2024年广东省揭阳市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省揭阳市中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−3的绝对值是( )
A. 3B. 13C. −13D. −3
2.在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是( )
A. B. C. D.
3.式子(−ab)4⋅a2化简后的结果是( )
A. a2b4B. a6b4C. a8b4D. a16b4
4.如图所示，直线a/​/b，∠2=31°，∠A=28°，则∠1=( )
A. 61°
B. 60°
C. 59°
D. 58°
5.如图，点B、F、C、E都在一条直线上，AC=DF，BC=EF.添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是( )
A. ∠A=∠D=90°
B. ∠ACB=∠DFE
C. ∠B=∠E
D. AB=DE
6.《生日歌》是我们熟悉的歌曲，以下是摘自生日歌简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是( )
A. 1B. 2C. 5D. 6
7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD.若∠BAC=28°，则∠D的度数是( )
A. 56°
B. 58°
C. 60°
D. 62°
8.某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程( )
A. 50(1+x)2=132B. (50+x)2=132
C. 50(1+x)+50(1+x)2=132D. 50(1+x)+50(1+2x)2=132
9.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与y=x+2的图象相交于点M(m,4)，则关于x的一元一次不等式kx−2A. x>4
B. x<4
C. x>2
D. x<2
10.如图，在等边三角形ABC中，BC=4，在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠F=30°，DE=4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.数据60600用科学记数法表示应为______．
12.点p(2,4)关于原点的对称点Q的坐标为______．
13.计算：(2− 3)(2+ 3)+ 12× 3= ______．
14.一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是______．
15.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧.若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______．
16.如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点(不与B、C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且csα=45，则线段CE的最大值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(−1)2024+(13)−2+tan60°− 27+1．
18.(本小题6分)
计算：(1a+3+1a2−9)÷a−22a+6．
19.(本小题8分)
劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观.某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图.根据题中已有信息，解答下列问题：
(1)m= ______，a= ______；
(2)若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
(3)劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是二名女生的概率．
20.(本小题8分)
我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价；
(2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
21.(本小题10分)
如图，一次函数y=−x+5的图象与函数y=nx(n>0,x>0)的图象交于点A(4,a)和点B．
(1)求n的值；
(2)若x>0，根据图象直接写出当−x+5>nx时x的取值范围；
(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交函数y=nx的图象于点Q，若△POQ的面积为1，求点P的坐标．
22.(本小题10分)
有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度OQ=8m，顶点P的高度为4m，建立如图所示平面直角坐标系.现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框ABCD(点B，C在抛物线上，边AD在地面上)，针对窗框的安装设计师给出了两种设计方案如图：
方案一：在门框的两边加装两个矩形窗框(点G，H在抛物线上)，AE=DF=1m；
方案二：在门框的上方加装一个矩形的窗框(点G，H在抛物线上)，BE=CF=1m．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若要求门框AB的高度为3m，判断哪种方案透光面积(窗框和门框的面积和)较大？(窗框与门框的宽度忽略不计)
23.(本小题12分)
已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)求证：CE2=EH⋅EA；
(3)若⊙O的半径为10，csA=45，求BH的长．
24.(本小题12分)
已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB/​/CD，CD>AB，点C在EB上，∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，延长DC交EF于点M.点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s.过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G.设运动时间为t(s)(0解答下列问题：
