2025年广东省揭阳市中考数学一模试卷附答案

这是一份2025年广东省揭阳市中考数学一模试卷附答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）对于函数y＝2x3，自变量x分别取−2，﹣1，0，1中哪个时，函数值最大（ ）
A．−2B．﹣1C．0D．1
2．（3分）如图1所示为烽火台，其建筑主体为正四棱台，图2几何体为其结构图．如图2所示，正四棱台是由底面为正方形的正四棱锥切割所得到的，则图2几何体的主视图为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）2025年1月8日，山东省政府举办“稳步扩内需促开放，赋能经济高质量发展情况”新闻发布会，会议介绍2024年山东筹集落实资金143.21亿元，集中支持汽车、家电等8个领域消费品以旧换新工作，合计带动销售1270亿元左右，山东汽车报废更新49.2万辆，居全国首位，家电以旧换新412万台．将数据“49.2万”用科学记数法表示为（ ）
A．49.2×104B．4.92×105C．492×104D．4.92×104
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a•（ab3）2＝a3b5B．a3﹣a2＝a
C．a5a2=a3D．1a+1−1a=1a(a+1)
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两个点，CD交AB于点E，已知BE＝BD，∠BCD＝42°，则∠BDC＝（ ）
A．72°B．66°C．64°D．68°
6．（3分）如图，两抛物线的函数解析式分别为y＝x2和y＝﹣x2+2x，则阴影部分面积为（ ）
A．32B．2C．1D．45
7．（3分）如图所示为一测量电路，Ry为待测电阻，Rx为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节Rx的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有RyR1=R2Rx，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过Rx的电阻求得Ry的电阻，现已知R1＝2Ω，R2＝8Ω．当Rx＝4Ω时电流表读数为0，那么此时将Ry减小3Ω，则Rx需要如何变，电流表示数才能为0？（ ）
A．增大12ΩB．增大8ΩC．减小3ΩD．减小1Ω
8．（3分）生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如D）表示，决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如d）表示，当D和d结合在一起时d无法表达性状，仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（Aa）和矮茎豌豆（aa）杂交，高茎豌豆的A和a分离，矮茎豌豆a和a也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中Aa和aa的比例为1：1．现在有高茎黄色豌豆（AaBb）和高茎黄色豌豆（AaBb）杂交，其中后代中为bb的性状为绿色，且A、a和B、b遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为（ ）
A．116B．316C．916D．14
9．（3分）如图，AB和CD为两个同高的晾衣柱，AB高2.2m，一无弹性的绳子一端系在A点，另一端P系在柱子CD上（不计绳结的长度），现有一裤子晾在上面，已知挂钩挂在绳子的O点处，竖直方向上O点到裤子最下方的距离为1m，绳子长度为2.5m，两个柱子间距BD＝2m，某位同学通过课外物理知识对图中衣服进行受力分析，并且得到一个结论：∠BAO＝∠OPD，则为了保证裤子不沾地，点P离地面的距离至少为（ ）
A．1.6mB．1.2mC．1.5mD．1.3m
10．（3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别为AB和BC的中点，CE＝5，DF=152，AB=42，则BC的长为（ ）
A．33B．34C．35D．37
