2022年广东省揭阳市中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省揭阳市中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

2. 新型冠状病毒也叫，该病毒比细胞小得多，大小约为纳米，即为米，约为一根头发丝直径的千分之一，数据米用科学记数法表示为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3. 如图，直线，射线与直线相交于点，过点作于点，已知，则的度数为
    

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在中，，、分别是、的中点，在的延长线上，，，，则四边形的周长为

A.
B.
C.
D.

6. 方程，当时，的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在正方体中，沿对角线和顶点所在的平面截出几何体，则这个几何体的展开图可能是

A.
B.
C.
D.

8. 已知二次函数的顶点为，那么关于的一元二次方程的根的情况是

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

9. 为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，小时运转，该条生产线计划加工万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的倍生产，结果比原计划提前天完成任务，设原计划每天生产万支疫苗，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

10. 如图，是的直径，的平分线交于点，连接，，给出下列四个结论：；是等腰直角三角形；；，其中正确的结论是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 数据：、、、、、的中位数是______．
12. 分解因式：______．
13. 抛物线关于轴对称的抛物线的解析式是______．
14. 不等式组的解集是______．
15. 如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形叫做莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积即阴影部分面积为______．
     

16. 如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，为折痕，若，则的值为______．
17. 如图，定长弦在以为直径的上滑动点、与点、不重合，是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是______．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18. 小明用下面的方法求出方程的解，

请你仿照他的方法求出下面方程的解，并写出你的解答过程．
解方程：．






 

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，已知点、在线段上，且，，
    作图：在上方作射线，使，交的延长线于点用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法；
    在的条件下，求证：．

20. 年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为、，正面印有雪容融图案的卡片记为，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．
    从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是______；
    请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．

21. 如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．
    求证：四边形为平行四边形．
    若，，且，则的长为______．

22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，是的中点，过点的反比例函数图象交于点，连接若，．
    求过点的反比例函数的解析式；
    求的面积；
    轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点
    求证：是的切线；
    若点、的坐标分别为，，求的半径；
    求证：．
    
     

24. 幸福村在推进美丽乡村建设中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小、规格的红色和蓝色地砖，经过调查，获取信息如下表：

若购买红色地砖块，蓝色地砖块，需付款元；若购买红色地砖块，蓝色地砖块，需付款元．
红色地砖和蓝色地砖的单价各多少元？
经过测算，需要购置地砖块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过块，如何购买付款最少？最少是多少元？请说明理由．






 

25. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
    求抛物线的解析式；
    当点在线段上运动时，直线交直线于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；
    点在线段上运动过程中，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，即可判断．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：数据米用科学记数法表示为米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质．此题利用了“两直线平行，同位角相等”来解题的．
如图，过点作，由平行线的性质进行解题．
【解答】
解：如图，过点作．

则．
又，
，
，
，
．  

4.【答案】
 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算、完全平方公式、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：在中，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
、分别是、的中点，
，，
四边形是平行四边形
四边形的周长．
故选：．
根据勾股定理先求出的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出和的长，进而由已知可判定四边形是平行四边形，从而不难求得其周长．
本题考查了三角形中位线定理的运用，熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了初中范围内的两个非负数，利用非负数的性质转化为解方程，这是考试中经常出现的题目类型．
先根据非负数的性质列出方程组，用表示出的值，再根据，就得到关于的不等式，从而求出的范围．
【解答】

解：根据题意得：，
解方程组就可以得到，
根据题意得，
解得：．
故选C．
 

7.【答案】
 

【解析】解：观察图形可知，如图，在正方体中，沿对角线和顶点所在的平面截出几何体，则这个几何体的展开图可能是．
故选：．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
本题考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑各个面的特点及位置．
 

8.【答案】
 

【解析】解：二次函数的开口向下，
而抛物线的顶点坐标为，
即抛物线的顶点在轴上方，
抛物线与轴有个交点，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据二次函数的性质得到抛物线开口向下，而抛物线的顶点在轴上方，所以可判断抛物线与轴有个交点，然后抛物线与轴的交点问题可判断关于的一元二次方程的根的情况．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
 

9.【答案】
 

【解析】解：原计划每天生产万支疫苗，五天后以原来速度的倍生产，
五天后每天生产万支疫苗，
依题意，得：．
故选：．
由原计划每周生产的疫苗数结合五天后提高的速度，可得出五天后每天生产万支疫苗，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前天完成任务前五天按原工作效率，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，延长到点，使，连接，

是的直径，
，故正确；
的平分线交于点，
，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，故正确；
，
，
，
∽，
，
，故正确；
四边形是的内接四边形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，故正确．
正确的结论是．
故选：．
延长到点，使，连接，根据直径所对圆周角是直角可以判断；根据角平分线定义和圆周角定理可以判断；由∽，可得，可以判断；利用证明≌，可得，，证明是等腰直角三角形，所以，进而可以判断．
本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理及推论，圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质，圆周角定理的灵活运用是本题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：将这组数据排好顺序为：，，，，，，
这组数据的中位数为．
故答案为：．
根据中位数的定义及计算方法直接计算即可．
本题主要考查中位数的定义，熟练掌握中位数的定义及计算方法是解答此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键．
首先将前三项分组进而利用完全平方公式，再用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：