(1)当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？
(2)连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；
(3)连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；
(4)点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【解答】
解：−3的绝对值是3．
故选：A．
【分析】
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2.【答案】C
【解析】解：球体的三视图都相同，都是圆形，
故选：C．
根据主视图、左视图、俯视图的画法画出相应的图形，进行判断即可；
考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
3.【答案】B
【解析】解：原式=a4b4⋅a2
=(a4⋅a2)⋅b4
=a6b4，
故选：B．
先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式乘单项式法则进行计算即可．
本题主要考查了单项式乘单项式，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则、幂的乘方法则和积的乘方法则．
4.【答案】C
【解析】解：∵a/​/b，
∴∠1=∠DBC，
∵∠DBC=∠A+∠2，
=28°+31°
=59°．
故选：C．
根据三角形外角的性质∠DBC=∠A+∠2，欲求∠1，需求∠DBC.根据平行线的性质，由a/​/b，得∠1=∠DBC，从而解决此题．
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、∵∠A=∠D=90°，AC=DF，BC=EF，根据HL能判定Rt△ABC≌Rt△DEF，故不符合题意；
B、∵∠ACB=∠DFE，AC=DF，BC=EF，根据SAS能判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；
C、∵AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，不能判定△ABC≌△DEF，故符合题意；
D、∵AC=DF，BC=EF，AB=DE，根据SSS能判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；
故选：C．
根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：当中出现的音符从低到高排列：1、1、2、5、5、5、5、5、5、6、6、7，
因此中位数为5+52=5，
故选：C．
将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
此题考查了中位数的求法，正确理解中位数的意义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=28°，
∴∠B=90°−∠BAC=62°，
∴∠B=∠D=62°，
故选：D．
连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B=62°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意得：明年生产零件为50(1+x)(万个)；后年生产零件为50(1+x)2(万个)，
则x满足的方程是50(1+x)+50(1+x)2=146，
故选：C．
根据增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，列出方程即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
9.【答案】C
【解析】解：把M(m,4)代入y=x+2，得m+2=4，
解得m=2，
则M(2,4)，
∵kx−2∴kx+b由图象得关于x的不等式kx+b2．
即关于x的一元一次不等式kx−22．
故选：C．
先利用解析式y=x+2确定M点坐标，然后结合函数图象写出y=kx+b在y=x+2下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10.【答案】A
【解析】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，
在等边△ABC中，∠ACB=60°，
在Rt△DEF中，∠F=30°，
∴∠FED=60°，
∴∠ACB=∠FED，
∴AC/​/EF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=2，AM= 3BM=2 3，
∴S△ABC=12BC⋅AM=4 3，
①当0由题意可得CD=x，DG= 3x
∴S=12CD⋅DG= 32x2；
②当2由题意可得：CD=x，则BC=4−x，DG= 3(4−x)，
∴S=S△ABC−S△BDG=4 3−12×(4−x)× 3(4−x)，
∴S=− 32x2+4 3x−4 3=− 32(x−4)2+4 3，
③当4此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，
由题意可得CD=x，则CE=x−4，DB=x−4，
∴BE=x−(x−4)−(x−4)=8−x，
∴BM=4−12x
在Rt△BGM中，GM= 3(4−12x)，
∴S=12BE⋅GM=12(8−x)× 3(4−12x)，
∴S= 34(x−8)2，
综上，选项A的图像符合题意，
故选：A．
分0本题考查二次函数图像的动点问题，掌握二次函数的图象性质，理解题意，准确识图，利用分类讨论思想解题是关键．
11.【答案】6.06×104
【解析】解：数据60600用科学记数法表示应为6.06×104．
故答案为：6.06×104．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】(−2,−4)
【解析】解：点p(2,4)关于原点的对称点Q的坐标为(−2,−4)．
故答案为：(−2,−4)．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13.【答案】7
