福建省漳州市龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性考试数学试题（解析）

这是一份福建省漳州市龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性考试数学试题（解析），共19页。试卷主要包含了单选题，共8题，每题5分等内容，欢迎下载使用。
1. 下列求导运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，因为是常数，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
2. 如图，在正四面体中，是的中点，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助空间向量线性运算计算即可得.
【详解】.
故选：A.
3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由共面向量基本定理进行运算检验选项，排除法可得结果.
【详解】对于A，，所以三个向量共面，排除；
对于B，，所以三个向量共面，排除；
对于D，，所以三个向量共面，排除.
故选：C.
4. 如图，正方体的棱长为2，正方形的中心为，棱的中点分别为，则下列选项中不正确的是（ ）
A.
B.
C. 点到直线的距离为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
【答案】D
【解析】
【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，计算可判定A选项；利用正弦定理计算三角形的面积判定B选项；利用空间向量的距离公式可判定C选项；利用直线方向向量可计算夹角余弦值，可判定D选项.
【详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，
，，则，，
则，
故选项A正确；
，
所以，
则，
，
故选项B正确；
，
，
，
点F到直线的距离，
故选项C正确；
,则,
则令异面直线与所成角，可得，
故选项D错误.
故选：D.
5. 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】100个元件，次品率不超过，即次品数为0或1，根据题干公式，求即可.
【详解】由题意知，则，所以.
因为，
所以次品率不超过的概率约为.
故选：B
6. 已知随机变量，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由得到，再由得到，最后根据得出.
【详解】由于服从正态分布，且，故其均值.
而服从二项分布，故，再由，就有，得.
故选：D.
7. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋“日落云里走，雨在半夜后等，一位同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区的100天日落和夜晚天气，得到列联表如下，并计算得到，下列中该同学对某地区天气的判断不正确的是（ ）
A. 夜晚下雨的概率约为
B. 未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C. 有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气无关
【答案】D
【解析】
【分析】根据列联表中的数据，结合概率的计算公式，以及独立性检验的思想，逐项判定，即可求解.
【详解】由列联表知，100天中有50天下雨，50天未下雨，
所以夜晚下雨的概率为，所以A正确；
又由未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，所以B正确；
因为，
所以有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以C正确；
在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，所以D不正确.
故选：D.
8. 已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简变形后可设，知其在上单调递增，若，则，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果.
详解】由已知有，即，即，
因为，令，，f'(t)=t+1et>0易知在上单调递增，
因，所以，故，即.
所以，令，可得，
又因在上小于零，故y在单调递减，
在上大于零，故y在单调递增，
故当时，y取极小值也是最小值为e.
故选：A
二多选题，共3题，每题6分，部分选对得部分分数，有选错得0分
9. 下列关于概率统计的说法中正确的是（ ）
A. 某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大
B. 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断.
【详解】对于，故，
令，解得，故，故A正确；
对于，故错误；
对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确；
对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误.
故选：AC.
10. 设，，均为随机事件，且，，，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据事件之间的关系可得，结合概率的性质即可判断A；利用条件概率公式化简即可判断B；根据事件的包含关系，结合条件概率公式即可判断C；根据对立事件与条件概率公式即可判断D.
【详解】对于A，因为，
且，，所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，此时，故C正确；
对于D，因为，由条件概率公式可得，
即，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11. “新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ）
A. B与C相互独立B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由相互独立事件成立的条件，算出，由可判断A；由条件概率的计算公式可得，，即可判断B、C；由和事件的计算公式可得，即可判断D.
【详解】因为，
所以，所以B与C不相互独立，故A错误；
因为，
所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，所以D正确．
故选：BCD.
三．填空题，共3题，每题5分
12. 某工厂生产的件产品中，有件次品，现从中任取件产品，设为取出的件产品中次品的件数，则的均值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先确定所有可能的取值，由超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，根据均值的公式可求得结果.
【详解】由题意知：所有可能的取值为，
；；；；
的均值.
故答案为：.
13. 某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】记事件：选取的产品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，由题意可得，，，再利用全概率公式求出，结合二项分布的期望公式求解即可.
