2024-2025学年北京市西城区育才学校高三上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区育才学校高三上学期期中考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−3x+20,b>0，且a+2b−2=0，则ab的最大值为
A. 12B. 1C. 2D. 4
4.函数y=2sinωx+φ在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是( )
A. y=2sinx+3π8B. y=2sin2x−π4
C. y=2sinx2+7π16D. y=2sin2x+π4
5.在▵ABC中，“A>π4”是“sinA> 22”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)=lgax，g(x)=bx，的图像都经过点(14,2)，则ab的值为
A. 1B. 2C. 4D. 8
7.已知函数f(x)的部分对应值如表所示.数列an满足a1=1，且对任意n∈N∗，点an,an+1都在函数f(x)的图象上，则a2024的值为( )．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知向量a=sinθ,csθ，b=3,4，若a//b，则tan2θ等于( )
A. 247B. 67C. −2425D. −247
9.在直角梯形ABCD中，已知BC//AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P为CD的中点，则PA⋅PB的值为( )
A. −5B. −4C. 4D. 5
10.已知集合M={(x,y)∣y=f(x)}，若对于任意x1,y1∈M，存在x2,y2∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”.给出下列4个集合：
①M=(x,y)y=1x ②M=(x,y)∣y=ex−2
③M={(x,y)∣y=csx} ④M={(x,y)∣y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是( )
A. ②③B. ①②④C. ③④D. ①③④
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.(2x+1x)4的展开式中的常数项为 ．
12.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2，且a,b的夹角为π3，则a⋅b= ，|a+b|= ．
13.已知a≥0，函数fx=2x,x≤a x,x>a若a=0，则fx的值域为 ；若方程fx−2=0恰有一个实根，则a的取值范围是 ．
14.已知数列an满足an+1>an，且其前n项和Sn满足Sn+10时，求证：f(x)>x；
(3)讨论函数y=f(x)−bx(b∈R且为常数)零点的个数．
21.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn．
(1)求P1，P2；
(2)若Pn≥2020，求n的最小值；
(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.C
6.D
7.C
8.A
9.D
10.A
11.24
12.1
7

13.0,+∞；0,1∪[4,+∞)
14.−1n(答案不唯一)
15.①②④
16.(1)因为a2+a4=2a3=10，
∴a3=5，
∴2d=a3−a1=4，∴d=2，
∴an=2n−1；
(2)由题可知a2=3，又∵b1−a1=0,b2+a2=0，
∴b1=1,b2−3，
∴q=a2a1=−3，
∴bn=−3n−1．

17.(1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx−1，则f′x=3x2+2ax+b，
由题意f′1=2a+b+3=0f1=a+b=−1，解得a=−2,b=1，
当a=−2,b=1时，f(x)=x3−2x2+x−1，f′x=3x2−4x+1=x−13x−1，
当x1时，f’(x)>0，当130，即f(x)>x．
(3)由f(x)−bx=0得，b=exx2．
令φ(x)=exx2，则φ′(x)=ex(x−2)x3，
由φ′(x)>0得x>2或x