2023年广东省揭阳市中考数学一模试卷

2023年广东省揭阳市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算中，结果小于的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  据统计，年考研报名人数约有万，创下历史新高，把万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，将图形用放大镜放大，应该属于(    )

A. 平移变换
B. 相似变换
C. 旋转变换
D. 对称变换

4.  小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级名同学，在近个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  不等式组的解集，在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点是矩形的对角线的中点，点为的中点若，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙墙长，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在四边形中，，，，动点沿路径从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为设点运动的时间为单位：，的面积为，则关于的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知，同时满足与，则的值是______．

12.  一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是______ ．

13.  正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数是______ ．

14.  如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则______．

15.  如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域图中阴影部分的面积为______结果保留


 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简再求值：，其中．

18.  本小题分
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了个活动小组每位学生只能参加一个活动小组：音乐；体育；美术；阅读；人工智能为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机抽取了______ 名学生；
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
扇形统计图中圆心角 ______ 度；
若该校有名学生，估计该校参加组阅读的学生人数；
学校计划从组人工智能的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．

19.  本小题分
为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，天心区某学校八年级一班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．在某百货店用元购买甲种品牌奖品的数量比购买乙种品牌奖品的数量多件，已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的倍．
求甲、乙两种品牌奖品的销售单价各是多少元？
若该学校八年级二班班主任在该百货店共需购买甲、乙两种品牌的奖品共件，且总购买金额不超过元，求甲种品牌奖品的数量至少是多少件？

20.  本小题分
如图，在▱中，对角线，交于点，是上一点，连接并延长，交于点连接，，平分．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
 

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点，已知点坐标是，．
求一次函数与反比例函数的解析式；
求的面积．

22.  本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．
求抛物线的表达式；
在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：．
根据有理数的乘法，有理数的加法，有理数的减法运算，逐项判断即可求解．
本题主要考查了有理数的乘法，有理数的加法，有理数的减法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：．
根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
 

4.【答案】 

【解析】解：中位数为第个和第个的平均数，众数为．
故选：．
利用中位数，众数的定义即可解决问题．
本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握中位数和众数的概念．
 

5.【答案】 

【解析】解：由作图可知，平分，
，
故选项A正确，不符合题意；
B.由作图可知，是的垂直平分线，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
C.，，
，
，
，
故选项C正确，不符合题意；
D.，，
；
故选项D错误，符合题意．
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
本题考查了尺规作图作角的平分线及线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
 

6.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据幂的乘方判断选项；根据平方差公式判断选项；根据同底数幂的除法判断选项．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，平方差公式，同底数幂的除法，掌握是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：解不等式组
由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点是矩形对角线的中点，点为中点，
，，，，
在中，，
在中，，
，
则的周长为：，
故选：．
根据题意可得是的中位线，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，再根据直角三角形的性质可求得，从而求出的周长．
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
 

9.【答案】 

【解析】解：竹篱笆的总长为，鸡场垂直于墙的一边为，
鸡场平行于墙的一边为．
根据题意得：．
故选：．
根据各边之间的关系，可得出鸡场平行于墙的一边为，根据长方形鸡场的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点在上运动时，
，，
：：：：，
，
，，
，图象为二次函数；
且当时，；故B，，不正确；则A正确；
当点在上运动时，如下图，过点作于点，

，，
，，
，
，
，
，为一次函数；
且当时，；
当点在上运动时，

此时，，
，
，
；
故选：．
分别求出点在上运动、点在上运动、点在上运动时的函数表达式，进而求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
观察已知和所求可知，，将代数式的值代入即可得出结论．
本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为密码由四个数字组成，如百位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是，则个位上的数字即有可能是中的一个，要试次，同样，假设十位上的数字是，则个位上的数字即有可能是中的一个，也要试次，依此类推，要打开该锁需要试次，而其中只有一次可以打开，所以一次就能打开该锁的概率是；
故答案为：．
计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开．利用概率公式进行求解即可．
本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形的计算，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是度，用度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
【解答】

解：由题意可得：
边数为，
则它的边数是．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：如图，设直线与轴交于点，

