福建省龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性考试数学试题（解析）

这是一份福建省龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性考试数学试题（解析），共19页。试卷主要包含了 已知直线与曲线相切，则实数， 设，，，则， 下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（ ）
A. 2B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系中的点的对称关系求出，进而求出，再由空间向量数量积的定义求解即可.
【详解】关于平面的对称点为，所以，
所以，即，，
所以.
故选：C.
2. 若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A. B. C. D. 与斜交
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分析可得，由直线与平面的位置关系分析可得答案．
【详解】根据题意，直线的方向向量为，
平面的法向量为，易得，
又直线在平面外，则有．
故选：B．
3. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A. 若向量，，共面，则它们所在的直线共面
B. 已知，若，，，四点共面，则
C. 为单位向量
D. 已知向量，，则在上的投影向量为
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共面结合直线的位置关系，可判断A；举反例可判断B；根据单位向量的概念判断C；根据投影向量的额概念，求出在上的投影向量即可判断D.
【详解】对于A，向量，，共面，它们所在的直线可以是异面直线，A错误；
对于B，如图：与，，，共线即共面，
设，满足题意，但，B错误
对于C，，故不是单位向量，C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确，
故选：D
4. 已知直线与曲线相切，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设切点的坐标为，利用导数的几何意义可得出，再由点为直线与曲线的公共点可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】设切点的坐标为，对函数求导可得，
所以切线的斜率为，
因为函数在点处的切线方程为，则，可得，
又因为点为直线与曲线的公共点，
则，即，解得.
故选：C.
5. 若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对函数求导，将函数有极大值和极小值问题转化导函数为有两个不相等正根问题，结合判别式和韦达定理求解即可.
【详解】因为，定义域为，
所以，
因为函数既有极大值也有极小值，
所以方程有两个不相等的正根，设两根为，
则有，解得，
所以的取值范围为，
故选：A.
6. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】在棱长为1的正方体中，以D为坐标原点，以为轴，
建立空间直角坐标系，
则，
,
设平面的一个法向量为，则,
即，令，则，
则点到平面的距离为，
故选：C
7. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可.
【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
因为正方体棱长为1，，
所以,,
设,
则,
而,
所以点到直线的投影数量的绝对值为
,
所以点到直线的距离为
，
当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为，
故选：C.
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作差比较大小可得，构造函数，利用导数确定函数在上的单调性，即可比较大小，从而可得结论.
【详解】依题意，，则，
，令，
求导得，令，
求导得，而2ex+sinx>2，，，
于是，即，函数在上单调递增，
则，因此函数上单调递增，有，即，
所以.
故选：B
二、多选题，共3题，每题6分，部分选对得部分分数，有选错得0分
9. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 设函数，若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则求解即可.
【详解】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误；
对于选项B:结合题意可得：故选项B正确；
对于选项C: ,由，
，解得，故选项C正确；
对于选项D:结合题意可得：,，
解得，故选项D正确.
故选：BCD.
10. 如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C
D. 与夹角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，连接，
由于分别是中点，所以，
根据棱柱的性质可知，所以,
由于平面，平面，
所以平面，所以A选项正确.
B选项，，
，

，
所以，
由于平面，所以平面，B选项正确.
，
所以，即，所以C选项错误.
D选项，，，，
，
所以与夹角为，
则.
故选：ABD
11. 已知正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为
B. 直线与面所成角的余弦值为1
C. 在方向上的投影向量为
D. 过点作正方体的截面，所得截面的面积是
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项按照锥体体积计算即可；利用线面平行可判断B；利用线面垂直可得，可判断C；作出截面计算可判断D.
【详解】对于A，在正方体中，易知，所以到底面的距离等价于到底面的距离，即，
所以，故A不正确；
对于B，因为点分别为棱的中点，所以可得，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以直线与面所成角为，
所以直线与面所成角的余弦值为1，故B正确；
对于C：由题意易得，又平面，所以，
所以由投影向量的定义可得在方向上的投影向量为，故C正确；
对于D，作中点，的中点，的中点，连接，
则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为，故D正确．
故选：BCD.
三．填空题，共3题，每题5分
12. 已知，，且，则实数的值是____________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据空间两点间距离公式计算即可.
【详解】因为，
所以，解得或.
故答案为：或
13. 已知为奇函数，则在处的切线方程为_______
【答案】x+y=0
【解析】
【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.
【详解】因为
，
所以，
因为为奇函数，
所以对恒成立，
所以，代入函数表达式得，
所以，则，
所以在处的切线方程为，即.
故答案为：x+y=0.
