高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）抛物线的几何性质一等奖课件ppt

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前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？
下面以抛物线的标准方程y²=2px为例，研究抛物线的几何性质．
这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
在方程中，y²=2px 中，由p>0，y²≥0，可知x≥0．这表明，抛物线在y 轴的右侧，如图所示．当x的值增大时，y²的值也随着增大，即|y| 的值增大．
这说明，抛物线关于x轴对称．一般地，把抛物线的对称轴称为抛物线的轴．
在方程中，将y换成-y，方程不改变．
在方程中，令 y=0，得 x=0．因此，抛物线的顶点为原点．一般地，抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点．
抛物线上的点M 到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率，记作e．由抛物线的定义知，e=1．
为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？
桥梁的主要受力是桥面的荷载重量及自身重量，都是垂直向下的，采用抛物线拱形可以将垂直受力转移到横向的桥墩或岸边的地面，这样可以加宽桥梁下面的通道宽度，减少桥墩数量，因此，桥梁大多设计成抛物线拱形.
例1.根据条件，求抛物线的标准方程． （1）关于y轴对称，且过点P(4，-2) ； （2）对称轴为坐标轴，且过点P(10，5)．
解： （1） 由于物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点，故抛物线的焦点在y轴的负半轴上．
设拋物线的标准方程为x2=-2py(p>0).将点P的坐标(4，-2)代人方程，得42=-2p×(-2)，解得p=4．   因此，抛物线的标准方程为x2=-8y；
当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论．
例2.用“描点法”画出抛物线 y²=4x的图形．
分析：抛物线具有对称性,因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形.
例3.建设交通强国是全面建成社会主义现代化强国的重要支撑．2021年年底，我国高速公路里程已位居世界第一．在修建A市到B市的高速公路过程中，需要挖掘一条横截面如图（1）所示的隧道．已知横截面的顶部是抛物线拱，拱高为2m，跨度为6m，试建立平面直角坐标系，求抛物拱形线的方程．
解：以抛物线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图(2)所示，则抛物线方程可设为x²=-2py．