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）代数式1−x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）记里鼓车，又称记里车、大章车，是我国古代用来记录车辆行过距离的马车，构造与指南车相似，如图，车有上下两层，每层各有木制机械人，手执木槌，下层木人打鼓，车每行一里路，敲鼓一下，上层机械人敲打铃铛，车每行十里，敲打铃铛一次，设一古人从A城驾车到B城，铃铛和鼓一共恰好响了27次，则A，B两城的距离是 里．
13．（3分）如图所示为一直角三角形ABC，AC⊥BC，AB＝12，∠B＝30°，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交AC，AB于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于DE长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接AF交BC于点G，最后以点G为圆心，以AD的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接MN分别交AC，AB于点P，Q，连接PG，GE，则四边形APGQ的周长为 ．
14．（3分）化简：24048−22025+124048−1= ．
15．（3分）记max{m，n}表示实数m和n中的较大值，即若m≥n，则max{m，n}＝m，如max{1，2}＝2，max{6，6}＝6．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，﹣1），B（2，2），则下列结论正确的是（将正确结论的序号填在横线上） ．
①直线y＝ax+b（a≠0）和直线y＝cx+d过点B且这两条直线垂直，则函数y＝max{ax+b，cx+d}的最小值为2；
②若直线y＝ax+b与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于点A，B，则函数y=max{ax+b，kx}的最小值为﹣1；
③若直线y＝ax+b与二次函数y＝cx2+dx+e（c＞0）的图象交于点A，B，则函数y＝max{ax+b，cx2+dx+e}有最小值，无最大值．
16．（3分）已知x1和x2为方程x2﹣mx+n＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝2m+1，则实数n的最大值为 ．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）解方程：3x+4y=11x+2y=5；
（2）解不等式组：−4x−5＜2x+133x−25≤x2．
18．（10分）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
请帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：tan78.7°＝5，3=1.73）
19．（10分）植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节．提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性．1928年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日．新中国成立后的1979年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节．某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下：
完成下面问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）八年级一共有480人，请根据以上数据估计八年级中分数在80分到90分的人数．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥OB，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边OA上一点且OB＝BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右侧），已知AB＝CD，点D在反比例函数y=2x的图象上，反比例函数y=kx的图象过点A．
（1）证明：四边形AOBD是平行四边形；
（2）求k的值；
（3）取BD的中点E，证明：直线AE与反比例函数y=kx的图象仅有一个交点A．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为OA延长线上一点，E为OA上一点，延长CE交⊙O于点F，已知CD＝DE，CD为⊙O的切线．