14. 对于函数和，及区间，存在实数使得对任意恒成立，则称在区间上优于.若在区间上优于，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得符合条件的直线应为fx,gx在的公切线，据此计算验证即可.
【详解】因为，且，
若在区间0,+∞上优于，
可知符合条件的直线应为fx,gx在的公切线，
则，可得，则切线方程为，
令在0,+∞上恒成立，
令，求导可得，
当x∈0,1，可得，在0,1单调递增，
当x∈1,+∞，可得，在1,+∞单调递减，
所以，即在0,+∞上恒成立，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四. 解答题
15 已知函数，．
（1）若函数在点1,f1处的切线过原点，求实数a的值；
（2）若，求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入求出切点，求导，利用导数的意义求斜率，再由点斜式写出直线方程求出；
（2）求导，分析单调性，求出最值即可.
【小问1详解】
切点，，．
切线过，
∴，∴．
【小问2详解】
，，
，或3，
则当或时，,当时，,
在上为减，在为增，
，，∴．
16. 如图：三棱柱中，，是的中点．
（1）在线段上是否存在一点，使得四边形为梯形?说明理由；
（2）若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值．
【答案】（1）存在，为中点.
（2）
【解析】
【分析】（1）为中点时，可证明四边形为梯形；
（2）先将用基底表示，由，根据的数量积运算即可得解.
【小问1详解】
为中点，四边形为梯形，理由如下：
为中点，连接，
又是的中点，则有且，
三棱柱中，且，
所以有且，
故为中点，四边形为梯形；
【小问2详解】
依题意，，，
则有，，，
，
，则，即，
解得.
17. 某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件元的价格，全部由总厂收购.
（1）求年利润关于年加工量的解析式；（年利润年销售收入-流动成本-年固定成本）
（2）当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据:）.
【答案】（1）
（2）当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元.
【解析】
【分析】（1）依题意，由年利润年销售收入-流动成本-年固定成本，直接写出解析式，化简即可；
（2）由（1）中求得的解析式，分别利用导数和基本不等式的性质，分别求得两个式子的最大值，然后作比较，再取较大的值即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
所以年利润关于年加工量的解析式为：；
【小问2详解】
当时，恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，
当时，，
当且仅当，即时取得等号.
因为，
所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元.
18. 如图，已知在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，D，E分别在CC1与AA1上，AE＝2，CD＝1．
（1）在线段BE上找一点P使得DP⊥平面ABB1A1，并写出推理证明过程；
（2）求二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）取BE的中点P，AB的中点F，连接PD，PF，CF，先证四边形PFCD为平行四边形，得DP∥CF，再由CF⊥AB，AA1⊥CF，知CF⊥平面ABB1A1，进而得证；
（2）以F为坐标原点建立空间直角坐标系，由FC⊥平面BEA1，知平面BEA1的一个法向量（0，1，0），再求得平面C1BE的法向量，然后由cs，，得解．
【详解】解：（1）取BE的中点P，AB的中点F，连接PD，PF，CF，则PF∥AE，PFAE，
所以PF∥CD，且PF＝CD，
故四边形PFCD为平行四边形，
所以DP∥CF，
由正三棱柱ABC﹣A1B1C1，知△ABC为等边三角形，则CF⊥AB，
因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥CF，
又AA1∩AB＝A，AA1、AB⊂平面ABB1A1，
所以CF⊥平面ABB1A1，
所以DP⊥平面ABB1A1，
故当点P为线段BE的中点时，使得DP⊥平面ABB1A1．
（2）以F为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），E（﹣1，0，2），C1（0，，3），C（0，，0），
则（﹣1，，3），（﹣2，0，2），
由（1）知，FC⊥平面BEA1，所以平面BEA1的一个法向量（0，1，0），
设平面C1BE的法向量为（x，y，z），则，即，
取（，﹣2，），
所以cs，，
又二面角C1﹣BE﹣A1为锐二面角，
故二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值为．
19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
（1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
（2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；
（3）设，证明：.
【答案】（1）0.48；
（2），证明见解析；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用泰勒公式即可估算的值；
（2）构造函数，，并利用导数求得最小值，进而得到与的大小关系；
（3）利用（2）中结论得到不等式结合裂项相消法对进行放缩变化，进而证得题给不等式成立.
【小问1详解】
令，则，，
，，
故，，，，，
由麦克劳林公式可得，
故．
【小问2详解】
结论：，证明如下：
令，，则
令，则，
故在上单调递增，，则
故在上单调递增，，
即证得，故．
【小问3详解】
由（2）可得当时，，
且由得，当且仅当时取等号，
故当时，，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得．