2022-2023学年山西省吕梁市汾阳市第五高级中学校高二下学期3月月考数学试题含解析

2022-2023学年山西省吕梁市汾阳市第五高级中学校高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．的展开式中的系数是（    ）

A． B．12 C． D．6

【答案】C

【分析】根据二项式定理求展开式的通项即可求解.

【详解】的展开式的通项为： ，令，所以的系数是：

故选：C.

2．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，至少有一名女医生，则不同的组队方案共有（    ）

A．140种 B．80种 C．112种 D．74种

【答案】D

【解析】先求出选3名医生的总数，再减去没有女医生的种数，即可得答案.

【详解】先求出选3名医生的总数，再减去没有女医生的种数，

∴.

故选：D.

【点睛】本题考查组合数的计算，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意从对立的角度考虑问题.

3．从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有

A．36种 B．12种 C．18种 D．24种

【答案】A

【解析】利用分类加法原理，对所选的3人中分三种情况：乙和丙有2人；乙和丙有1人；都没有；再利用排列数和组合数公式计算，即可得答案.

【详解】利用分类加法原理，对所选的3人中分三种情况：

乙和丙有2人，对两个人进行排列，第三项工作再从乘下的3人中选1人，即；

乙和丙有1人，则有2种情况，这个人可以从两项工作中任取一项有2种情况，则乘下的两项工作由3个人来排列，即；

乙和丙都没有，三项工作就由其他3个人来进行排列，即；

∴.

故选：A

【点睛】本题考查排列数和组合数公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分类的标准.

4．从1，2，3，4，5中先后选两个不同的数，第一个数记为，第二个数记为，记事件为“是奇数”，事件为“”，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由列举法可得答案．

【详解】由题知，表示“第一个数字是奇数且取到的两数之和不大于5”，

分别有，，，，，共5种情况，

即，又，所以．

故选：B.

5．某人家里有3个卧室1个大门，共有4把钥匙，其中仅有一把能打开大门，但他忘记是哪把钥匙．如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第四次才能打开门的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】题意相当于将四把钥匙排成一列，将大门钥匙排在第四个位置的概率,根据古典概率可得答案.

【详解】由题意知，此人第一、二、三次不能打开门，第四次打开门，

相当于将四把钥匙排成一列，将大门钥匙排在第四个位置的概率.

因此他第四次才能打开门的概率为．

故选：C

6．的展开式中的系数为（    ）

A．24 B．144 C．-104 D．-60

【答案】A

【解析】分三种情况讨论，出项，出项；出项，出项；出项，出项，即可得答案.

【详解】分三种情况讨论：

出项，出项；出项，出项；出项，出项；

∴，

∴的系数为：24.

故选：A.

【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

7．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

【答案】B

【分析】根据独立事件概率关系逐一判断

【详解】 ，

故选：B

【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立

8．从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述想法，下面式子（其中）应等于

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，第二类是某指定的小球被取到，即有等式：成立，题中的式子表示的是从装有个球中取出个球的不同取法数，从而得到选项.

详解：在中，从第一项到最后一项分别表示：

从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，故答案为从装有个球中取出个球的不同取法数，故选A.

点睛：该题考查的是有关球的取法问题，涉及到的是有关组合数的性质，认真分析题中式子的关系，最后求得结果.

二、多选题

9．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则下列选项中恰有8种不同站法的是（    ）

A．甲、乙都不与老师相邻 B．甲、乙都与老师相邻

C．甲与老师不相邻，乙与老师相邻 D．甲、乙相邻

【答案】CD

【分析】根据题意，依次分析四个选项各有几种不同的站法，即可选出答案.

【详解】对于A，甲、乙只能站左、右两端，有2种站法，

丙、丁在老师相邻两边，有2种站法，

所以有种站法，不符合；

对于B，同A一样，有4种站法，不符合；

对于C，甲站两端，有2种站法，乙与老师相邻，有2种站法，

丙、丁站剩下位置，有2种站法，所以有种站法，C符合；

对于D，甲、乙要么都在老师左边，要么都在老师右边，

且甲、乙还可以相互交换，有种站法，

丙、丁站剩下两个位置，有2种站法，所以共有种站法，D符合．

故选：CD.

三、单选题

10．设A，是两个事件，且发生A必定发生，，给出下列各式，其中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合和事件、积事件的概念及条件概率公式，即可求解．

【详解】解：发生必定发生，

（A），（B），故A，D错误，

，故B错误，

，故C正确．

故选：C．

四、多选题

11．甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则（    ）

A．B与相互独立 B．，，两两互斥

C． D．

【答案】BC

【分析】根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，由条件概率公式计算出概率判断C，由互斥事件与独立事件概率公式计算概率判断D．

【详解】事件的发生与事件的发生有影响，因此事件的发生与事件不独立，A错；

中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；

，C正确；

，D错．

故选：BC．

12．为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（    ）

A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强

B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强

C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标

D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强

【答案】ABC

【分析】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可．

【详解】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，

而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，

故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；

由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确；

由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误．

故选：ABC．

五、填空题

13．若，且，则用排列数符号表示为__________．

【答案】

【分析】逆用排列数公式可得结果.

