山西省汾阳市第五高级中学校2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份山西省汾阳市第五高级中学校2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数的导函数在（ ）时取得最小值．
A．B．C．D．
2．曲线 在点 处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
3．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A．14B．24C．28D．48
6．已知函数与的图象如图所示，则函数（ ）
A．在区间上是减函数B．在区间上是减函数
C．在区间上是减函数D．在区间上是减函数
7．设函数的导数为且，则的单调递增区间是
A．和B．
C．D．和
8．若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、多选题（本大题共2小题）
9．对于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．是奇函数B．在处取得极大值
C．在区间上单调递增D．函数有个零点
10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（ ）
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法
C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种
D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法.
三、单选题（本大题共1小题）
11．关于函数，，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增B．当时，恒成立
C．当时，在上单调递增D．当恒成立，则
四、填空题（本大题共3小题）
12．函数导数为.则 ．
13．计算：
（1） .
（2）若，则的值为 .
14．已知函数存在极大值和极小值，则实数的取值范围是 ．
五、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
16．用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
17．已知曲线.
(1)求在处的切线方程.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
18．设函数f（x）＝tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．
（Ⅰ）求f （x）的最小值h（t）；
（Ⅱ）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．
19．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，则，
所以，当时，函数取最小值.
故选B.
2．【答案】B
【详解】由，，所以过点切线方程为
答案选B.
3．【答案】C
【详解】因为，则，所以，，
所以，.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立；
由图可知，，，但不确定与的大小关系，故B不一定成立；
由图可知，，故C成立；
由图可知，函数在区间上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立.
故选B.
5．【答案】A
【详解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，
故不同的选派方案种数为．故选A.
法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，
故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A
6．【答案】B
【详解】因为，
由图象知，时，，又，所以当时，，
即在上单调递减，
当时，，又，所以当时，，
即在上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项B正确，
故选B．
7．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，则，所以，
所以的定义域为，则.
令，则，即，
所以的单调递增区间为，故选C．
8．【答案】A
【详解】，，是方程的两根，
由，得或，
即的根为或的解．
∵根据题意画图：
，
由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3.
故选A．
9．【答案】BCD
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
，故函数不是奇函数，A错；
对于BC选项，因为，令，可得，列表如下：
所以，函数在处取得极大值，在区间上单调递增，BC都对；
对于D选项，因为函数的极大值为，极小值为，
因为，，
所以，，，，
所以，函数有个零点，且这三个零点所在的区间分别为、、，D对.
故选BCD.
10．【答案】BCD
【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误；
选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确；
选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，
共有种情况，故C正确；
选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好，
先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况，
再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况，
最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况，
共有种情况，故D正确，
故选BCD.
11．【答案】AB
【详解】对于A选项，当时，，则，解得，
故当时，函数的增区间为，A错；
对于B选项，当时，由可得，解得，B错；
对于C选项，当时，则对任意的恒成立，
此时，函数在上单调递增，C对；
对于D选项，当时，函数在上为增函数，，
此时不等式不恒成立；
当时，恒成立；
当时，由可得，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，可得，解得.
综上所述，当恒成立，，D正确.
故选AB.
12．【答案】
【详解】.
13．【答案】 165 7
【详解】（1）由组合数性质，得.
（2）∵，∴，∴.
14．【答案】
【详解】因为，则，
因为函数存在极大值和极小值，则二次函数有两个不等的零点，
所以，，即，解得或，
因此，实数的取值范围是.
15．【答案】(1)单调递增区间是：和，单调减区间是：；
(2)最小值为，最大值为.
【详解】（1）由，
可得：，，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
（2）由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
16．【答案】（1）156个；（2）216个.
【详解】(1)无重复数字的四位偶数可分为两大类：
个位数字为，共有：个
个位数字为或，共有：个
由分类加法计数原理知无重复数字的四位偶数共有：个
（2）符合题意的五位数可分两大类：
个位数字为，共有：个
个位数字为，共有：个
由分类加法计数原理知满足题意的五位数共有：个
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，，即切点为，
又，所以切线方程为，即；
（2）因为，
函数有两个零点，
相当于曲线与直线有两个交点，
又，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以时，取得极小值，
又时，，且当时，，
所以的图象如下所示：
由图可得实数的取值范围为．
18．【答案】（Ⅰ）h（t）＝﹣t3+t﹣1；（Ⅱ）m＞1．
【详解】解：（Ⅰ）∵f（x）＝t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），
∴当x＝﹣t时，f（x）取最小值f（﹣t）＝﹣t3+t﹣1，
即h（t）＝﹣t3+t﹣1；
（Ⅱ）令g（t）＝h（t）﹣（﹣2t+m）＝﹣t3+3t﹣1﹣m，
由g′（t）＝﹣3t2+3＝0得t＝1，t＝﹣1（不合题意，舍去）
当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：
∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）＝1﹣m
h（t）＜﹣2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1﹣m＜0
所以m的取值范围为m＞1．
19．【答案】（1）当时，在处取得的极大值；函数无极小值. （2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）求出，令求得 的范围，可得函数增区间，令求得 的范围，可得函数的减区间，从而可得函数的极值；（2）对进行讨论：，，，，针对以上四种情况，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性讨论函数有两个零点情况，排除不是两个零点的情况，可得有两个零点时，的取值范围是，由（1）知在单调递减，故只需证明即可，又，只需利用导数证明即可.
试题解析：（1）由得，
当时，，若；若 ，
故当时，在处取得的极大值；函数无极小值.
（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时，趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得.
当时，若；若；若，则在处取得极大值，在处取得极小值，由于，则仅有一个零点.
当时，，则仅有一个零点.
当时，若；若；若，则在处取得极小值，在处取得极大值，由于，则仅有一个零点.
综上，有两个零点时，的取值范围是.
两零点分别在区间和内，不妨设.
欲证，需证明，
又由（1）知在单调递减，故只需证明即可.
，
又，
所以，
令，则，
则在上单调递减，所以，即，
所以.
增
极大值
减
极小值
增
t
（0，1）
1
（1，2）
g′（t）
+
0
﹣
g（t）
递增
极大值1﹣m
递减