
①②联立并解得：a+b＝2，即：a＝6﹣b，
将a＝2﹣b代入①得：2b＝2+（b﹣2﹣m）2，而7＜b＜2，
故：m，
当m＝6时，也满足PE＝PF＝PG＝PH，
故：1≤m．
2021年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．在下列数：+3、+（﹣2.1）、﹣、π、0、|﹣9|中（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×105
3．如图，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．可回收垃圾 B．其他垃圾
C．有害垃圾 D．厨余垃圾
5．为了抵消美国关税提高带来的损失，某厂商不得不将出口到美国的A类产品每件提高3美元，结果美国人发现：现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，根据题意可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知x＞2，则下列二次根式定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
8．某学习小组的6名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A．中位数是90分 B．众数是94分
C．平均分是91分 D．方差是20
9．已知平面直角坐标系中点P（﹣3，4）．将它沿y轴方向向上平移3个单位所得点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣3，7） C．（0，4） D．（﹣6，4）
10．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，不知其大小，用锯去锯该材料，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的交点B在点（0，﹣2）与点（0，﹣3）（包含端点），顶点D的坐标为（1，n）．则下列结论：其中结论正确的个数为（ ）
①3a+c＝0；
②＜a＜1；
③对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共18分）
13．分解因式：2a2﹣ab＝ ．
14．按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝50°，以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E，则图中由O、D、E三点所围成的扇形面积（阴影部分） （结果保留π）．
16．如图，反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝（b＞0）交于A，B两点（点A在点B右侧），垂足为点C，连接AO，图中阴影部分的面积为12，则b的值为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣）2﹣﹣﹣|1﹣|+2cos45°．
18．（6分）先化简，再求值：，其中|x|＝3．
19．（6分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示
（1）如图1，作△ABC的高线CD；
（2）直接写出的值 ；
（3）在BC边上取点E，使得tan∠BAE＝；
（4）如图2，在（1）的条件下，在AC边上取一点P
20．（8分）针对春节期间新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命．远离病毒”知识竞赛初赛，赛后班长对成绩进行分析（未完成）．
类别
分数段
频数（人数）
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
16
C
80≤x＜90
24
D
90≤x＜1000
6
根据情况画出的扇形图如图，请解答下列问题：
（1）该班总人数为 ；
（2）频数分布表中a＝ ，并补全频数分布直方图中的“A”和“D”部分；
（3）扇形统计图中，类别B所在扇形的圆心角是 度．
（4）全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩“D”（90≤x＜100范围内）的学生有多少人？
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，tanC＝2，求BP的长．
22．（9分）疫情防控期间，在线教学引发手机支架畅销．某网店手机支架1月销量为256台，2月、3月销量持续走高（售价不变）．
（1）求2月、3月这两个月销售量的月平均增长率；
（2）手机支架进价为每台24元，售价为每台40元．调查发现：售价每降低1元，销售量增加50台．于是开展“红4月”促销活动．当售价降低多少元时
23．（9分）如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝6，BC＝10．
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH
24．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），当x＞m时（﹣x，﹣y）；当x≤m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）（其中m为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．