（1）求∠BCF的度数；
（2）过点A作AG⊥CF，垂足为G，若BC＝4OG＝4，求CF．
22．（10分）综合与实践
【问题情境】
在一次数学探究课上，老师给出了一道例题题干，如下：如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，过点B作AB的垂线BD（D在BC上方），E，F两点分别在AB，BD上且EF=2CE．
【探究实践】
老师带领同学们自己观察图形，进行猜想和假设，找寻图中蕴含的几何关系，经过思考和讨论，小华和小颖同学分享了自己的发现．
（1）如图1，小华发现，当点E为AB中点时，AE＝BF，请你给出证明；
（2）如图2，小颖发现，当E不是AB中点时，AE＝BF仍成立，请你给出证明．
【拓展应用】
如图3，小聪在EF上取一点M使得CE＝EM，小聪发现∠BCM为固定值，请你给出证明并求∠BCM．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx的顶点为A．
（1）如图1，若A点横坐标为1，点（2，t）在抛物线M上，求t的值；
（2）如图2，若a＝1，直线l：y=33x+1，求b变化时点A到直线l的距离最小值；
（3）若b=2−a2，当0＜x＜1时y＝ax2+bx＞0，求a的取值范围．
一．选择题（共10小题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解答】解：依题意，把x=−2分别代入y＝2x3，
得y=2×(−2)3=−42；
把x＝﹣1分别代入y＝2x3，
得y＝﹣2；
把x＝0分别代入y＝2x3，
得y＝0；
把x＝1分别代入y＝2x3，
得y＝2；
∵2＞0＞−2＞−42，
∴在四个选项中，当x＝1时，函数值最大；
故选：D．
2．【答案】C
【解答】解：根据几何体的特点可得：从几何体的正面可以看到一个等腰梯形．
故选：C．
3．【答案】B．
【解答】解：49.2万＝492000＝4.92×105．
故选：B．
4．【答案】C
【解答】解：根据相关运算法则逐项分析判断如下：
A、a•（ab3）2＝a•a2b6＝a3b6≠a3b5，故该选项不符合题意；
B、a3，a2不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
C、a5a2=a3，故该选项符合题意；
D、1a+1−1a=a−(a+1)a(a+1)=−1a(a+1)，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．【答案】B
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BCD＝42°，
∴∠BAD＝∠BCD＝42°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝48°，
∵BE＝BD，
∴∠BDC＝∠BED=180°−∠ABD2=66°，
故选：B．
6．【答案】C
【解答】解：联立方程组y=x2y=−x2+2x
解得：x=0y=0或x=1y=1，
∴两抛物线的交点分别为（0，0）和（1，1），
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴顶点A（1，1），
设抛物线y＝﹣x2+2x与x轴的另一个交点为B，
当y＝0时，﹣x2+2x＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
∴B（2，0），
如图所示，
∴OA=AB=2，OB＝2，
∴OA2+AB2＝OB2，
∴三角形OAB是等腰直角三角形
根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形OAB的面积，
∴阴影部分面积为12OB×yA=12×2×1=1，
故选：C．
7．【答案】A
【解答】解：∵RyR1=R2Rx，R1＝2Ω，R2＝8Ω，Rx＝4Ω，
∴Ry2Ω=8Ω4Ω，
∴Ry＝4Ω，
∵将Ry减小3Ω，
∴调整后的Ry＝1Ω，
∵电流表示数才能为0，
∴RyR1=R2Rx，
则1Ω2Ω=8ΩRx，
解得Rx＝16Ω，
∴16Ω﹣4Ω＝12Ω，
即Rx增大12Ω，
故选：A．
8．【答案】B
【解答】解：列表格如下：
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中后代出现高茎绿色豌豆的有3种等可能的结果，
