山西省太原市第五中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

这是一份山西省太原市第五中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．数列的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
3．过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知等差数列，，，则（ ）
A．B．3C．4D．
5．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B． C．D．
6．在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外切C．外离D．内切
7．已知双曲线，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
8．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，若直线交于，两点，且，点关于的对称点为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若点和点关于直线对称，则（ ）
A．的中点坐标为B．
C．直线的斜率为1D．
10．已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为8
B．存在点，使得
C．点，的纵坐标之积为定值
D．
三、填空题
12．过点且与直线垂直的直线方程是 .
13．已知，点P是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 .
14．已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为 .
四、解答题
15．已知圆，过点且斜率为1的直线交圆于，两点.
(1)求线段的中垂线方程；
(2)求弦的长.
16．已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，．
(1)求和的值；
(2)为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程．
17．在平面四边形中，，，（如图1），将沿着翻折到的位置（如图2），且.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
19．已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，.
(1)求的方程；
(2)求证：的值为定值；
(3)设，的中点分别为，，求证：直线过定点.
1．C
将抛物线方程化为标准方程，即可求解.
人教版（2024）>八年级上册由题意，抛物线的标准方程为，
所以抛物线的准线方程为.
故选：C.
2．C
根据数列的定义和规律求解即可.
将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ，
故该数列的一个通项公式为.
故选：C.
3．D
由题知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程
圆的圆心为，因为点在圆上，且，
易知所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为，即.
故选：D.
4．A
等差中项的性质可转化可求解
为等差数列，，
故选：A
5．A
根据离心率求出即可求渐近线方程.
由双曲线的离心率为，得，
所以，又双曲线的渐近线方程为，所以渐近线方程为，即．
故选:A．
6．C
首先根据已知条件得到的轨迹表示圆心为，半径为的圆，再根据两圆的位置关系求解即可.
，得，
则，整理得，
表示圆心为，半径为的圆，
圆的圆心为，半径，
两圆的圆心距为，满足，
所以两个圆外离.
故选：C.
7．B
设，，，，根据的中点的坐标，利用点差法表示出斜率，从而得到关于、的关系式，再求离心率.
斜率为2的直线与双曲线，相交于，两点，
设，，，，
则，①；
，②，
①②得，
则，
弦中点坐标为，
，，
直线的斜率为2，
，
，
.
则.
故选：.
8．C
由，两点在抛物线上，所以可以设点，，
则，
由直线交于，两点，故直线不与轴平行或重合，
故可设直线解析式为，
联立，得，，
所以，解得，
所以直线与轴的交点为，由，关于直线对称，
所以，且点不与点重合，
故可知的轨迹方程为：（不经过原点），
所以，，即.
故选：C.
9．ABD
根据题意可知直线为的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论.
易知的中点坐标为，则点在直线上，
所以，解得，
所以直线的斜率为.
又因为，所以，
解得.
故选：ABD
10．ABD
根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解.
由题意知，
若，令，得，所以，故A正确；
若，则，又，所以，故D正确；
当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确.
故选:ABD.
11．ACD
设，由，可判定A正确；假设存在点，，可判断B；设直线的方程为，求得切点的纵坐标，与渐近线联立方程组求得交点的坐标，计算可判断C，利用中点坐标公式可判断D.
由题意，双曲线，可得，，则，
所以焦点，，设，则，且，即，
由，故A正确；
假设存在点，设，则，且，即，
所以，
所以不存在点，使得，故B错误；
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，

由,得，
又直线与相切，所以，整理得，
所以，即0，解得，
即点的纵坐标为.
不妨设直线与的交点为，与的交点为，
由，解得，即点的纵坐标为，
由，解得，即点的纵坐标为，
则点，的纵坐标之积为，故C正确；
因为，
所以点是线段的中点，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．
设出直线，利用待定系数法进行求解.
设与直线垂直的直线方程是，
代入点，得，解得，
所以所求的直线方程是.
故答案为：
13．
首先根据圆上的点到定点的最值问题可得：，再根据抛物线的定义结合三角不等式即可求得最小值.

如图，由题意知是抛物线的焦点，
过点作准线的垂线，垂足为，记点到抛物线的准线的距离为，
所以，
当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，等号成立，
所以的最小值为6.
故答案为：
14．
根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率.
设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即，
因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）求出线段的中垂线的斜率，结合过圆心，待定系数法进行求解；
（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求出答案.
（1）由直线的斜率为1，得线段的中垂线的斜率为，
又过圆心，则的方程为，
所以线段的中垂线方程为.
（2）设直线的方程为，将代入得，
解得，可得直线的方程为，
的圆心为，半径为4，
圆心到直线的距离为，
所以.
16．(1)p的值为2，t的值为4．
(2)．
（1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解；
（2）法一：设B点的坐标为，通过，列出等式求解即可；
法二：设直线方程为，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求解；
（1）由抛物线的定义及，知，解得．
将点的坐标代入抛物线C的方程，得，
又，所以，故p的值为2，t的值为4．
（2）法一：设B点的坐标为，
因为，A点的坐标为（4，4），所以，
解得或（舍去）．
所以B点的坐标为（4，－4），所以直线的方程为．
法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得．
设点A，B的坐标分别为，
联立方程，得，
所以．
因为，所以，解得或．
当时，直线的方程为，经过原点O不合题意；
当时，直线的方程为，满足题意，
故直线的方程为．
17．(1)证明见解析
(2).
（1）连接，与交于点，通过等腰三角形的三线合一证明，再根据勾股定理证明，根据线面垂直的性质定理即可得证平面，最后根据面面垂直的性质进行证明即可.
（2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求解平面及平面的法向量，最后根据面与面的夹角公式进行求解即可.
（1）如图，连接，与交于点，
因为在平面四边形中，，
所以垂直平分线段是的中点，所以，即，
因为，所以.
因为，所以，
所以.
翻折后，因为，所以，
又平面，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）因为两两垂直，故以点为坐标原点，
以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
设为平面的一个法向量，则，
令，得，所以.
，设为平面的一个法向量，
则，令，得，所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解；
（2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得；
（ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可.
（1）设双曲线的焦距为，且，
因为到直线的距离为，故，
则，故双曲线的方程为：．
（2）如图，
（ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程，
消元得，则，
因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
原点到直线的距离，
设，，联立，则，
，，，
则，
而，
令，则，
当即时取到等号．
综上所述，的最大值为．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
（1）设椭圆的焦距为，则由题意得，解得.
所以，
所以的方程为.
（2）由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时，
，（或，），此时.
若直线与直线的斜率都存在时，如图：
设直线的方程为，，，
由，得，
所以，.
所以
因为，将换成，得，
所以.
综上所述，的值为定值.
（3）由（2）得，，
因为是的中点，所以，
将换成，得，即
若直线的斜率存在，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
所以直线过定点
若直线的斜率不存在，则，解得，
此时直线的方程为，直线也过定点.
综上，直线过定点.