（1）点（5，7）的1分变换点坐标为 ；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y＝图象上 ；若点（a﹣1，5）的1分变换点在直线y＝x+2上，则a＝
（2）若点P在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，点Q为点P的3分变换点．
①直接写出点Q所在函数的解析式；
②求点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标；
③当﹣4≤x≤t时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6，直接写出t的取值范围．
（3）点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），若点P在二次函数y＝x2﹣mx+﹣2的图象上，点Q为点P的m分变换点．当点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点时
25．（10分）如果某封闭图形内部存在一个点．过该点的水平直线和沿垂直线交该图形的四个点到每个点的距离相等，我们称该图形叫做中心等距图形、这个点叫做该图形的等距中心．如正方形就是中心等距图形，请根据该定义探究以下回题：
（1）请写出两个常见几何图形是中心等距图形；
（2）如图①，在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（4，2），D（2，0），若是，求出等距中心的坐标，请说明理由．
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A（1，1）（x≥0）的图象经过点A，点C在x轴上（x＞0）的图象于点B（B在A右侧），若以线段OA、OC、BC和曲线AB所构成的封闭图形是中心等距图形
（4）如图③，在平面直角坐标系中，点A（0，2）（4，2），C（4，0），若抛物线y＝（x﹣m）2及其内部与矩形OABC重叠部分所构成的图形是中心等距图形，请直接写出m的取值范围．
2021年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．在下列数：+3、+（﹣2.1）、﹣、π、0、|﹣9|中（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据有理数的分类方法，可得非负数包括正数和0，据此判断出在+3、+（﹣2.1）、﹣、π、0、|﹣9|这六个数中，非负数有多少个即可．
【解答】解：∵+（﹣2.1）＝﹣2.1，|﹣9|＝3
在+3、+（﹣2.6）、﹣、π、5，非负数有+3，π、0，共5个，
故选：D．
2．中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：106000用科学记数法表示为：1.06×105．
故选：D．
3．如图，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角及邻补角的定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角；
B、∠3与∠2互为邻补角；
C、∠1与∠3关系不能确定；
D、∠1+∠2＞180°．
故选：B．
4．下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．可回收垃圾 B．其他垃圾
C．有害垃圾 D．厨余垃圾
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题；
C．既是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
5．为了抵消美国关税提高带来的损失，某厂商不得不将出口到美国的A类产品每件提高3美元，结果美国人发现：现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，根据题意可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设A类商品出口的原价为m美元/件，则提价后的价格为（m+3）美元/件，根据数量＝总价÷单价，结合现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，即可得出关于m的分式方程，此题得解．
【解答】解：设A类商品出口的原价为m美元/件，则提价后的价格为（m+3）美元/件，
依题意得：＝．
故选：A．
6．已知x＞2，则下列二次根式定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据负数没有平方根确定出所求即可．
【解答】解：∵x＞2，
∴x﹣2＞4，
∴2﹣x＜0，x﹣2＞0，
则当x＞2时，有意义．
故选：B．
7．如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，
∴当AC＝DF时，满足SSA，故A选项符合题意；
当AB＝DE时，满足SAS，故B选项不合题意；
当∠A＝∠D时，满足AAS，故C选项不合题意；
当∠ACB＝∠F时，满足ASA，故D选项不合题意；
故选：A．
8．某学习小组的6名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A．中位数是90分 B．众数是94分
