2025年广东省汕头市潮阳区中考数学一模试卷附答案

这是一份2025年广东省汕头市潮阳区中考数学一模试卷附答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）由DeepSeek开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内AI产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ）
A．0.2215×108B．2.215×107
C．2.215×106D．22.15×106
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a•a2＝a3B．a6÷a＝a6C．（x2）3＝x9D．2m+3n＝5mn
3．（3分）小华想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣7℃，最高气温为3℃，则该地这天的最高气温与最低气温的差为（ ）
A．﹣4℃B．﹣10℃C．4℃D．10℃
4．（3分）要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（ ）
A．1+3＝4B．﹣1+3＝2
C．0+3＝3D．﹣1+（﹣3）＝﹣4
5．（3分）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（ ）
A．59°B．62°C．69°D．72°
6．（3分）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I=UR）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为12，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
8．（3分）如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是（ ）
A．6B．8C．12D．24
9．（3分）正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP等于（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
10．（3分）如图所示，将形状和大小完全相同的“•”按一定规律摆成下列图形．第1幅图中“•”的个数为3，第2幅图中“•”的个数为8，第3幅图中“•”的个数为15，…，以此类推，第7幅图中“•”的个数为（ ）
A．35B．48C．56D．63
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知a﹣b＝﹣3，则2a2﹣4ab+2b2＝ ．
12．（3分）若点M（2m﹣1，1+m）关于y轴的对称点M'在第二象限，则m的取值范围是 ．
13．（3分）不等式组35x−3≤0−x＜5的整数解的和为 ．
14．（3分）如图，A（2，m），B（3，2）两点在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段OA，OB及反比例函数图象上A，B两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ．
15．（3分）如图，D是△ABC中BC上的中点，连接AD，BE是△ABD的中线，BE的延长线与AC交于点F，则S△ADFS△CDF= ．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．（7分）计算：sin60°−(3−π)0+4+(−13)−1．
17．（7分）先化简（x﹣1−3x+1）÷x2+4x+4x2+x，再从﹣2，﹣1，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值．
18．（7分）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，∠ACB＝60°．
（1）实践操作：利用尺规作∠DAC的平分线AM，交CD于点M．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段AM与CM的数量关系，并证明你的猜想．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，连接OC，交⊙O于点D，连接BD并延长，交线段AC于点E，CD2＝AC•EC．
（1）求证：∠CDE＝∠CAD．
（2）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
20．（9分）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个．
（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
21．（9分）在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形ABCD，在AC连线上有一地方性标志物E，据了解，修建该喷泉池时要求EC＝23AE，四边形ABCD为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，A在C的正西方，D在A的东北方向，且DA＝DC，B在E的正南方150米处，恰好又在A的南偏东30°方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，6≈2.449）
（1）求A、C之间的距离（结果保留根号）；
（2）小品和姐姐同时从A点出发，沿着不同的方向到C点汇合，其中小品沿着①：A→B→C的方向步行，姐姐沿着②A→D→C的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位）
五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（13分）【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝α，点D在边BC上．将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE、以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE＝α，连接AF．
【尝试探究】（1）如图1，当α＝60°时，易知AF＝BE；如图2，当α＝45°时，则AF与BE的数量关系为 ；
（2）如图3，请判断∠EBC与∠FAC的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图4，当α＝30°且点B，E、F三点共线时．若AF=23，BD=15BC，请求出CF的长．
23．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴直线x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，P为⊙B上一个动点，请求出PC+12PA的最小值．
