广东省东莞市第五高级中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份广东省东莞市第五高级中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．曲线（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）在点处的切线的斜率为
A．2B．3C．D．
3．若，则的值为（ ）
A．1B．3C．6D．
4．用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（ ）
A．24个B．48个C．60个D．72个
5．如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A．400 种B．460 种C．480 种D．496 种
6．的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．24D．
7．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，且，则的大小关系（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．3是的极小值点
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减
D．曲线在处的切线斜率小于零
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
11．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（ ）
A．
B．第10行所有数字之和为
C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9
D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大
三、填空题（本大题共3小题）
12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为(单位)，那么这个质点在2秒末的瞬时速度是 .
13．已知是函数的导函数，若，则 ．
14．已知，若，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法种数.
(1)同学A必须被选出；
(2)至少有3名女生被选出；
(3)让选出的5人分别担任安全委员、文娱委员等5种不同的职务，但安全委员由男生担任，文娱委员由女生担任.
16．二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求的值；
(2)求展开式中各项的二项式系数和；
(3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.
17．设函数，若函数在处取得极小值8．
(1)求的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值；
18．已知函数.
(1)若函数在处的切线平行于轴，求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个不同的零点，求的取值范围.
19．组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.
(1)计算：，并与比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；
(2)证明：
(3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】对A，，故A错误；
对B，为常数，所以，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，令，则，故D错误.
故选C.
2．【答案】A
【详解】试题分析：，故选A
考点：导数的几何意义
3．【答案】D
【详解】解：因为，所以或，
解得（舍去）或，
故选D
4．【答案】B
【详解】根据题意，先安排个位数字，在3和5中选一个共有种，
再安排余下的4个位置，有种，
所以组成无重复数字的五位数，不同的奇数共有种．
故选B．
5．【答案】C
【详解】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，
当使用4种颜色时，有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法，
所以共有种方法；
当使用3种颜色时，和涂一种颜色，共有6种涂法，
有5种涂法，有4种涂法，
所以共有种方法；
所以不同的涂法共有种.
故选.
6．【答案】B
【详解】
因为
，
所以的展开式中项的为
，系数为.
故选B.
7．【答案】A
【详解】由题意知，的定义域为，
所以，
因为在上单调递增，
所以对于恒成立，
即对于恒成立，
又函数在R上单调递增，故，
所以，
所以实数a的取值范围是.
故选A.
8．【答案】D
【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较大小.
【详解】，当时，，
所以在单调递增，
因为，所以，即.
故选D.
9．【答案】AD
【详解】A：由导函数的图象可知当时，单调递减，当时，
单调递增，所以3是的极小值点，因此本选项说法正确；
B：由导函数的图象可知当时，单调递减，当时，
单调递减，所以不是的极小值点，因此本选项说法不正确；
C：由导函数的图象可知当时，单调递减，当时，单调递增，所以本选项说法不正确；
D：由导函数的图象可知，所以本选项说法正确，
故选AD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；
对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；
对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；
对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由题可知，第10行所有数字之和为，故B正确；
对于C，由题可知，第12行从左到右第4个数为，第5个数为，
则第12行从左到右第4个数与第5个数之比为，故C正确；
对于D，由题图可知，第2025行共有2026个数，从左到右第1013个数和第1014个数相等，且都是该行最大的，故D错误.
故选ABC.
12．【答案】3
【详解】因为，所以，
即，
当时，，
所以这个质点在2秒末的瞬时速度是3.
13．【答案】-2
【详解】因为，所以．
令，得，所以，
所以，则．
14．【答案】0
【详解】由题意，所以，即，
令，则，令，则，
所以.
15．【答案】(1)330
(2)246
(3)25200
【详解】（1）除A选出外，从其他11人中再选4人，不同的选法种数为.
（2）按女生的选取分类：选3名女生2名男生；选4名女生1名男生；选5名女生.
按分类加法计数原理得，所求的不同选法种数为.
（3）选出1名男生担任安全委员，再选出1名女生担任文娱委员，剩下的10人中任选3然担任其他3种职务.
由分步乘法计数原理得，所求不同的选法种数为.
16．【答案】(1)6
(2)64
(3)常数项为960，二项式系数最大的项为
【详解】（1）展开式前三项的二项式系数和为22，
或（舍），
故的值为6.
（2）展开式中各项的二项式系数和为.
（3）设展开式中常数项为第项，
即，
令，得，
，
由题可得，展开式中最大的二项式系数为，
展开式中二项式系数最大的项为第4项，
即，
综上所述：常数项为，二项式系数最大的项为.
17．【答案】(1)，．
(2)，最小值为8；，最大值为24．
【详解】（1），
由题意函数在处取得极小值8得，
解得，．
此时，
当或时，，当时，，
故为的极小值点，故，满足条件．
（2）由（1）分析列表得：
所以当时取得最小值为8，时取得最大值为24．
18．【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【详解】（1）函数，求导得，
由函数在处的切线平行于轴，得，则，
此时，，函数图象在处的切线为，符合题意，所以.
（2）函数的定义域为，由（1）知，，
当时，由，得或，由，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间是，递减区间是；
当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
（3）依题意，，
由，得，记，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时恒成立，因此要使有两个零点，即直线与函数的图象有两个交点，
必有，即，
所以的取值范围是.
19．【答案】(1)，，
，证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1），，
规律：，证明如下：
的展开式中，的系数为，
同时，的展开式中的系数为，
所以.
（2）证明：的展开式中的系数为，
又因为，的展开式中的系数为
，
所以.
（3）证明：由（1）可知，
由（2）可知，
两式相减可得，
即.x
0
2
3
-
0
+
24
单调递减
8
单调递增
15