∴概率为P=316，
故选：B．
9．【答案】D
【解答】解：过点O作EF∥BD，分别交AB，CD于点E，F，如图所示：
依题意，∠B＝∠D＝90°，
由条件可知∠BEF＝∠EFD＝90°，
∴EF＝BD＝2m，
设AO＝x m，EO＝y m，
∴OP＝2.5﹣x，OF＝2﹣y，
∵∠BAO＝∠OPD，∠AEF＝∠EFC＝90°，
∴△AEO∽△PFO，
∴AOOP=EOOF=AEPF，
则x2.5−x=y2−y，
∴x＝1.25y，
当保证裤子恰好沾地时，则AE＝AB﹣EB＝1.2（m），
在Rt△AEO中，x2＝1.44+y2，
∵x＝1.25y，
∴解得y＝1.6，
∴y2−y=1.62−1.6=4，
∴AEPF=4，
∴PF＝0.3，
∴1+0.3＝1.3（m），
则为了保证裤子不沾地，点P离地面的距离至少为1.3m，
故选：D．
10．【答案】A
【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，如图，过点F作HF∥AB，交CE于点H，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∵E，F分别为AB和BC的中点，
∴BE=12AB=22，CF=12BC，
∵HF∥AB，
∴∠CHF＝∠HEB，∠CFH＝∠B，
∴△CHF∽△CEB，
∴CFCB=CHCE=FHBE=12，
∵BE=22，CE＝5，
∴FH=2，CH=52，
∵HF∥AB，
∴HF∥CD，
∴∠CHF＝∠HCD，∠OFH＝∠CDO，
∴△FHO∽△DCO，
∴ODOF=OCHO=CDHF=2BEHF=4，
∴HO=15HC=12，FO=15FD=32，
在△HOF中，FO2＝2.25，HO2＝0.25，FH2＝2，
则FO2＝HO2+FH2，
故△HOF是直角三角形，
∴∠CHF＝90°，
∵HF∥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴在直角三角形BCE中，由勾股定理得：BC=BE2+EC2=8+25=33，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．【答案】x＜1．
【解答】解：要是分式有意义则﹣x+1＞0，
∴x＜1；
故答案为：x＜1．
12．【答案】25．
【解答】解：∵27÷10＝2.7，车每行十里，敲打铃铛一次，
∴铃铛响了2次，
27﹣2＝25，
∴鼓响了25次，
∴A，B两城的距离是25×1＝25（里），
故答案为：25．
13．【答案】16．
【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝12，∠B＝30°，
∴AC=12AB=6，
如图：
根据作图可知AG是∠CAB的角平分线，
∴∠CAG=∠BAG=12∠CAB=12(90°−∠B)=30°，
根据作图可知直线MN是AG的垂直平分线，
∴AG⊥PQ，AP＝PG，AQ＝GQ，
∴∠AZP＝∠AZQ＝90°，
∵ZA＝ZA，∠CAG＝∠BAG，
∴△AZP≌△AZQ，
∴AP＝AQ，
即AP＝AQ＝PG＝GQ，
∴四边形APGQ是菱形，
则Rt△PCG中，∠CPG＝∠PAG+∠PGA＝60°，
即∠CGP＝30°，
∴CP=12PG=12AP，
∵AC＝6，
∴CP+AP=32AP=6，
∴AP＝4，
∴4×4＝16，
即菱形APGQ的周长是16，
故答案为：16．
14．【答案】22024−122024+1．
【解答】解：24048−22025+124048−1
=(22024)2−2×1×22024+12(22024)2−12
=(22024−1)2(22024−1)(22024+1)
=22024−122024+1，
故答案为：22024−122024+1．
15．【答案】①③．
【解答】解：①依题意，分别作图，
当x≥2时，则y＝max{ax+b，cx+d}＝cx+d，此时cx+d的最小值为2；
当x≤2时，则y＝max{ax+b，cx+d}＝ax+b，此时ax+b的最小值为2；
当x≥2时，则y＝max{ax+b，cx+d}＝ax+b，ax+b的最小值为2；
当x≤2时，则y＝max{ax+b，cx+d}＝cx+d，cx+d的最小值为2；
综上：直线y＝ax+b（a≠0）和直线y＝cx+d过点B且这两条直线垂直，则函数y＝max{ax+b，cx+d}的最小值为2；
故①是正确的；