C．平均分是91分 D．方差是20
【分析】直接根据平均数、中位数、众数以及方差的计算公式对各选项进行判断．
【解答】解：A、这组数据按从小到大排列为：74、90、94，所以这组数据的中位数为92（分）；
B、这组数据的众数为94（分）；
C、这组数据的平均分：，所以C选项错误；
D、方差＝2+（98﹣88）7+（90﹣88）2+（94﹣88）2+（74﹣88）8+（80﹣88）2]≈73，所以D选项错误．
故选：B．
9．已知平面直角坐标系中点P（﹣3，4）．将它沿y轴方向向上平移3个单位所得点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣3，7） C．（0，4） D．（﹣6，4）
【分析】让横坐标不变，纵坐标加3可得到所求点的坐标．
【解答】解：所求点的横坐标为﹣3，
纵坐标为4+2＝7，
即（﹣3，6）．
故选：B．
10．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣8，
解不等式≤7，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：B．
11．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，不知其大小，用锯去锯该材料，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可；
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD＝5，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）7，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的交点B在点（0，﹣2）与点（0，﹣3）（包含端点），顶点D的坐标为（1，n）．则下列结论：其中结论正确的个数为（ ）
①3a+c＝0；
②＜a＜1；
③对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标以及与y轴的交点坐标，逐个进行判断，最后得出结论．
【解答】解：∵顶点D的坐标为（1，n）．
∴对称轴为x＝1，即﹣，也就是b＝﹣2a；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣8，0），
∴a﹣b+c＝0，将b＝﹣5a代入得，即3a+c＝0；
由a﹣b+c＝7得，c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a；
∵抛物线与y轴的交点B在点（6，﹣2）与点（0，
∴﹣6≤c≤﹣2，即：﹣3≤﹣8a≤﹣2，
∴≤a≤1；
当x＝1时，y＝a+b+c＝n，
当x＝m时，y＝am6+bm+c，（m为任意实数），
∵（1，n）为顶点坐标，
∴a+b+c≤am2+bm+c，即：a+b≤am5+bm，因此③正确，
∵a＞0，顶点为（1，
当y＝n时，关于x的方程ax5+bx+c＝n有两个相等的实数根，即：x1＝x2＝8，
当y＝n+1时，关于x的方程ax2+bx+c＝n+3有两个不相等的实数根，
因此④不正确；
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共18分）
13．分解因式：2a2﹣ab＝ a（2a﹣b） ．
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
【解答】解：2a2﹣ab＝a（6a﹣b）．
故答案为：a（2a﹣b）．
14．按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为 18 ．
【分析】根据﹣3＜﹣1确定出应代入y＝2x2中计算出y的值．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1，
把x＝﹣6代入y＝2x2，得y＝6×9＝18，
故答案为：18．
15．如图，在△ABC中，∠A＝50°，以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E，则图中由O、D、E三点所围成的扇形面积（阴影部分） 2π （结果保留π）．
【分析】根据题意和图形，可以先求的∠DOED的度数，然后根据BC可以得到OD的长，再根据扇形面积公式，即可解答本题．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝130°，
∵∠DOC+∠BOE＝2∠B+2∠C，∠DOC+∠BOE＝∠BOC+∠DOE，
∴∠DOC+∠BOE＝260°，
∴∠DOE＝260°﹣∠BOC＝260°﹣180°＝80°，
∵BC＝3，
∴OD＝3，
∴扇形DOE的面积是：＝2π，
故答案为：2π．
16．如图，反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝（b＞0）交于A，B两点（点A在点B右侧），垂足为点C，连接AO，图中阴影部分的面积为12，则b的值为 3 ．
【分析】首先由已知得到S△BDE＝2S△GCO从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝x+b即可得答案．
【解答】解：过B作BD⊥OE于D，过A⊥y轴于H，如图：
设M为AB的中点，A（x1，y1），B（x5，y2），
由得x2+2bx+24＝8，