【详解】记事件：选取的产品为次品，
记事件：此件次品来自甲生产线，
记事件：此件次品来自乙生产线，
记事件：此件次品来自丙生产线，
由题意可得，，，
由全概率的公式可得，
从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为，
则任意选取100件产品，设次品数为,则,即.
故答案为：.
14. 某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为________.
（参考数据：若随机变量，则，，）
【答案】
【解析】
【分析】计算，确定，再根据正态分布的性质计算概率即可.
【详解】
，
故，
.
故答案为：
四. 解答题
15. 为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为，阅读达标的女生与男生的人数比为．
（1）完成下面的列联表：
（2）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？
（3）从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：，．
【答案】（1）列联表见详解
（2）“阅读达标情况”与“性别”有关联
（3）分布列见详解，
【解析】
【分析】（1）根据分析阅读达标与阅读不达标的人数，以及阅读达标的女生与男生的人数，进而可得列联表；
（2）根据列联表计算，并与临界值对比分析，结合独立性检验分析说明；
（3）由题意可知：X的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望.
【小问1详解】
由题意可知：阅读达标与阅读不达标的人数分别为200，200，
阅读达标的女生与男生的人数比为，
据此可得列联表：
【小问2详解】
零假设： “阅读达标情况”与“性别”没有关联，
由（1）可得：，
依据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
所以“阅读达标情况”与“性别”有关联.
【小问3详解】
因为抽取5人中男、女生人数分别为，
由题意可知：X的可能取值为0，1，2，则有：
，
所以X的分布列为
数学期望.
16. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则，
因为，则，，
由余弦定理可得，
所以，，则，同理可证，
翻折后，则有，，
因为，，、平面，
所以，平面，
因为平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
因为平面，，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、P0,0,1、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，，
平面的一个法向量为，，，
则，令，可得，
则，整理可得，
因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且.
17. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022．

根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中．
（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由；
（2）根据（1）中所选模型，求出关于经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入．
附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（1）选择模型②，理由见解析
（2）,预测该公司2028年的高科技研发投入亿元.
【解析】
【分析】（1）根据残差图判断；
（2）利用最小二乘法求非线性回归方程即可求解
【小问1详解】
根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.
【小问2详解】
设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为，
令，则，
即预测该公司2028年的高科技研发投入亿元.
18. 甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.
（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；
（2）求第n次（，）由乙抛掷的概率.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为，的可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；
（2）设第次（，）由乙抛掷的概率为，则第次（，）由乙抛掷这个事件包含第次由乙抛掷，第次仍由乙抛掷和第次由甲抛掷，第次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出，从而可得，根据，结合等比数列，即可得到.
【详解】（1）由已知，掷出的点数不大于4的概率为，大于4的概率为，抛掷4次，设甲抛掷次数为，的可能取值为1，2，3，4.
，
，
，
，
分布列：
则
（2）设第次（，）由乙抛掷的概率为，则第次（，）由乙抛掷这个事件包含第次由乙抛掷，第次仍由乙抛掷和第次由甲抛掷，第次由乙抛掷这两个互斥的事件，
所以，（），
所以，（），又，所以，
所以，当，时，为等比数列，则，所以，，
第n次（，）由乙抛掷的概率.
【点睛】本题考查的知识点是随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，关键是对题意的理解，是难题.
19. 某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口.
（1）若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.
（2）已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.
【答案】（1）应选择第一条路线，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，，分别求出相应的概率然后，结合期望公式即可比较，得出结论.
（2）结合所给的均值方差性质，以及等比数列前项和公式即可求解.
【小问1详解】
应选择第一条路线，
理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、，
则，，
，，，
所以；
又，，，
所以；
因为，所以应选择第一条路线.
【小问2详解】
设选择第一条路线时遇到的红灯次数为，
所以；，
设随机变量，取值为，其概率分别为，且，
所以
，
又因为，所以日落云里走
夜晚天气
下雨
未下雨
出现
25天
5天
未出现
25天
45天
性别
阅读达标情况
合计
阅读达标
阅读不达标
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
阅读达标情况
合计
阅读达标
阅读不达标
男生
80
120
200
女生
120
80
200
合计
200
200
400
X
0
1
2
P
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35
1
2
3
4
P