2023年广东省揭阳市普宁市中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省揭阳市普宁市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  式子的意义是(    )

A. 的平方 B. 的平方
C. 的平方的相反数 D. 的平方的相反数

2.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，已知直线，，，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，正方形中，，点在边上，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  观察图形并判断照此规律从左到右第四个图形是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列问题中，变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )

A. 圆的面积与圆的半径
B. 汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间
C. 小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间
D. 三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高
 

9.  如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；连接，，，过点作于点，于点则以下结论错误的是(    )

A. 是等边三角形 B.
C. ≌ D. 四边形是菱形

10.  在平面直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，已知点，，连接，则下列说法错误的是(    )

A. 点可能在反比例函数的图象上
B. 直线与反比例函数的图象必有一个交点
C. 的值不可能为
D. 在反比例函数图象的一个分支上，可能存在随的增大而减小

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  “嫦娥三号”在月球着陆地点为虹湾，这是月球上最美丽的地标之一，它其实是一个直径达米的巨型陨石坑壁虹湾的直径用科学记数法表示为______ 米

12.  方程的根为          ．

13.  如图，是的中位线，，则        ．

14.  若，则代数式的值为          ．

15.  如图，在等边三角形中，，为上一点与点、不重合，连接，以、为邻边作平行四边形，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
已知关于、的方程组根据要求，解答下列问题：
当时，解这个方程组；
若此方程组的解也是方程的一个解，则 ______ ．

18.  本小题分
如图，四边形中，点、是对角线上的两点，且．
若四边形是平行四边形，求证：四边形是平行四边形．
若四边形是矩形，试判断四边形是否为矩形，并说明理由．

19.  本小题分
某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．

表中 ______ ， ______ ；
请补全频数分布直方图；
若某班恰有名女生和名男生的初赛成绩均为分，从这名学生中随机选取名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

20.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求该抛物线的解析式；
若点是抛物线的对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长．

21.  本小题分
随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机某自行车行经营、两种型号的自行车．
该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，求型车最少进货多少辆？
若该车行经营的型自行车去年销售总额为万元今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求型自行车今年每辆售价多少元？

22.  本小题分
如图，是的直径，、是上两点，且为弧中点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接．
求证：是的切线；
若，的半径为，求阴影部分的面积；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，在中，，，动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为
当点在边上时，的长为______用含的代数式表示
当点落在边上时，求的值．
求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的意义为的平方的相反数．
故选：．
根据乘方的意义和相反数的定义进行判断．
本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数．读作的次方．也考查了相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A选项错误；
B、，故B选项正确；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误，
故选：．
根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式的应用，主要考查学生的计算能力．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
由，，可以得出，根据平行线的性质可得，由，可以计算的度数．
本题考查了平行线的判定和性质．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
表示在数轴上如图：
故选：．
求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．
本题主要考查解不等式得基本能力及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：在正方形中，
，，
，
，
，
故选：．
根据正方形的性质得到，，利用勾股定理求出，再利用正弦的定义计算即可．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，正弦的定义，解题的关键是掌握直角三角形中锐角的正弦值为对边与斜边之比．
 

6.【答案】 

【解析】原式通分后并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
解：原式，
故选：．

本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察图形可知：单独涂黑的角顺时针旋转，只有符合．
故选：．
根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项．
本题考查学生根据图形，归纳、发现并运用规律的能力．注意结合图形解题的思想．
 

8.【答案】 

【解析】A.圆的面积与圆的半径的函数关系式为，
，
该函数图象的开口应朝上，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
B.设汽车的速度为为常数，
则汽车行驶的距离与行驶的时间之间的函数关系式为为常数，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
C.小明打篮球投篮时，关于的函数图象是开口朝下的抛物线的一段，且经过轴的正半轴，对称轴在轴右侧，
变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意；
D.设三角形的面积为为常数，
则，
为常数，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意．
故选：．
根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
本题考查了函数的图象，解题关键在于根据每个选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，
，
，
是等边三角形，
的结论正确，不符合题意；
分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，
，
在和中，
，
≌，
．
，，
．
的结论正确，不符合题意；
，，
．
在和中，
，
≌．
的结论正确，不符合题意；
由作图过程可知：与不一定相等，
四边形是菱形不成立，
的结论错误，符合题意，
故选：．
利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判定定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，基本作图和菱形的判定定理，利用基本作图的过程得出线段相等的条件是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点是反比例函数的图象上一点，
，且，
把点在反比例函数的图象上，可得：，
，
，
，点的坐标为，
点可能在反比例函数的图象上，不符合题意；
当，直线在轴上，与反比例函数的图象没有交点，符合题意；
，即，
即，不符合题意；
当即时，，反比例函数图象的的两个分支分别位于第一、三象限，在每个分支上随的增大而减小，不符合题意，
故选：．
根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．
本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】， 

【解析】

【分析】
根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
本题考查直接开平方法解一元二次方程．
【解答】
解：，
，
则，．
故答案为，．  

13.【答案】 

【解析】解：是的中位线
，
∽
：：
又，则．
故答案为：．
是的中位线，可得，可得∽，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出．
本题考查三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
由，可得，代入所求代数式求值即可．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：  

15.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，连接，

四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，，
，，
，
，
当时，此时有最小值，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，当时，此时有最小值，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先化简绝对值，负指数幂，二次根式以及三角函数值，再算乘除，最后计算加减法．
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：当时，原方程组为，
得，，
把代入得，，
方程组的解为；
由已知得，方程组，
解得：，
代入，
得，
解得：．
把代入方程组，解方程组即可；
把和组成方程组解出和，再代入原方程可得的值．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
 

18.【答案】证明：如图，连接交于点．

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形不是矩形，理由如下：
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，不是矩形． 

【解析】元平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
由矩形的性质得，，，再证，，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

19.【答案】   

【解析】解：由题意得：，，
故答案为：，；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
由抽取的人数减去其它三个组的频数得出的值，再由频率的定义求出即可；
由中的值，补全频数分布直方图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：将，代入，
得：，
解得：，
该抛物线的解析式为；
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线．
当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为，
． 

【解析】根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，结合点的坐标，即可求出线段的长．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标．
 

21.【答案】解：设型车最少进货辆，
由题意可得：，
解得：，
型车最少进货辆；
设型自行车去年每辆售价元，
由题意可得：，
解得，
经检验，是分式方程的根，
所以今年的售价为元．
答：今年型车每辆售价为元． 

【解析】设型车最少进货辆，根据型车的进货数量不超过型车数量的两倍，列出不等式，解之即可；
设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由该型车的销售数量与去年相同可得方程，解之即可求出结果．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式．
 

22.【答案】证明：连接，

，
，
为弧中点，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
，
，
在中，，
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积


，
阴影部分的面积为；
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，根据垂直定义可得，再根据等弧所对的圆周角相等可得，从而利用角平分线和平行证明，然后利用平行线的性质求出，即可解答；
根据圆周角定理可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据阴影部分的面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答；
根据平行线的性质可得，从而可得，进而求出的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后证明字模型相似三角形∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，切线的判定与性质，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键．
 

23.【答案】

． 

【解析】解：作于点，

在中，，
，
，
，
，
点为中点，
，
故答案为：
如图，

，
，
，
为等边三角形，
，即，
，
解得．
当时，作于点，

，，
，
，
．
当时，，交于点，，

，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
当时，重叠图形为等边三角形，

，
．
综上所述，．
作于点，由含角的直角三角形可得的长度，再由等腰三角形的性质可得的长度．
作出点落在边上的图象，由求解．
分类讨论，，并作出图象求解．
本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．