【详解】从到一共有个数相乘，

相邻30个自然数相乘，且最大的自然数是，所以用排列数符号表示为．

故答案为：

14．的展开式中，各项系数之和为1，则实数_______．（用数字填写答案）

【答案】

【分析】通过给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和，即可求出．

【详解】解：令，得各项系数之和为，解得．

故答案为：．

15．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化，“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如下图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行中从左至右第5与第6个数的比值为________.

【答案】

【解析】第10行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，由此可得．

【详解】由题意第10行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，因此从左至右第5与第6个数的比值为．

故答案为：．

【点睛】本题考查数学文化，考查二项式系数与杨辉三角的关系．掌握二项式定理是解题关键．

16．如图所示，用不同的五种颜色分别为A，，，，五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，符合这些要求的不同着色的方法共有____．（用数字填写答案）

【答案】540

【分析】利用分步计数原理并按AD同色和AD不同色分类讨论，即可求得符合这些要求的不同着色的方法数.

【详解】按照的顺序依次着色：

当AD同色时，不同着色的方法有；

当AD不同色时，不同着色的方法有

则符合这些要求的不同着色的方法共有（种）

故答案为：540

六、解答题

17．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.

(1)求取到次品的概率；

(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？

【答案】(1)

(2)此次品由甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：

【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.

（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.

【详解】（1）取到次品的概率为

（2）若取到的是次品，则：

此次品由甲车间生产的概率为：.

此次品由乙车间生产的概率为：.

此次品由丙车间生产的概率为：.

18．已知.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值.

【答案】（1）945；（2）；（3）

【解析】（1）写出二项展开式的通项，令，即代入通项公式，即可得答案；

（2）即展开式的各项系数和，令，可得结论．

（3）令，再求出和，可得的值．

【详解】（1）∵

令，即，∴．

（2），即展开式的各项系数和，

在展开式中，令，可得

．

（3）令，

则，

，

，

．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．

19．（1）把6本不同的书分给3位学生，每人二本，有多少种方法？

（2）由这6个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？

（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？

【答案】（1）90；（2）156；（3）92.

【分析】（1）将6本书平均分为三组，再分给三位学生，可得答案;

（2）先考虑个位上的数字是不是0，因此分为两类情况考虑，可得答案；

（3）分三类情况考虑：会双语的导游都不选和选一个会双语的导游和选两个会双语的导游，求出每种情况的选择方法，可得答案.

【详解】（1）把6本不同的书分给3位学生，每人2本，的方法种方法；

（2）若个位是0，则有种，

若个位不是0，先从2､4中选一个，再从刚选的数字和0之外的4个中选1个放在首位，中间两位从剩余4个中选2个排上即可，共有种，

故这6个数字组成没有重复数字的四位偶数共个；

（3）分类计数：

若1个会双语的导游都不选，则有种，

若恰选1个会双语的导游，则有种，

若恰选2个会双语的导游，则有种，

故不同的选择方法有种.

20．已知，函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若函数恰有2个零点，则的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)或

【分析】（1）分类讨论并列出不等式组即可求得不等式的解集；

（2）按分类讨论，求得不同条件下符合以要求的的取值范围，进而得到函数恰有2个零点时的取值范围.

【详解】（1）时，，

不等式等价于或

解之得或，

则不等式的解集为或

（2）的根为；的两根为或

当时，函数恰有2个零点1和3，符合要求；

当时，函数恰有3个零点1和3和4，不符合要求；

当时，函数恰有2个零点1和4，符合要求；

当时，函数恰有1个零点4，不符合要求.

综上，若函数恰有2个零点，则的取值范围为或．

21．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.

（1）求男生甲被选中的概率；

（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；

（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）将所有的基本事件一一列举出来，从中找出该事件所发生的基本事件，从而计算概率；

（2）利用条件概率的公式即可计算结果；

（3）与（2）解法相同.

【详解】（1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，

从6名成员中挑选2名成员，有

，，，，，，，，

，，，，，，共有15种情况，，

记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A

事件M所包含的基本事件数为，，，，

共有5种，故．

（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，

不妨设女生乙为，

则，又由（1）知，

故．

（３）记“挑选的2人一男一女”为事件，则，

“女生乙被选中”为事件，，

故．

【点睛】本题考查了等可能事件的概率，列举法求古典概型的概率，条件概率的计算，属于中档题.

22．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）利用函数图像，借助于待定系数法，求出函数解析式，

（2）结合图像可知由药物释放完毕后的函数解析式中的可求得结果

【详解】（1）由图可知直线的斜率为，

所以图像中线段的方程为，

因为点在曲线上，所以，解得，

所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为，

（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，

即，解得，

所以从药物释放开始，至少需要经过小时，学生才能回到教室