【解析】解：(2− 3)(2+ 3)+ 12× 3
=4−3+ 36
=1+6
=7．
先算乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及平方差公式，熟知二次根式混合运算的顺序是解题的关键．
14.【答案】六
【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6，
∴这个多边形为六边形．
故答案为：六．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
15.【答案】3π
【解析】解：如图，△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴AB的长=BC的长=AC的长=60π×3180=π，
∴这个“莱洛三角形”的周长是3π．
故答案为：3π．
弧长的计算公式：l=nπr180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r)，由此即可求解．
本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是掌握弧长的计算公式．
16.【答案】6.4
【解析】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB=AC，
∴BG=CG，
∵∠ADE=∠B=α，
∴csB=csα=BGAB=45，
∴BG=45×10=8，
∴BC=2BG=16，
设BD=x，则CD=16−x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即α+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴ABCD=BDCE，即1016−x=xCE，
∴CE=−110x2+85x
=−110(x−8)2+6.4，
当x=8时，CE最大，最大值为6.4．
作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG=CG，再利用余弦的定义计算出BG=8，则BC=2BG=16，设BD=x，则CD=16−x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE=−110x2+85x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了二次函数的应用，锐角三角函数的定义．
17.【答案】解：(−1)2024+(13)−2+tan60°− 27+1
=1+9+ 3−3 3+1
=11−2 3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：原式=[a−3(a+3)(a−3)+1(a+3)(a−3)]⋅2(a+3)a−2
=a−2(a+3)(a−3)⋅2(a+3)a−2
=2a−3．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】80 22
【解析】解：(1)由题意，m=12÷15%=80，a=80−12−26−16−4=22，
故答案为：80，22；
(2)640×16+480=160(人)，
答：估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有160人；
(3)画树状图，如图：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是两名女生的有2种，
∴抽取的2名学生恰好是二名女生的的概率为212=16．
(1)根据劳动时间在0.5≤t<1范围的频数除以其所占的百分比求解m值，再用m值减去其他劳动范围内的频数可求解a值；
(2)用该校总人数乘以样本中劳动时间在2≤t≤3范围所占的比例求解即可；
(3)画树状图得到所有的等可能的结果，再找出满足条件的结果，进而利用概率公式求解即可．
本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率，读懂题意是解答的关键．
20.【答案】解：(1)设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得：x+2y=402x+3y=70，
解得x=20y=10，
答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．
(2)设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品(60−m)件，设购买两种奖品的总费用为w，
∵购买甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，
∴m≥12(60−m)，
∴m≥20．
依题意，得：w=20m+10(60−m)=10m+600，
∵10>0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是800元．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式．
(1)设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品(60−m)件，设购买两种奖品的总费用为w，由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+5的图象与过点A(4,a)，
∴a=−4+5=1，
∴点A(4,1)，
∵点A在反比例函数y=nx(n>0,x>0)的图象上，
∴n=4×1=4；
(2)由y=−x+5y=4x，解得x=1y=4或x=4y=1，
∴B(1,4)，
∴若x>0，当−x+5>nx时x的取值范围是1(3)设P(x,−x+5)，则Q(x,4x)，
∴PQ=−x+5−4x，
∵△POQ的面积为1，
∴12PQ⋅OM=1，即12x⋅(−x+5−4x)=1，
整理得x2−5x+6=0，
解得x=2或3，
∴P点的坐标为(2,3)或(3,2)．
【解析】(1)根据一次函数解析式求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得n的值；
(2)解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，然后根据图象求得即可；