由反比例函数比例系数的几何意义可知，
，
，
，
，
．
故答案为：．
应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．
根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】
解：，是绕圆心逆时针旋转得到的，
，，
，，
，
，
，，
由勾股定理得，
，
，
阴影部分面积；
故答案为  

16.【答案】解：原式

． 

【解析】根据实数的运算法则结合二次根式、负整数指数幂、零指数幂、三角函数值计算可得．
本题主要考查实数的运算能力，熟练掌握实数的运算法则是关键．
 

17.【答案】解：原式


，
当 时，
原式． 

【解析】先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】调查人数：名，
故答案为：；
组的人数：名，
组的人数：名，

扇形统计图中圆心角，
故答案为：，
，
答：参加组阅读的学生人数为人；
树状图如下：

共有中等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的有两种，
恰好抽中甲、乙两人．
由组的人数除以所占百分比即可；
求出、组的人数，补全条形统计图即可；
由乘以组所占的比例即可；
由该校共有学生人数乘以参加组阅读的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的概率及其应用，掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

19.【答案】解：设甲种品牌奖品的销售单价是元，则乙种品牌奖品的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：甲种品牌奖品的销售单价是元，乙种品牌奖品的销售单价是元；
设购买甲种品牌奖品件，则购买乙种品牌奖品件，
，
解得：，
答：甲种品牌奖品的数量至少是件． 

【解析】设甲种品牌奖品的销售单价是元，则乙种品牌奖品的销售单价是元，由题意：在某百货店用元购买甲种品牌奖品的数量比购买乙种品牌奖品的数量多件，列出分式方程，解方程即可；
设购买甲种品牌奖品件，则购买乙种品牌奖品件，由题意：总购买金额不超过元，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
平分，
，
，
，
四边形是菱形；
解：由得：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
四边形的面积． 

【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
由“”证≌，得，证出四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
由含角的直角三角形的性质得出，则，由菱形面积公式即可得出答案．
 

21.【答案】解：如图，过点作轴于，则轴，
，，

∽，
，
，
，
，
，
点坐标是，
，
，
，
将，的坐标代入得，
，
解得，，
一次函数的解析式为．
把代入反比例函数，
得，
反比例函数的解析式为．
联立方程组，
得，
解得，，，
，
，
如图所示，过点作轴于，则，，
在中令，
得，
，
即．
，
，
． 

【解析】如图，过点作轴于，则轴，推证∽，所以 进而求得；由点坐标，得，，所以；待定系数法确定函数解解析式；
联立方程组，求得；如图所示，过点作轴于，则，；用组合图形思路求面积．
本题考查待定相似三角形的判定和性质、待定系数法确定函数解析式、函数图象与方程组的联系及直角坐标系求三角形的面积；利用解析式确定点的坐标，进而求出坐标系内线段的长度是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，

是直径，
，
又，
，，
，，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
，
，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
；
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，

，
． 

【解析】如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，，由三角形中位线定理可得，可证，可得结论；
通过证明∽，可得，可得结论；
由等腰三角形的性质可得，由锐角三角函数可求，由勾股定理可求，由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质可求线段的长度是本题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线经过点，，
则 ，
解得：，
抛物线表达式为；

在中令，得，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
如图，过点作轴，垂足为，则是等腰直角三角形，

由题意可知，
，即，
又，
，



，
当、其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
，
，
当时，四边形的面积取得最小值；

存在，理由如下：
如图，连接、，过点作轴于点，过作，交点于点，则．

是等腰直角三角形，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
又，
点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得或舍去，
，
点的坐标为． 

【解析】利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
先求出点，则，进一步得到是等腰直角三角形，则，如图，过点作轴，垂足为，则是等腰直角三角形，由题意可知，则，即，又得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案；
连接、，过点作轴于点，过作，交点于点，则先证明≌，则，，则，又，得到点的坐标为，由点在上，则，解方程即可得到答案．
本题考查了二次函数和三角形综合题，用到了待定系数法、全等三角形的判定和性质、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，添加适当的辅助线是解决问题的关键．