∴x1+x2＝﹣5b，
y1+y2＝（x1+b）+（x2+b）＝（x1+x6）+2b＝b，
∴M（﹣b，），
而直线y＝x+b（b＞0）交于坐标轴于E、F，
∴E（﹣8b，0），b），
∴EF的中点为（﹣b，），即EF的中点也为M，
∴EM＝FM，BM＝AM，
∴EB＝FA，
又∠FAH＝∠BED，∠AHF＝∠EDB，
∴△EDB≌△AHF（AAS），
∴AH＝ED＝OC，
∵（S△AGO+S△GCO）+（S△GCO+S四边形GCDB）＝|k|+，
且图中阴影部分的面积为12，
∴S△BDE＝2S△GCO
∴ED•BD＝2×，
∴BD＝2GC，
∴OD＝2OC，即x8＝2x1
设x6＝m，则x2＝2m，
∴A（m，﹣），B（6m，﹣），
将A（m，﹣），B（2m，﹣x+b得：
，解得m＝5，
∴b＝﹣﹣×（﹣2．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣）2﹣﹣﹣|1﹣|+2cos45°．
【分析】分别根据二次根式的性质，算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣4﹣（﹣2）﹣（﹣1）+6×
＝2﹣+1+
＝2．
18．（6分）先化简，再求值：，其中|x|＝3．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据绝对值的性质和分式有意义的条件得出x的知，再代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝，
∵|x|＝3，
∴x＝±3，
又∵x≠2，
∴x＝﹣3，
则原式＝＝﹣．
19．（6分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示
（1）如图1，作△ABC的高线CD；
（2）直接写出的值 ；
（3）在BC边上取点E，使得tan∠BAE＝；
（4）如图2，在（1）的条件下，在AC边上取一点P
【分析】（1）根据三角形的高的定义即可作△ABC的高线CD；
（2）根据等面积法求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，即可得的值；
（3）根据正切的定义即可在BC边上取点E，使得tan∠BAE＝；
（4）根据两点之间线段最短，使DP和BP能在一条直线上，作AC的垂线BG，再作AC的平行线JK，交BG于点H，使得AC垂直平分BH，连接DH交AC于点P，即可使BP+DP的值最小．
【解答】解：（1）如图1，高线CD即为所求；
（2）∵S△BCF＝BC•BF＝，
∴3×2＝BD，
∴BD＝，
∵AB＝CF＝＝，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝，
∴＝＝．
∴的值为；
故答案为：；
（3）如图2，点E即为所求；
（4）如图4，点P即为所求．
20．（8分）针对春节期间新型冠状病毒事件，九（1）班学生参加学校举行的“珍惜生命．远离病毒”知识竞赛初赛，赛后班长对成绩进行分析（未完成）．
类别
分数段
频数（人数）
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
16
C
80≤x＜90
24
D
90≤x＜1000
6
根据情况画出的扇形图如图，请解答下列问题：
（1）该班总人数为 48 ；
（2）频数分布表中a＝ 2 ，并补全频数分布直方图中的“A”和“D”部分；
（3）扇形统计图中，类别B所在扇形的圆心角是 120 度．
（4）全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩“D”（90≤x＜100范围内）的学生有多少人？
【分析】（1）从统计图中可知“C组”的有24人，占全班人数的50%，可求出全班人数；
（2）根据所有频数的和等于全班人数48人，可求出a的值，即可补全频数分布直方图；
（3）“类别B”占全班的，因此相应的圆心角为360°的；
（4）“D组”占全班的，估计全校720人的为“D组”的人数．
【解答】解：（1）24÷50%＝48（人），
故答案为：48；
（2）a＝48﹣16﹣24﹣6＝2（人），
故答案为：6，补全频数分布直方图，
（3）360°×＝120°；
故答案为：120；
（4）720×＝90（人），
答：该校成绩90≤x＜100范围内的学生有90人．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，tanC＝2，求BP的长．
【分析】（1）连接AE，OE，根据等腰三角形的性质和等量代换得到∠C＝∠OEB，根据平行线的性质得到OE⊥PF，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，设AE＝2x，BE＝x，根据勾股定理得到AE＝2，BE＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，OE，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠C＝∠OEB，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥PF，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝∠C，
∴tanC＝tan∠ABC＝＝2，
∴设AE＝2x，BE＝x，
∴AE5+BE2＝AB2，
∴5x2+x2＝25，
∴x＝（负值舍去），
∴AE＝2，BE＝，