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【答案】B．
【解答】解：22150000＝2.215×107．
故选：B．
2．【答案】A
【解答】解：A．a•a2＝a3，选项A符合题意；
B．a6÷a＝a5，选项B不符合题意；
C．（x2）3＝x6，选项C不符合题意；
D．2m+3n不是同类项，不能合并，选项D不符合题意；
故选：A．
3．【答案】D
【解答】解：3﹣（﹣7）＝3+7＝10（℃），
这天的最高气温与最低气温的差为10℃，
故选：D．
4．【答案】D
【解答】解：两个负数相加，和一定小于其中一个加数，如﹣1+（﹣3）＝﹣4，
故选：D．
5．【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝118°，
∴∠ABD=180°−118°2=31°，
∴∠CBE＝31°，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠CEB＝90°﹣31°＝59°．
故选：A．
6．【答案】D
【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I=UR），R、I均大于0，
∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，
故选：D．
7．【答案】D
【解答】解：∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，相似比为12，
∴点E的对应点E′的坐标为：（﹣4×12，2×12）或（﹣4×（−12），2×（−12）），
即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故选：D．
8．【答案】C
【解答】解：∵大正方形面积为32，小正方形的面积为8，
∴AB=32=42，BE=BD=8=22，
∴AE＝AB﹣BE=42−22=22，
∴阴影部分的面积
＝△ACE的面积+△AED的面积
=12AE⋅42+12AE⋅22
=12×22×42+12×22×22
＝8+4
＝12，
故选：C．
9．【答案】C
【解答】解：连接AC；
∵四边形ABCD是圆的内接正方形，
∴∠ACD＝45°；
而∠ABP＝∠ACP，则∠ABP+∠DCP＝∠ACD＝45°，
故选：C．
10．【答案】D
【解答】解：．第1幅图中“•”的个数为3，第2幅图中“•”的个数为8，第3幅图中“•”的个数为15，…，以此类推，
由题意可得，
第1幅图形中“●”的个数为3＝22﹣1，
第2幅图形中“●”的个数为8＝32﹣1，
第3幅图形中“●”的个数为15＝42﹣1，
由此可得第n幅图中，“●”的个数为（n+1）2﹣1
则第7幅图形中“●”的个数为82﹣1＝63，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【答案】18．
【解答】解：∵2a2﹣4ab+2b2＝2（a2﹣2ab+b2）
＝2（a﹣b）2，
∴当a﹣b＝3时，
原式＝2×32＝2×9＝18．
故答案为：18．
12．【答案】m＞12．
【解答】解：∵点M（2m﹣1，1+m）关于y轴的对称点M'，
∴点M'（﹣2m+1，1+m），
又∵点M'（﹣2m+1，1+m）在第二象限，
∴﹣2m+1＜0且1+m＞0，
解得m＞12，
故答案为：m＞12．
13．【答案】5．
【解答】解：35x−3≤0①−x＜5②
解①得x≤5，
解②得x＞﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5＜x≤5，
∴不等式组的整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
∴整数解的和为﹣4+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5＝5，
故答案为：5．
14．【答案】（1，1）和（2，2）．
【解答】解：∵A（2，m），B（3，2）两点在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，
∴k＝2m＝3×2，
∴k＝6，m＝3，
∴反比例函数为y=6x，A（2，3），
∵A（2，3），B（3，2），
∴直线OA为y1=32x，OB为y2=23x，
当x＝1时，y1=32，y2=23，
当x＝2时，y2=43，
∴线段OA，OB及反比例函数图象上A，B两点之间的部分围成的区域（不含边界）中整点有（1，1），（2，2）．
故答案为：（1，1）和（2，2）．
15．【答案】12．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵DH∥BF，D是△ABC中BC上的中点，
∴CD＝BD，
∴CHHF=CDBD，
∴CH＝HF，
∵DH∥BF，BE是△ABD的中线，
∴AE＝DE，
且AEDE=AFFH，
∴AF＝FH，
∴AF＝FH＝HC，
∴AF：FC＝1：2，
∴S△ADFS△CDF=12，
故答案为：12．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．【答案】32−2．
【解答】解：sin60°−(3−π)0+4+(−13)−1
=32−1+2+(−3)
=32−2．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式=x2−1−3x+1•x(x+1)(x+2)2
=x(x−2)x+2，
由题意x≠﹣1或0，或﹣2，
所以当x＝1时，原式=−13．
18．【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【解答】解：（1）如图，AM即为所求．
（2）AM＝CM．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝90°﹣60°＝30°．
∵AM是∠DAC的平分线，
∴∠CAM=12∠DAC=30°，
∴∠CAM＝∠ACM，
∴AM＝CM．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．【答案】（1）证明见解析；
（2）AC与⊙O相切，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵CD2＝AC•EC，
∴CDAC=CECD，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴∠CDE＝∠CAD；
（2）解：AC与⊙O相切，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵∠ODB＝∠CDE，∠CDE＝∠CAD，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠B+∠BAD＝90°，