(3)设P(x,−x+5)，则Q(x,4x)，得到PQ=−x+5−4x，由△POQ的面积为1即可求得x的值，从而求得点P的坐标．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系以及三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意可知，抛物线的顶点P的坐标(4,4)，
设所求抛物线的解析式为y=a(x−4)2+4，
把(0,0)代入解析式中，得0=a(0−4)2+4，
解得：a=−14，
所以该抛物线的表达式为y=−14(x−4)2+4．
(2)当y=3时，
即3=−14(x−4)2+4，
解得：x1=2，x2=6，
所以点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(2,3)，BC=4(m)，
方案一：
EF=BC−BE−CF=2m，
∵AE=DF=1m，
∴点E的坐标为(1,0)，
∴点G的横坐标为1，
当x=1时，
y=−14(1−4)2+4=74，
∴EG=74，
∴SAEGI=SFDNH=74×1=74(m2)，
∴SAEGI+SFDNH=74×2=72(m2)；
方案二：
∵BE=CF=1m，
∴点E的坐标为(3,3)，
∴点G的横坐标为3，
当x=3时，
y=−14(3−4)2+4=154，
∴EG=154−3=34(m)，
∴S矩形EGFH=EF×GE=2×34=32(m2)，
∵72>32，
∴方案一透光面积较大．
【解析】(1)由题意可知，抛物线的顶点P的坐标(4,4)，设所求抛物线的解析式为y=a(x−4)2+4，把(0,0)代入解析式中即可得出答案；
(2)将y=3代入解析式求出A、B两点的坐标，再根据已知条件分别求出方案一和方案二中小矩形的长和宽，求出面积比较即可．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据点的坐标求出小矩形的边长．
23.【答案】(1)证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；
(2)证明：连接AC，如图所示，

∵OF⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴CEEA=EHCE，
∴CE2=EH⋅EA；
(3)解：连接BE，如图所示，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为10，csA=45，
∴AB=20，EA=AB⋅csA=20×45=16，
∴BE= AB2−EA2= 202−162=12，
∵BE=CE，
∴BE=CE=12，
∵CE2=EH⋅EA，
∴EH=12216=9，
在Rt△BEH中，BH= BE2+EH2= 122+92=15．
【解析】(1)由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；
(2)连接AC，由垂径定理得出BE=CE，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例CEEA=EHCE，即可得出结论；
(3)连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=12，由(2)的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．
本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)(3)中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．
24.【答案】解：(1)∵AB/​/CD，
∴CMBF=CEBE，
∴8−68=CM6，
∴CM=32，
∵点M在线段CQ的垂直平分线上，
∴CM=MQ，
∴1×t=32，
∴t=32；
(2)如图1，
∵∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，
∴AC= AB2+BC2= 64+36=10cm，
EF= BF2+BE2= 64+36=10cm，
由(1)得△ECM∽△EBF，
∴EMEF=ECEB，即EM10=8−68，
解得EM=52cm，
∵sin∠PAH=sin∠CAB，
∴BCAC=PHAP，
∴610=PH2t，
∴PH=65t，
同理可求QN=6−45t，
∵四边形PQNH是矩形，
∴PH=NQ，
∴6−45t=65t，
∴t=3；
∴当t=3时，四边形PQNH为矩形；
(3)如图2，过点Q作QN⊥AF于点N，
由(2)可知QN=6−45t，
∵cs∠PAH=cs∠CAB，
∴AHAP=ABAC，
∴AH2t=810，
∴AH=85t，
∵四边形QCGH的面积为S=S梯形GMFH−S△CMQ−S△HFQ，
∴S=12×6×(8−85t+6+8−85t+32)−12×32×[6−(6−45t)]−12×(6−45t)(8−85t+6)=−1625t2+15t+572；
(4)存在，
理由如下：如图3，连接PF，延长AC交EF于K，
∵AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，AC=EF=10cm，
∴△ABC≌△EBF(SSS)，
∴∠E=∠CAB，
又∵∠ACB=∠ECK，
∴∠ABC=∠EKC=90°，
∵S△CEM=12×EC×CM=12×EM×CK，
∴CK=2×3252=65，
∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，
∴PH=PK，
∴65t=10−2t+65，
∴t=72，
∴当t=72时，使点P在∠AFE的平分线上．
【解析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，列函数关系式，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
(1)由平行线分线段成比例可得CMBF=CEBE，可求CM的长，由线段垂直平分线的性质可得CM=MQ，即可求解；
(2)利用锐角三角函数分别求出PH=65t，QN=6−45t，由矩形的性质可求解；
(3)利用面积的和差关系可得S=S梯形GMFH−S△CMQ−S△HFQ，即可求解；
(4)连接PF，延长AC交EF于K，由“SSS”可证△ABC≌△EBF，可得∠E=∠CAB，可证∠ABC=∠EKC=90°，由面积法可求CK的长，由角平分线的性质可求解．劳动时间t(单位：小时)
频数
0.5≤t<1
12
1≤t<1.5
a
1.5≤t<2
26
2≤t<2.5
16
2.5≤t≤3
4