山西省太原市第五中学校2024−2025学年高二下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份山西省太原市第五中学校2024−2025学年高二下学期5月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ）
A．11种B．22种C．30种D．60种
2．已知离散型随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．C．D．1
3．为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表：
若y关于x的回归直线方程为，则（ ）
A．2.82B．2.86C．2.88D．2.92
4．有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ）
A．24种B．48种C．96种D．144种
5．已知，则（ ）
A．364B．365C．728D．730
6．抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（ ）
A．270种B．180种C．150种D．90种
8．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（ ）
A．8B．7或8C．9D．8或9
二、多选题
9．已知，则满足不等式的的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象在的切线的斜率为0
B．函数在上单调递减
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值
11．将个数排成行列的一个数阵，如：
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知随机变量服从正态分布，且，则 .
13．曲线在点处的切线方程为 .
14．设随机变量，其中且，，若，，则 ．
四、解答题
15．近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人.
（1）用列联表表示上述数据；
（2）是否有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？
附：，其中.
16．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
17．某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）．
（1）用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望；
（2）消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率．
18．已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数．
(1)写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）；
(2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，；
(3)求证：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法；
第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法；
根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）．
故选C．
2．【答案】C
【详解】由已知可得，.
故选C.
3．【答案】B
【详解】由题意，得,，
所以，解得．
故选B．
4．【答案】D
【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法，
再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法，
则不同的坐法有种坐法.
故选D.
5．【答案】B
【详解】令，得①，
令，得②，
①+②，得，
所以.
故选B.
6．【答案】D
【详解】事件包含的基本事件有30个，则，事件包含的基本事件有8个，则，所以．
故选D．
7．【答案】C
【详解】先将5名学生分成三组，每组人数有1，1，3或2，2，1两种情况，
则不同的分组方法有，再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有种，
由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择方法有种．
故选C．
8．【答案】D
【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则，
若抽到名女性的可能性最大，则
即解得，
又，故或9．
故选D．
9．【答案】AB
【详解】因为，
所以，
即，又，
所以或4.
故选AB.
10．【答案】AD
【详解】由图可知，所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确；
由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误；
由图可知时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故C错误；
由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减，
故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确．
故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】由题意，根据等差数列的通项公式得,
根据等比数列的通项公式得.
因为，，所以，
解得（，舍去），故A正确；
所以.
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选:ACD.
12．【答案】/
【详解】由已知可得，
根据正态分布的对称性可知.
又，所以.
13．【答案】.
【详解】因为，
所以，而，，
因此曲线在点处的切线方程为：
.
14．【答案】/
【详解】因为，所以，，，
由，得，所以，
，
由，得，即，解得，
所以，．
15．【答案】（1）列联表见解析；
（2）有.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
（2）由（1）得的观测值为
所以有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以该二项式为，
则通项公式为：．
令，解得，
所以该二项式的展开式中的常数项为．
（2）因为，
易知：展开式第四项二项式系数最大，
即,
所以展开式中二项式系数最大的项.
17．【答案】（1）分布列见解析；
（2）
【详解】（1），，，，
故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线，
则的所有可能取值为、、，
，
，
，
则其分布列为：
则；
（2）由题意可得，
则
.
18．【答案】（1）证明见解析，
（2）
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以.
因为，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
（2）因为，
所以.
其中.
令，
，
两式相减，得.
所以，
所以.
19．【答案】(1);
(2)证明见详解；
(3)证明见详解.
【分析】（1）根据函数在处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）根据泰勒公式的定义，计算函数在处的阶泰勒展开式余项，介于与之间的常数，再通过导数判断单调性即可；
（3）计算函数在处的阶泰勒展开式为,并得，令，则，再利用累加法即可证明.
【详解】（1）由题意，函数，且，
则，
，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
.
（2）由（1）可知，，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
，
其中，介于与之间的常数，
所以，
因为为常数项，且，
所以函数为偶函数，
因为，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以，
故对任意的，.
（3）由（2）可知，函数在处的阶泰勒展开式为
，
所以，
令，
则，
所以，
即.
【关键点拨】本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.
x
300
350
400
450
500
y
1.8
1.7
1.5
1.4
1.1
0.1
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
关注
不关注
合计
男性消费者
50
50
100
女性消费者
30
70
100
合计
80
120
200