∴BA⊥AC，
∴AC与⊙O相切．
20．【答案】（1）普通豆沙饼的单价是2元，蛋黄豆沙饼的单价是4元；
（2）当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元．
【解答】解：（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，根据题意，得
16002x−700x=50，
解得x＝2，
经检验，x＝2是所列方程的根，且符合题意，
∴2x＝2×2＝4，
答：普通豆沙饼的单价是2元，蛋黄豆沙饼的单价是4元；
（2）设售价定为t元，利润为y元，根据题意得，
y＝（t﹣4）[200−40−(t−6)2]＝﹣20（t﹣10）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当t＝10时，y的最大值是720，
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元．
21．【答案】（1）A、C之间的距离为(300+503)米；
（2）路线②更近．
【解答】解：（1）连接BE，
由题意得BE⊥AC，∠ABE＝30°，BE＝150米，
在Rt△ABE中，AB＝2AE，
∴AE2＝AB2﹣BE2，
∴AE2＝（2AE）2﹣1502，
解得AE=503，AB=1003，
∵EC=23AE，
∴EC=23×503=300（米），
∴AC＝AE+CE＝300+503（米）；
（2）∵D在A的东北方向，
∴∠DAC＝45°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴DA=DC=22AC=1502+256（米），
∴DA+DC=3002+506≈547（米），
在Rt△BCE中，BC=CE2+BE2=3002+1502=1505（米），
∴AB+BC=1003+1505≈509（米），
∵547＞509，
∴路线②更近．
五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分）
22．【答案】（1）BE=2AF；
（2）∠EBC＝∠FAC，理由见解析；
（3）6．
【解答】解：（1）当α＝45°时，△ABC和△FEC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠FCE＝45°，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵CECF=BCAC=2，
∴△ACF∽△BCE，
∴BEAF=CECF=2，
故答案为：BE=2AF；
（2）∠EBC＝∠FAC．
理由：如图1，
BE＝2AF•csα，理由如下：
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH=12BC，∠ABC＝∠ACB＝α，
∴csα=CHAC=12BCAC，
∴2csα=BCAC，
同理可得：2csα=CECF，
∴BCAC=CECF，
∵∠FCE＝∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCE，
∴△ACF∽△BCE，
∴∠EBC＝∠FAC；
（3）如图4，过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，
∴∠BMD＝∠H＝90°．
∴DM∥CH．
∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，
∴DB＝DE．
∴BM＝EM．
∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE＝30°，
∴FE＝FC，∠FEC＝∠FCE＝30°．
∴∠HFC＝∠FEC+∠FCE＝60°．
∴∠HCF＝180°﹣∠H﹣∠HFC＝30°．
∴FC＝2FH．
∵FE＝FC，
∴FE＝2FH．
设BM＝x，则BE＝2x，
∵DM∥CH，
∴BMBH=BDBC=15，
∴BH＝5BM＝5x．
∴EH＝BH﹣BE＝3x．
∵FE＝2FH，
∴FE＝FC＝2x，
∵△ACF∽△BCE，
∴BEAF=BCAC=2csα，
∴BE＝2csαAF，
∴BE＝2×32×23=6，
∴2x＝6，
∴x＝3，
∴CF＝6．
23．【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；
（2）点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；
（3）41．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝3，AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5）＝ax2+bx+5，
则a＝1，
故抛物线的解析式为：y＝x2﹣6x+5；
（2）∵直线AD：y＝kx﹣1经过点A（1，0），
∴得k﹣1＝0，解得k＝1，
∴直线AD的解析式为：y＝x﹣1，
∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴直线x＝3与x轴交于点E，
∴当x＝3时，y＝x﹣1＝2，
∴D（3，2）．
设M（x，y），则AD2＝（3﹣1）2+22＝8，AM2＝（x﹣1）2+y2，
DM2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2，
①当∠DAM＝90°时，由AD2+AM2＝DM2，得8+（x﹣1）2+y2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2，化简得y＝﹣x+1．
联立y=−x+1y=x2−6x+5．
解得x=1y=0或x=4y=−3，
∴点M的坐标为（4，﹣3），
②当∠ADM＝90°时，AD2+DM2＝AM2，
同理可求得点M的坐标为（0，5）或（5，0），
综上所述，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；
（3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，PF，PB．
∵PB＝2，∴BFPB=12，
∵PBAB=24=12，
∴FBPB=PBAB．
∵∠PBF＝∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
∴FPPA=FBPB=12，即PF=12PA，
∴PC+12PA＝PC+PF≥CF，
∴当点C，P，F三点共线时，PC+12PA的值最小，即为线段CF的长．
∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，
∴CF=OC2+OF2=52+42=41，
∴PC+12PA的最小值为41．
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B．
A
D
D
A
D
D
C
C
D