∵∠C+∠CAE＝∠C+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝∠CAE，
∴△AEC∽△EFC，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝1，
∴AF＝4，
∵OE∥AF，
∴△PEO∽△PFA，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
22．（9分）疫情防控期间，在线教学引发手机支架畅销．某网店手机支架1月销量为256台，2月、3月销量持续走高（售价不变）．
（1）求2月、3月这两个月销售量的月平均增长率；
（2）手机支架进价为每台24元，售价为每台40元．调查发现：售价每降低1元，销售量增加50台．于是开展“红4月”促销活动．当售价降低多少元时
【分析】（1）设2月、3月这两个月销售量的月平均增长率为x，根据题意可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可；
（2）设当售价降低x元时，手机支架在4月的利润为w元，根据4月的利润等于每台的利润乘以销售量，列出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设2月、3月这两个月销售量的月平均增长率为x
256（2+x）2＝400，
解得：x1＝＝25%，x2＝﹣（不合题意．
∴2月、2月这两个月销售量的月平均增长率为25%；
（2）设当售价降低x元时，手机支架在4月的利润为w元
w＝（40﹣24﹣x）（400+50x）
＝（16﹣x）（400+50x）
＝﹣50x2+400x+6400
＝﹣50（x﹣5）2+7200．
∴当x＝4时，w有最大值为7200．
∴当售价降低7元时，手机支架在4月的利润最大．
23．（9分）如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝6，BC＝10．
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．
（2）①设AE＝x，证明△ABE∽△DEG，推出＝，可得DG＝利用二次函数的性质求解即可．
②如图2中，连接DH．解直角三角形求出AE，DE，DG，EG，由翻折的性质可知EG垂直平分线段DH，利用面积法可得DH＝2×．
【解答】解：（1）如图1中，
由折叠可知，∠AEB＝∠FEB，
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，
∴∠AEB+∠DEG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DEG，
∴△ABE∽△DEG．
（2）①设AE＝x，
∵△ABE∽△DEG，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝＝﹣3+，
∵﹣＜0（0＜x＜10），
∴x＝4时，DG有最大值．
②如图2中，连接DH．
由折叠可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，∠BFE＝∠A＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴CE＝CB＝10，
∵点C在直线EF上，
∴∠BFC＝90°，CF＝10﹣EF＝10﹣AE，
∴CF＝＝＝8，
∴AE＝EF＝CE﹣CF＝10﹣8＝4，
∴DG＝＝＝，
∴EG＝＝＝，
由折叠可知，EG垂直平分线段DH，
∴DH＝2×＝2×＝．
24．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），当x＞m时（﹣x，﹣y）；当x≤m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）（其中m为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．
（1）点（5，7）的1分变换点坐标为 （﹣5，﹣7） ；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y＝图象上 4 ；若点（a﹣1，5）的1分变换点在直线y＝x+2上，则a＝ 8
（2）若点P在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，点Q为点P的3分变换点．
①直接写出点Q所在函数的解析式；
②求点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标；
③当﹣4≤x≤t时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6，直接写出t的取值范围．
（3）点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），若点P在二次函数y＝x2﹣mx+﹣2的图象上，点Q为点P的m分变换点．当点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点时
【分析】（1）根据新定义进行解答便可；
（2）①分两种情况：x＜﹣3；x≥﹣3．根据m分变换点的定义求出Q点的坐标，进而便可写出点Q所在函数的解析式；
②把y＝﹣5代入点Q所在的函数解析式中，便可求得交点坐标；
③根据函数的性质进行解答便可；
（3）分两种情况：x＞m和x≤m求得点Q所在的函数解析式，再根据函数的性质求得函数图象与线段AB的两个公共点，画出函数图象，可得结论．．
