福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考 数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了已知复数 ，则，已知向量，满足，，则，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知复数 ，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C．D．
2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数第60百分位数众数B．平均数第60百分位数众数
C．第60百分位数众数平均数D．平均数第60百分位数众数
3．已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（ ）
A．3B．C．2D．
5．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ）

A． B．的面积为2
C．在上的投影向量为 D．与同向的单位向量为
7．如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（ ）

A．2B．C．1D．
8．已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（ ）
A．6B．6.5C．7D．7.5
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．已知向量 ，若 ，则
B．已知非零向量，“”是“ ”的充要条件
C．若 是直线 上不同的三点，点在直线 外，，那么
D．已知非零向量，“”是“夹角为锐角”的必要不充分条件
10．如图，在棱长为4的正方体 中，为 的中点，为 的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．直线 与 为异面直线 B．平面
C．三棱锥 外接球的体积为 D．二面角 的余弦值为
11．如图，在中，已知，边上的中点为边上的中点为、相交于点，则下列结论正确的是（ ）

A． B．的内切圆的半径为
C． 与夹角的余弦值为
D．过点作直线交线段和于点，则的取值范围是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中教师人数为15人，则该校学生人数为 ．
13．在直三棱柱中，，，动点在棱上，则点到平面的距离为 ．
14．在中，为边的中点，的平分线交于点，若的面积为1，则的面积为 ，的最小值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位.
(1)求复数的共轭复数;
(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
16．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）：
(1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数；
(2)已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．
17．在中，角的对边分别为，且向量.
(1)求角 ；
(2)若 的面积为，点为边的中点，求的长.
18．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．现将沿DE折起，得到四棱锥．
(1)证明：平面ADE；
(2)当为等边三角形时，证明：平面平面BCDE；
(3)在（2）的条件下，求二面角的余弦值．
19．如图，在三棱锥中，侧面和底面均为正三角形，且．
(1)求证：；
(2)已知在棱上（不含端点）且，
（ⅰ）若，求二面角的大小；
（ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值．
龙岩一中2024-2025学年下学期高一数学第二次月考参考答案
12．2800 13． 14． 6
1．C ,则的实部为 ，虚部为，，.
2．D平均数为，，第5个数50即为第60百分位数.众数为50，它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.
3．A，，，，．
4．B由题意，根据正弦定理有，所以，要使有两组解，则，且，即，即，即，所以选项所给四个数据中只有符合，
5．B 6．D
7．C在平面中，延长交于P，连接，交于Q，在中，则
又在中，则.

8．D因为这组得分的中位数和极差均为6，可设这组得分从小到大分别为，因为平均数为6，可得又因为，，所以，所以，所以，故.
当时，这组得分分别为2，6，6，8，8.方差：
当时，要使方差最大，则取最小值3，取最大值9，这组得分分别为3，3，6，9，9，
方差: ，此时方差最大.
又由，所以方差最大时的这组得分的第60百分位数是6和9的平均数7.5.
9．BD 10．BCD
11．ACD对于A，在中，且，，由余弦定理得，解得，(负根舍去)，则A正确；对于B，设的内切圆的半径为，则，即，
即，解得，故B错误；对于C，如图所示，

以为原点，建立平面直角坐标系，易知，，设，
由两点间距离公式得，，解得，，(负根舍去)，
故，由中点坐标公式得，，故，，设与的夹角为，
故，故C正确；对于D，易知由于边上的中点为，边上的中点为，而是两条中线的交点，故是的重心，所以，设，，，由于在直线上，所以，即，
而，所以，，故得，，所以，，
故得，则，
由于，则，则D正确，
12．2800 13．
14． 6 在中，设对应的边分别为，
因为为的中点，所以.因为为的平分线，，
所以， ，所以，因为，所以.
在中，，所以，因为
，当且仅当时，等号成立，所以，所以.
15．（1）设，则，为实数，，解得，………2分
为实数，，解得………4分，
，；………5分
由（1）可知，，………8分
复数在复平面内对应的点在第一象限，………10分
解得，故实数的取值范围为.……13分
16．（1）平均数为.………3分
而由于，
，
故第百分位数在区间第百分位数内，设其为.
则，得.
所以第百分位数为.………7分
（2）代入数值即知所求方差为
………15分
17．（1）因为 ，所以 ，由正弦定理得，
由余弦定理得因为，所以.………6分
（2）因为，所以，则
即，又，所以，则 ，所以.………9分
故.所以，所以.在 中，由余弦定理可得
，
即..………15分
18．（1）在正方形中，点，分别是，的中点，所以，且，故四边形为平行四边形，于是在四棱锥中，平面，平面，所以平面；………3分
（2）当为正三角形时，因为点是的中点，所以，
在正方形中，点E，F分别是AB，CD的中点，故
又，平面，平面，故平面，
因为平面，所以平面平面；………7分
（3）在四棱锥中，过点作于点，过点作于点，连接.
在正方形中，令，则，.因为为等边三角形，点为的中点，
所以，从而，即由（2）知，平面平面，平面平面，平面，故平面，从而.又平面平面，故平面，而平面，故，
所以为二面角的平面角………10分
.在中，
在中，，因为，所以，于是，
从而在中，，故，
因此，二面角的余弦值为………17分
19．（1）（1）取的中点，连接，因为侧面和底面均为正三角形，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；………3分
（2）（ⅰ）连接，由，所以为的中点，由（1）可知平面，又平面，所以．
所以是二面角的平面角，
又侧面和底面均为正三角形，，所以，
所以平分，又，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以二面角的大小为；………7分
（ⅱ）因为，又直线与平面PBC所成角的正弦值为，所以与平面的距离为，
由（ⅰ）可得，由题意，可得，
在出，由余弦定理可得：
，………10分
由，
可得，
解得．………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
A
B
B
D
C
D
BD
BCD
ACD