2021-2022学年山西省吕梁市汾阳市第四高级中学校高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年山西省吕梁市汾阳市第四高级中学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．（    ）

A．75 B．30 C．-25 D．-70

【答案】A

【分析】依据排列数公式和组合数公式去求的值即可.

【详解】．

故选：A

2．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（    ）

A．12种 B．16种 C．64种 D．81种

【答案】C

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，

根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．

故选：C

3．如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（    ）

A．相关系数r变大 B．相关指数变大

C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强

【答案】C

【分析】去掉离群点D后，结合散点图对各个选项进行判断得解.

【详解】解：由散点图知，去掉离群点D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r的值变大，故选项A正确；

相关指数的值变大，残差平方和变小，故选项B正确，选项C错误；

解释变量x与预报变量y的相关性变强，故选项D正确.

故选：C．

4．的展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】，用二次通项公式即可求解

【详解】解析：，

∴展开式中的系数为．

故选：C

5．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据正态曲线的性质即可求解.

【详解】由随机变量服从正态分布，，

由正态曲线的对称性知，对称轴为，

所以.

故选：C.

6．根据如下样本数据：

得到经验回归方程为，则（    ）A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】由数据知变量随着的增大而减小，确定，再由回归直线过中心点确定的正负．

【详解】由图表中的数据可得，变量随着的增大而减小，则，

，，

又回归方程经过点，可得，

故选：D．

7．甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有（    ）

A．12种 B．48种 C．72种 D．120种

【答案】C

【分析】根据不相邻问题插空法求解即可得答案.

【详解】解：先安排丙、丁、戊三人，共有种方案，

再将甲、乙两人安排到丙、丁、戊三人形成的4个空位的其中两个中，有种方案，

所以甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有种方案.

故选：C

8．某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店的顾客，都能抽一次奖，每位进店的顾客得到一个不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球2个，黄球3个，蓝球1个，除颜色外，小球的其它方面，诸如形状、大小、质地等完全相同，每个小球上均写有获奖内容，顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球，然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖．设X表示某顾客在一次抽奖时，从自己得到的那个盒子取出的2个小球中红球的个数，则X的数学期望（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先计算出X为0，1，2的概率，再按照期望公式计算即可.

【详解】由题意知：X的取值为0，1，2，，，，

故.

故选：C.

9．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ）

A．13 B．12 C．5 D．4

【答案】C

【分析】根据得到，再根据，计算得到答案.

【详解】，则，故.

故选：.

【点睛】本题考查了二项分布的均值，同时也考查了期望性质的应用，意在考查学生的计算能力.

10．为了贯彻落实党史学习教育成果，临川一中名师“学史力行”送教井冈山中学.现有理科语文､数学､英语､物理､化学､生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上节课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为（    ）

A．720 B．504 C．480 D．360

【答案】B

【分析】根据排列计算公式，结合特殊元素法求解排列数即可得出答案.

【详解】根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班.

化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有种方法；

化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有种方法

所以共有：种方法

所以总的排列数为504.

故选：B.

11．下列说法中，正确的命题是（       ）

A．已知随机变量X服从正态分布，则

B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则

D．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2

【答案】D

【分析】利用正态分布的对称性可以求得的值，进而判定A，根据相关系数的意义可以判定B，利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C，利用方差的性质可以求得数据的方差，进而判定D.

【详解】解：A. 已知随机变量服从正态分布，，

则，所以，

所以，

∴，故A错误；

B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，

相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，

反之，线性相关性越弱，故B错误；

C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C错误；

D. 设数据，，…，的方差为，

则样本数据，，…，的方差为，则，即数据的方差为2，故D正确.

故选：D.

12．志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ）

A．240种 B．408种 C．1092种 D．1120种

【答案】B

【分析】首先安排除甲乙丙外的3名志愿者，再分两类：乙丙中间不恰好为甲、乙丙中间恰好为甲分别求安排方案数，最后加总即可.

【详解】1、将安排除甲、乙、丙外其它3名志愿者，有种，再分两类讨论：

第一类：

2、安排不相邻的乙丙，相当于将2个球在3个球所形成的4个空中任选2个插入有种，

3、安排不在第一天的甲，相当于5个球所成的后5个空中任选一个插入，有种，

第二类：

2、将甲安排在乙丙中间有种，

3、把甲乙丙作为整体安排，相当于将1个球插入3个球所形成的4个空中有种，

所以不同的方案有(种.

故选：B

二、填空题

13．已知离散型随机变量X的分布列如下表，则_________.

【答案】

【分析】根据分布列利用期望的公式求解即可.

【详解】解：由分布列可知，

故答案为：.

14．若身高x（单位:m）与体重y（单位:kg）之间的回归直线方程为（），样本点的中心为，当身高为1.7m时，预计体重为______kg.

【答案】72.5

【分析】将样本中心点代入方程得到，再取计算得到答案.

【详解】将样本中心点代入方程得到，故，故，

当时，.

故答案为：.

【点睛】本题考查了回归方程和估计，意在考查学生的应用能力.

15．已知二项式的展开式中共有7项，所有项的系数和为_________.

【答案】1

【分析】根据题意可得，令即可得到所有项系数之和.