【解答】解：（1）∵5＞1，
∴点（5，7）的1分变换点坐标为（﹣6；
∵1＝1，
∴点（3，6）的1分变换点为（﹣6，
∵点（1，6）的8分变换点在反比例函数y＝，
∴k＝﹣1×（﹣4）＝7；
当a﹣1＞1，即a＞5时，5）的1分变换点为（5﹣a，
∵点（a﹣1，5）的7分变换点在直线y＝x+2上，
∴﹣5＝5﹣a+2，
∴a＝8，
当a﹣5≤1，即a≤2时，4）的1分变换点为（1﹣a，
∵点（a﹣4，5）的1分变换点在直线y＝x+4上，
∴﹣3＝1﹣a+8，
∴a＝6，（不合题意舍去）
故答案为：（﹣5，﹣2）；4；8；
（2）①设Q（m，n），
∵点Q为点P的8分变换点，
∴当m＞3，，P（﹣m，
∴﹣n＝m2+4m﹣3，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴点Q所在函数的解析式为y＝﹣x2﹣6x+3（x＞3）；
当m≤2，P（﹣m，
∴2﹣n＝m2+2m﹣3，
∴n＝﹣m2﹣6m+5，
∴点Q所在函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5（x≤3）
故点Q所在函数的解析式为y＝﹣x8﹣2x+3（x＞7）或y＝﹣x2﹣2x+2（x≤3）．
②把y＝﹣5代入y＝﹣x6﹣2x+3（x＜﹣5）得﹣x2﹣2x+6＝﹣5，
解得，x＝﹣4；
把y＝﹣2代入y＝﹣x2﹣2x+5（x≥﹣3）得，﹣x2﹣7x+5＝﹣5，
解得，x＝﹣4﹣，
综上，点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标为（﹣1+，﹣3）．
③∵y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+1）2+4（x＞3），
∴y的最大值为4＜8，且当x＞3时，
令y＝﹣5，得y＝﹣x3﹣2x+3＝﹣6（x＞3），
解得，x＝2（舍）；
∵y＝﹣x4﹣2x+5＝﹣（x+7）2+6（x≤7），
∴y的最大值为6，当﹣1＜x≤4时，当x＜﹣1时，
令y＝﹣5时，得﹣x8﹣2x+5＝﹣7，
解得，x＝﹣1+，
当y＝0时，﹣x8﹣2x+5＝5，
解得，x＝﹣1+（舍弃）
∴当﹣1+≤t≤﹣8+时；
综上，当﹣4≤x≤t时，其t的取值范围是﹣1+；
（3）设P（x，x2﹣mx+﹣2），函数图象．
当m＞5时，抛物线y＝﹣（x+）2﹣+2交y轴于（8，m＝（舍弃），
此时函数Q与线段AB只有一个交点，
当﹣（6+）2﹣+4≤﹣6时，
解得，m≤﹣2﹣，
观察图象可知，满足条件的m的值为：﹣2+≤．
当m≤0时，观察图象可知．
综上所述，满足条件的m的值为：﹣2+．
25．（10分）如果某封闭图形内部存在一个点．过该点的水平直线和沿垂直线交该图形的四个点到每个点的距离相等，我们称该图形叫做中心等距图形、这个点叫做该图形的等距中心．如正方形就是中心等距图形，请根据该定义探究以下回题：
（1）请写出两个常见几何图形是中心等距图形；
（2）如图①，在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（4，2），D（2，0），若是，求出等距中心的坐标，请说明理由．
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A（1，1）（x≥0）的图象经过点A，点C在x轴上（x＞0）的图象于点B（B在A右侧），若以线段OA、OC、BC和曲线AB所构成的封闭图形是中心等距图形
（4）如图③，在平面直角坐标系中，点A（0，2）（4，2），C（4，0），若抛物线y＝（x﹣m）2及其内部与矩形OABC重叠部分所构成的图形是中心等距图形，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据题设的定义即可求解；
（2）如图①作点A、D作直线AD，取线段AD的中点P作x轴的平行线交OA、BD于点E、F，则点P（2，1），则点E、F的坐标分别为（1，1）、（3，1），即可求解；
（3）设点H坐标为（m，b），则E（b，b），点C（m，0），点P（，b），G（，0），点F（，），由0＜b＜3，即可求解；
（4）设点P（a，b），则点E（0，b），点G[2a，（a﹣m）2]，点F（a，2），点H[a，（a﹣m）2]，即可求解．
【解答】解：（1）根据题设的定义知：圆和等腰直角三角形是中心等距图形；
（2）如图①作点A、D作直线AD、BD于点E、F，
则点P（2，1）、F的坐标分别为（6、（3，
由题意得：PA＝PD＝PE＝PF，
故四边形OABD是否为中心等距图形；
（3）在封闭图形内部找一点P，过点P分别作x，分别交OA、H，交反比例函数、G，
设：PE＝PH＝PF＝PG，
A（1，7），
设点H坐标为（m，b），b），0），
PE＝PH，则点P（，G（，点F（，），
由PG＝PE得：4b＝，解得：m＝3b，
点E（b，b），
故：7＜m＜9，
即0＜xC＜7；
（4）在封闭图形内部找一点P，过点P分别作x，分别交AB、H，交y轴、G，
设点P（a，b），
由题意得：PE＝PF＝PG＝PH，
则点E（0，b），（a﹣m）2]，点F（a，点H[a4]，
点P是FH中点，则b＝，
由PG＝PH得：a＝b﹣（a﹣m）2…②，
①②联立并解得：a+b＝2，即：a＝6﹣b，
将a＝2﹣b代入①得：2b＝2+（b﹣2﹣m）2，而7＜b＜2，
故：m，
当m＝6时，也满足PE＝PF＝PG＝PH，
故：1≤m．
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