∵直线y＝ax+b与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于点A，B，A（﹣4，﹣1），B（2，2），
∴作图如下所示：
当x≤﹣4时，y=max{ax+b，kx}=kx，此时kx最小值为﹣1；
当﹣4≤x＜0时，y=max{ax+b，kx}=ax+b，此时ax+b最小值为﹣1；
当0＜x≤2时，y=max{ax+b，kx}=kx，此时kx最小值为2；
当2≤x时，y=max{ax+b，kx}=ax+b，此时ax+b最小值为2；
故②是错误的；
∵直线y＝ax+b与二次函数y＝cx2+dx+e（c＞0）的图象交于点A，B，
∴如图所示：
当x≤﹣4时，y＝max{ax+b，cx2+dx+e}＝cx2+dx+e，此时cx2+dx+e最小值为﹣1；
当﹣4≤x≤2时，y＝max{ax+b，cx2+dx+e}＝ax+b，此时ax+b最小值为﹣1；
当2≤x时，y＝max{ax+b，cx2+dx+e}＝cx2+dx+e，此时cx2+dx+e最小值为2；
则函数y＝max{ax+b，cx2+dx+e}有最小值，无最大值．
故③是正确的；
故答案为：①③．
16．【答案】112．
【解答】解：由条件可知x1+x2＝m，x1x2＝n，Δ＝m2﹣4n≥0，
∵x1﹣x2＝2m+1，
∴(x1−x2)2=(2m+1)2=4m2+4m+1，
∵(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2，
∴n=x1x2=14[(x1+x2)2−(x1−x2)2]
=14[m2−(4m2+4m+1)]
=−34m2−m−14，
∵−34＜0，
∴n存在最大值，最大值为4×(−34)×(−14)−(−1)24×(−34)=112，
故答案为：112．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）x=1y=2；（2）﹣3＜x≤4．
【解答】解：（1）3x+4y=11①x+2y=5②，
由②得：x＝5﹣2y③，
将③代入①得：3（5﹣2y）+4y＝11，
解得：y＝2，
将y＝2代入③得：x＝1，
∴x=1y=2；
（2）−4x−5＜2x+13①3x−25≤x2②，
解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤4，
∴﹣3＜x≤4．
18．【答案】87.6m．
【解答】解：连接PQ并延长交AB于C，则PC⊥AB，
∵∠ABQ＝30°，∠AQB＝105°，
∴∠QAB＝180°﹣∠ABQ﹣∠AQB＝45°＝90°﹣45°＝∠AQC，
∴QC＝AC，
设AC＝x m，则BC＝AB﹣AC＝60﹣x（m），
在Rt△AQC中，QC＝AC＝x m，
在Rt△QCB中，tan30°=CQBC=x60−x=33，
解得x=30(3−1)=21.9，
在Rt△ACP中，PC＝AC•tan∠PAB＝21.9×5＝109.5（m），
∴PQ＝PC﹣QC＝109.5﹣21.9＝87.6（m），
答：PQ的长度为87.6m．
19．【答案】（1）4，20；
（2）14.4°；
（3）见解析；
（4）192人．
【解答】解：（1）班级总人数为：10÷20%＝50，
∴a＝50﹣（2+14+20+10）＝4，
b＝50×40%＝20，
故答案为：4；20；
（2）2÷50×360°＝14.4°，
∴A组对应的圆心角的度数为14.4°，
故答案为：14.4°；
（3）补全条形统计图如下：
（4）2050×480=192（人），
∴估计八年级中分数在80分到90分的人数为192人．
20．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）k＝1；
（3）证明见解答过程．
【解答】（1）证明：在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥OB，DC⊥BC，
∴∠OBA＝∠BCD＝90°，
在△OBA和△BCD中，
OB=BC∠OBA=∠BCDBA=CD，
∴△OBA≌△BCD（SAS），
∴OA＝BD，∠AOB＝∠DBC，
∵OB＝BC，
∴∠AOB＝∠OCB，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OA∥BD，
∵OA＝BD，
∴四边形AOBD是平行四边形；
（2）解：∵四边形AOBD是平行四边形；
∴AD＝OB，AD∥OB，
延长DA交y轴于一点E，过点D作DF⊥x轴，如图：
∵AD∥OB，
∴∠OED＝180°﹣∠FOE＝90°，
∵DF⊥x轴，∠FOE＝90°，∠OED＝90°，