．
故答案为：．  

13.【答案】
 

【解析】解：抛物线关于轴对称后顶点坐标为，抛物线开口方向改变，
对称后的解析式为，
故答案为：．
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标及开口方向，抛物线关于轴对称后可得新抛物线的顶点坐标及开口方向，进而求解．
本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
解得，
解得，
所以不等式组的解集为．
故答案为．
分别解两个不等式得到和，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

15.【答案】
 

【解析】解：过作于，
是等边三角形，
，，
，
，，
的面积为，
，
莱洛三角形的面积，
故答案为：．
图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，
由折叠的性质得到：≌，
，
，
，
．
又，
，
在直角中，，
．
故答案为：．
由折叠可得≌，即可得到；由三角形的内角和定理及平角的知识即可得到，最后根据进行计算，即可解决问题．
主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

17.【答案】
 

【解析】解：连接，，
，
，，，，四点共圆，且为直径为圆心，
连接，则为的一条弦，当为直径时最大，所以时最大．即．
求出，，，，四点共圆，连接，则为的一条弦，当为直径时最大，所以时最大．
本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，圆内接四边形性质的应用，关键是找出符合条件的的位置，题目比较好，但是有一定的难度．
 

18.【答案】解：，
令，则，
解得：，不合题意舍去，
可得：，
解得：．
 

【解析】把方程中的无理数变成有理数计算，后再解无理数，从而解得．
本题考查无理方程的计算，对无理方程部分设定未知数，求解后而最终求得未知数．
 

19.【答案】解：如图，

，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】本题考查了基本作图作一个角等于已知角，同时还考查了全等三角形的性质和判定．

以为圆心，以为半径画弧，交于，
以为圆心，以为半径画弧，交于，
以为圆心，以为半径画弧，交前弧于，
作射线，则就是所求作的角；
延长交于点．
利用证明≌可得结论．
 

20.【答案】
 

【解析】解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是，
故答案为：；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有个，
．
直接根据概率公式求解即可；
画出树状图，共有个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】
 

【解析】证明：在矩形中，为对角线的中点，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形；
解：在矩形中，，
由知：，
，
四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
故答案为．
在矩形中，为对角线的中点，可得，，可以证明≌可得，进而证明四边形为平行四边形；
根据，可得四边形为菱形；根据，，，即可在中，根据勾股定理，求出的长．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明≌．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
设，，
，
，
，，
，
设过点的反比例函数的解析式为：，
，反比例函数的解析式为：；

点是的中点，
，
，，
点在过点的反比例函数图象上，
，
；

存在，
为直角三角形，
当时，轴于，
，
，
当时，
如图，过作轴于，
，
．
，
存在点使为直角三角形，
，．
 

【解析】由四边形是矩形，得到，，根据，设，，求出，，，得到，代入反比例函数的解析式即可．
根据点的坐标求出点，的坐标即可求出结论；
分类讨论：当时，过作轴于，点即为所求，当时，根据射影定理即可求得结果．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质三角形的面积的求法，特别是注意分类讨论，不能漏解．
 

23.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，即是的切线；

解：连接，
设的半径为，
则，
解得，，即的半径为；

解：．
证明：作于，
则，又，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论；
连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
作于，得到四边形是矩形，得到，根据垂径定理解答即可．
本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：设红色地砖每块元，蓝色地砖每块元，由题意可得：
，
解得，
答：红色地砖每块元，蓝色地砖每块元；
设购置红色地砖块，则购置蓝色地砖块，所需的总费用为元，
由题意可得：，
解得：，
当时，
，
当时，有最小值为：，
当时，，
当时，有最小值为：，
，
购买红色地砖块，蓝色地砖块，费用最少，最少费用为元．
 

【解析】此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
根据题意结合表格中数据，购买红色地砖块，蓝色地砖块，需付款元；购买红色地砖块，蓝色地砖块，需付款元，列出方程组得出答案；
设购置红色地砖块，则购置蓝色地砖块，所需的总费用为元，利用已知列出不等式组求出的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于点，，
设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
即；
点与点关于轴对称，
点，，
设直线的函数表达式为，把，代入得，
解得，
直线的函数表达式为，
设，，
，
，
当时，四边形为平行四边形，
，解得，不符合题意，舍去，
故当时，四边形是平行四边形；
在中，，，，
，
当以点、、为顶点的三角形与相似时，分三种情况：
若时，∽，如图所示，
当∽时，∽，
即，
，

，
，，
，
解得，，不符合题意舍去，
，
，，
，
点的坐标为；
若时，如图所示，此时点、与点重合，

；
由于点在直线上，因此，
这种情况不存在，
综上所述，点的坐标为或．
 

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
利用待定系数法求得直线的函数表达式为，设，，则，再由平行四边形判定可知：，建立方程求解即可；
当以点、、为顶点的三角形与相似时，分三种情况：若时，若时，由于点在直线上，因此，对两种情况求出点的坐标即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、平行四边形的判定、相似三角形的判定等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．