【详解】由已知可得，展开式中共有项，所以，

即二项式为，

令，可知所有项系数之和为

故答案为:

16．在道题中有道理科题和道文科题．如果不放回地依次抽取道题，则在第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的概率是_________．

【答案】

【分析】本题首先要明确未抽取前理科题和文科题各多少道，然后明确第次抽到理科题后理科题和文科题各剩多少道，即可得出第次抽到理科题的概率．

【详解】因为一共道题，其中有道理科题和道文科题，第次抽到理科题，

所以第次抽取后还有道理科题和道文科题，

所以第次抽到理科题的概率为．

【点睛】本题考查条件概率的相关性质，主要考查学生对条件概率的理解，考查推理能力，体现了基础性，是简单题．

三、解答题

17．已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．

(1)求n的值；

(2)求展开式中含的项．

【答案】(1)10；

(2)；

【分析】(1)利用二项式系数的性质即可求出的值；

(2)求出展开式的通项公式，然后令的指数为即可求解．

【详解】（1）∵的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，∴展开后一共有11项，

则，解得；

（2）二项式的展开式的通项公式为，

令，解得，

∴展开式中含的项为．

18．随着生活条件的改善，人们健身意识的增强，健身器械比较畅销，某商家为了解某种健身器械如何定价可以获得最大利润，现对这种健身器械进行试销售.统计后得到其单价x（单位：百元）与销量y（单位：个）的相关数据如下表：

(1)已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)若每个健身器械的成本为25百元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少百元时，销售利润最大？（结果保留到整数），

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.参考数据：.

【答案】(1)；

(2)确定单价为50百元时，销售利润最大.

【分析】（1）根据参考公式和数据求出，进而求出线性回归方程；

（2）设出定价，结合（1）求出利润，进而通过二次函数的性质求得答案.

【详解】（1）由题意，，则，，结合参考数据可得，，所以线性回归方程为.

（2）设定价为x百元，利润为，则，由题意，则（百元）时，最大.

故确定单价为50百元时，销售利润最大.

19．2021年4月20日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重（单位：）与身高（单位：）是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了7位我校男生的数据，得到如下表格：

根据表中数据计算得到关于的线性回归方程为．

(1)求；

(2)已知，且当时，回归方程的拟合效果非常好；当时，回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．（的结果保留到小数点后两位）

参考数据：．

【答案】(1)；

(2)该线性回归方程的拟合效果是良好的.

【分析】（1）根据表中的数据，求出样本中心，代入回归直线方程，即可求出；

（2）利用（1）中的结论以及题中的参考数据，求出相关的数据，代入R2的计算公式，求出R2的值，即可判断得到答案.

【详解】（1）由题意可得，，，

又关于的线性回归方程为，所以

（2）由题意，

所以，

所以该线性回归方程的拟合效果是良好的.

20．一个盒子里有大小相同的3个红球和3个黑球，从盒子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分.

（Ⅰ）若从盒子里一次随机取出了3个球，求得2分的概率;

（Ⅱ）着从盒子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列及期望.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，数学期望

【分析】（Ⅰ）以事件表示“取出的球中有2个红球和1个黑球”，计算概率得到答案；

（Ⅱ）根据题意知，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

【详解】（Ⅰ）设“一次随机取出3个球得2分”的事件记为A，它表示取出的球中有2个红球和1个黑球的情况，则.

（Ⅱ）由题意ζ的可能取值为0､1､2､3.

因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为，每次取到黑球的概率为.

则，，

的分布列为

所以随机变量ζ的数学期望.

【点睛】本题考查了概率，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.

21．常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具．洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤．某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：

(1)现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”．完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关？

(2)从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望．

附：，．

临界值表：

【答案】(1)表格见解析，没有；

(2)分布列见解析，数学期望.

【分析】（1）根据已知数据，结合题意，完成列联表，再求，即可判断；

（2）根据分层抽样的特点求得抽取10人中男生和女生的分布情况，再求得的取值，结合超几何分布的概率求解求得分布列，再求数学期望即可.

【详解】（1）由得分情况的频数分布表得列联表如下：

故，

因为，

所以没有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关．

（2）由得分情况的频数分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中，

女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人．

在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，

所以，，

，，

所以随机变量X的分布列为

所以．

22．某次考试中，英语成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下.

(1)如果成绩大于135分的为特别优秀，则随机抽取的500名学生中本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布）

(2)如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中英语特别优秀的人中随机抽取3人，设3人中两科同时特别优秀的有人，求的分布列和数学期望．

附公式：若～，则，.

【答案】(1)英语成绩特别优秀的有人，数学成绩特别优秀的有人；

(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）根据参考数据，求得英语成绩在大于135的概率，再乘以500求得人数；

根据频率分布直方图，求得数学成绩特别优秀的频率，再求频数即可；

（2）根据题意求得的取值，结合题意分别求得对应概率，再求数学期望即可.

【详解】（1），

，故英语成绩特别优秀的有人.

由频率分布直方图知，数学成绩特别优秀的频率为

故数学成绩特别优秀的有人.

（2）依题意：，

，，

，

其分布列为：

.