∴四边形OFDE是矩形，
同理，得证四边形OBAE是矩形，
∵点D在反比例函数y=2x的图象上，
∴矩形OFDE的面积是2，
∴ED＝OF，
∵AD＝OB，
∴AE＝BF，
即OB＝BF，
∴矩形OBAE的面积是1；
∵反比例函数y=kx的图象过点A．
∴k＝1；
（3）证明：依题意，反比例函数y=1x的图象过点A．
设A(a，1a)，
∴B（a，0），
∵四边形AOBD是平行四边形；
∴AD＝OB，AD∥OB，
∴点D的纵坐标为1a，
∵点D在反比例函数y=2x的图象上，
把y=1a代入y=2x，得1a=2x，
解得x＝2a，
∴D(2a，1a)，
∵点E是BD的中点，
∴E(32a，12a)，
设直线AE的解析式为y＝kx+b（k≠0），把E(32a，12a)，A(a，1a)分别代入，得：
12a=32ak+b1a=ak+b，
解得k=−1a2b=2a，
∴直线AE解析式为y=−1a2x+2a，
依题意，得y=1xy=−1a2x+2a，
∴1x=−1a2x+2a，
整理得1a2x2−2ax+1=0，
∴Δ=b2−4ac=(−2a)2−4×1a2×1=0，
∴直线AE与反比例函数y=kx的图象仅有一个交点，
∵反比例函数y=1x的图象过点A，
∴直线AE与反比例函数y=kx的图象仅有一个交点A．
21．【答案】（1）∠BCF＝45°；
（2）32．
【解答】解：（1）如图所示，连接AC，CO，OF，AF，BF，
设∠ACD＝α，∠ACE＝β，则∠DCE＝α+β，
由条件可知∠OEF＝∠DEC＝∠DCE＝α+β，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，则∠ACO+∠ACD＝90°，
又∵AB是直径，OC＝OB，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCB＝α，
又∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC＝90°﹣α﹣β，
在△OFE中，∠EOF＝180°﹣∠OFC﹣∠OEF＝180°﹣（90°﹣α﹣β）﹣（α+β）＝90°，
∴OF⊥AB，
又∵AB是直径，OA＝OB，
∴OF垂直平分AB，
∴FA＝FB，
∴△AFB是等腰直角三角形，
∴∠BCF＝∠BAF＝45°；
（2）如图所示，延长OG交AC于点H，
由条件可知∠ACG＝45°，
∵AG⊥CF，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴GC＝GA，
又∵OA＝OC，
∴OG垂直平分AC，则OH⊥AC，
∴H是AC的中点，
∴AH＝HC，
∴OH∥BC，OH=12BC=2，
∵OH＝2，OG=14BC=1，则HG＝1，
∴AC＝2HG＝2，
如图所示，延长CB至M使得BM＝AC，连接FM，
由条件可知∠FBC+∠CAF＝180°，
∴∠FBM＝∠CAF，
又∵FB＝AF，AC＝BM，
∴△ACF≌△BMF（SAS），
∴∠M＝∠ACF＝45°，BM＝AC＝2，
∴△FCM是等腰直角三角形，
∴FC=22CM=22(CB+BM)=22×(4+2)=32．
22．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
【拓展应用】证明见解答过程；∠BCM＝22.5°．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∵点E为AB中点，
∴CE=12AB=AE=BE，
∴∠ACE＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴AC=AE2+CE2=2CE，
∵EF=2CE，
∴EF＝AC，
∵过点B作AB的垂线BD（D在BC上方），E，F两点分别在AB，BD上，
∴∠EBF＝90°，
在Rt△AEC和Rt△FBE中，
CE=EBAC=FE，
∴Rt△AEC≌Rt△FBE（HL），
∴AE＝BF；
（2）如图2，将△AEC顺时针旋转90°，得△BHC，即点A与点B重合，点E的对应点是H点，连接EH，
∴CE＝CH，∠ECH＝90°，∠CBH＝∠A＝45°，AE＝HB，∠ACE＝∠HCB，
∴∠EBH＝∠CBH+∠CBA＝45°+45°＝90°，
即∠EBH＝∠EBF，
∴EH=CE2+CH2=2CE，
∵EF=2CE，
∴EF＝AC＝CH，
∵EB＝EB，
∴Rt△EFB≌Rt△EHB（HL），
∴BF＝HB，
∵AE＝HB，
∴AE＝BF；
【拓展应用】设∠CEB＝x，∠EFB＝y，

