2024-2025学年北京市西城区育才学校高二下学期3月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区育才学校高二下学期3月月考数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2与8的等差中项是( )
A. −5B. 5C. 4D. ±4
2.某人通过普通话二级测试的概率是14，若他连续测试3次(各次测试互不影响)，那么其中恰有一次通过的概率是( )
A. 364B. 116C. 964D. 2764
3.船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气不好，将损失2000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气不好的概率为0.4，则出海效益的期望是( )
A. 2000元B. 2200元C. 2400元D. 2600元
4.已知数列an的通项公式是an=n3n+1，那么这个数列是( )
A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列
5.2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为( )
A. 18B. 14C. 13D. 12
6.设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，使Sn最小的n的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 4或5
7.在数列an中，a1=−3且an+1=an+11−an，则a2000=( )
A. −12B. −13C. 2D. −3
8.已知离散型随机变量X服从二项分布X∼B6,p，且EX=1，则DX=
A. 13B. 12C. 23D. 56
9.记Sn为数列an的前n项和.若an=n8−nn=1,2,⋯，则( )
A. an有最大项，Sn有最大项B. an有最大项，Sn有最小项
C. an有最小项，Sn有最大项D. an有最小项，Sn有最小项
10.世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛(俗称世俱杯)中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为23，该国女排获胜的概率为13，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为( )
A. 89B. 5781C. 2481D. 19
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知数列an为等差数列，a2+a8=8，则a1+a9= ．
12.若随机变量X的分布列为(如表)，
则a= ；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)= .(用数字作答)
13.从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．
14.随机揶两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则比p1,p2,p3大小关系是 ．
15.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图(2)，如此继续下去，得到图(3)，则第三个图形的边数 ﹔第n个图形的边数 ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知数列an中，an+1=2an,a4=8．
(1)求数列an的前5项；
(2)若等差数列bn满足b2=a3,b4=a5，求bn的前n项和Sn．
17.为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据(单位：小时)：
男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9；
女生组：5.5， 6， 6， 6， 6.5， 7， 7， 8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
(1)世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8−10(含8小时)小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；
(2)现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，X表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求X的分布列和数学期望E(X)；
(3)原女生组睡眠时间的样本方差为s02，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为s12，写出s02与s12的大小关系．(结论不要求证明)
18.小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示：
(1)从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；
(2)从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望E(X)；
(3)现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示：
将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为D3.有一种观点认为：若x1=x2,D11，则称an是“P数列”，
(1)若an=2n−1,bn=2n−1，判断an，bn是否是“P数列”；
(2)已知an是等差数列，a1=2，其前n项和记为Sn，若an是“P数列”，且Snp3>p1
15.【答案】48
3×4n−1

16.【答案】(1)数列an中，因为a4=8≠0，故an≠0，
故an+1an=2，所以数列an是等比数列，公比是2，
又因为a4=8，所以an=a4×2n−4=2n−1．
所以a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,a5=16；
(2)等差数列bn满足b2=4,b4=16，
设等差数列公差为d,2d=b4−b2=12，所以d=6，所以bn=b2+n−2×6=6n−8，
所以bn的前n项和Sn=n−2+6n−82=n3n−5=3n2−5n．

17.【答案】解：(1)设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A，
在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，
所以P(A)=417；
(2)由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B，
则P(B)=39=13，
“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C，
P(C)=18，
由条件可知，X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=(1−13)(1−18)=712，P(X=1)=(1−13)×18+13×(1−18)=924=38，
P(X=2)=13×18=124，
所以X的分布列为：
E(X)=0×712+1×924+2×124=1124；
(3)s02>s12．

18.【答案】解：(Ⅰ)设事件“从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分”为事件A，
根据表中的数据，在小明同学第一次测试的6科中，由4科成绩大于90分，
所以P(A)=46=23；
(Ⅱ)X的所有可能取值为0，1，2，
所以P(X=0)=C21C31C61C61=16，
P(X=1)=C41C31+C21C31C61C61=12，
P(X=2)=C41C31C61C61=13，
所以X的分布列为：
故X的数学期望为E(X)=0×16+1×12+2×13=76；
(Ⅲ)不正确．
19.【答案】(1)由an+1−an=2n+1−1−2n−1=2>1，则数列an是“P数列”，
由bn+1−bn=2n−2n−1=2n−1，当n=1时，20=1，则数列bn不是“P数列”．
(2)设等差数列an的公差为d，则an=a1+n−1d=dn−d+2，
由数列an是“P数列”，则an+1−an=d>1，
Sn=a1+ann2=d2n2+4−d2n，
Sn0恒成立，
令fx=3−d2x2+d2x，
当3−d26，二次函数fx开口向下，对称轴为直线x=d2d−6>0，
易知函数fx在d2d−6,+∞上单调递减，则数列3−d2n2+d2n无最小值，不符合题意；
当3−d2=0时，即d=6，fx=6x，当x≥1时，fx=6x≥6，符合题意；
当3−d2>0时，即1