∵△EFB≌△EHB，
∴∠EHB＝∠EFB＝y，
由（2）得CE＝CH，∠ECH＝90°，∠ACE＝∠HCB，
∴∠CHE＝45°，
在△CBH中，∠HCB＝180°﹣∠CHE﹣y﹣∠HBC＝90°﹣y，
∴∠ACE＝∠HCB＝90°﹣y，
∴∠CEM＝x+90°﹣y，
∵过点B作AB的垂线BD（D在BC上方），E，F两点分别在AB，BD上，
∴∠EBF＝90°，∠FEB＝90°﹣y，
则∠CEB＝∠A+∠ACE＝45°+90°﹣y＝135°﹣y，
即x＝135°﹣y，
∴x+y＝135°．
∵CE＝EM，
∴∠ECM=12×(180°−∠CEM)=45°−12x+12y，
∴∠BCM＝∠ECB﹣∠ECM
=135°−x−(45°−12x+12y)
=90°−12x−12y
=90°−12(x+y)
=90°−12×135°
＝22.5°．
23．【答案】（1）0；
（2）11324；
（3）﹣4≤a＜0或0＜a≤4．
【解答】解：（1）∵抛物线M：y＝ax2+bx的顶点为A．且A点横坐标为1，
∴−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵点（2，t）在抛物线M上，
∴t＝4a+2b＝4a+2×（﹣2a）＝0，
∴t的值为0；
（2）如图2，设直线l分别交x轴、y轴于点B、C，过点A作AD⊥BC于点D，作AE∥y轴交直线l于点E，则∠ADE＝90°，
直线l：y=33x+1交x轴于点B，交y轴于点C，
当x＝0时，得：y＝1，
当y＝0时，得：33x+1＝0，
解得x=−3，
∴B(−3，0)，C（0，1），
∴BC=OB2+OA2=2，
∵a＝1，
∴y=ax2+bx=x2+bx=(x+b2)2−b24，
∴顶点A的坐标为(−b2，−b24)，
代入x=−b2到y=33x+1，得：y=33⋅(−b2)+1=1−36b，
∴E(−b2，1−36b)，
∴AE=1−36b−(−b24)=14b2−36b+1，
∵AE∥y轴，
∴∠DEA＝∠OCB，
又∵∠ADE＝∠BOC＝90°，
∴△ADE∽△BOC，
∴ADBO=AEBC，
∴AD=BOBC⋅AE=32(14b2−36b+1)=38(b−33)2+11324，
当b=33时，AD有最小值11324，
∴点A到直线l的距离最小值为11324；
（3）∵b=2−a2，
∴y=ax2+(2−a2)x，
令y＝0，则ax2+(2−a2)x=0，
解得：x1＝0，x2=12−2a，
当12−2a=0时，即a＝4，
此时y＝4x2，当0＜x＜1时y＞0，符合题意；
∴当a≠4时，抛物线与x轴的交点为（0，0）和(12−2a，0)，
下面分2种情况讨论：
①当a＞0时，抛物线开口向上，此时12−2a＜12＜1，
若12−2a＞0，则抛物线在0＜x＜12−2a的图象在x轴下方，不符合题意；
若12−2a＜0，即0＜a＜4，则抛物线在x＞0的图象y随着x的增大而增大，且满足y＝ax2+bx＞0，符合题意；
∴0＜a＜4；
②当a＜0时，抛物线开口向下，此时12−2a＞12＞0，
∴抛物线在0＜x＜12−2a的图象在x轴上方，
∵当0＜x＜1时y＝ax2+bx＞0，
∴12−2a≥1，
解得：﹣4≤a＜0；
∴综上所述，a的取值范围为﹣4≤a＜0或0＜a≤4．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/25 15:49:08；用户：陈庄镇中学；邮箱：czz001@xyh.cm；学号：62602464活动课题
测量河流两岸的宽度
活动工具
皮尺，激光笔
测量过程
【步骤一】在P，Q点处均竖立一光屏以便确定激光位置（PQ为南北方向）；
【步骤二】在河流的一岸的东西方向选取A和B两点，并且测得∠AQB＝105°，∠ABQ＝30°，∠PAB＝78.7°；用皮尺测得AB的长度60m．
解决问题
计算PQ的长度
组别
成绩m/分
频数
A
50＜m≤60
2
B
60＜m≤70
a
C
70＜m≤80
14
D
80＜m≤90
b
E
90＜m≤100
10
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B．
C
B
C
A
B
D
A
BB
Bb
Bb
bb
AA
（AA BB）
（AA Bb）
（AA Bb）
（AA bb）
Aa
（Aa BB）
（Aa Bb）
（Aa Bb）
（Aa bb）
Aa
（Aa BB）
（Aa Bb）
（Aa Bb）
（Aa bb）
aa
（aa BB）
（aa Bb）
（aa Bb）
（aa bb）