中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）椭圆的几何性质一等奖ppt课件

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在基础模块，我们利用圆的标准方程得到了圆的性质，是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？
(x-a)2+(y-b)2=r2. 方程称为以C(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程.
这说明，椭圆位于四条直线x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形框内，如图所示．
在椭圆的标准方程中，将y换成-y，方程不变．这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于x轴的对称点 P1(x,-y)也在椭圆上．因此,椭圆关于x轴对称．
同理，将x换成-x，方程不变.这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上．因此，椭圆关于y轴对称．  进一步，将x换成-x，同时y换成-y，方程不变．这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上．因此，椭圆关于原点对称．
综上所述，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，也关于坐标原点对称．x轴与y轴都称为椭圆的对称轴，坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心) ．
椭圆与它的对称轴的四个交点A1、 A2、 B1、B2，称为椭圆的顶点．线段A1A2和B1B2分别称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长．显然，椭圆的焦点在它的长轴上．
值得注意的是，由于a、b、c满足关系式b²+c²=a²，故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形．观察上图，可知 |OB1|=|OB2|=b，|OF1|=|OF2|=c，|B2F1|=|B2F2|=a，故有 |OB2|²+|OF2|²=|B2F2|² ．
因此，Rt△F2OB2(或Rt△ F1OB1)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系．
同样，可以得到椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴及离心率等基本性质．
为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？
可以降低分散液体对罐壁的压力，在装载相同体积下，同强度，椭圆型设计上可以缩小壁厚，减少材料。同时，也提高行车平衡能力，而且也便于清洗。如果是方型，就没办法把低下的油放干净，而且行车时油对壁的冲击很大.
例1.求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率焦点和顶点的坐标．
解:（1）因为椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以，点M、N就是椭圆的顶点,并且长半轴长a=4,短半轴长b=3 ．
由于椭圆的长轴在x轴上，故其焦点在x轴上．于是，所求椭圆的标准方程为
求椭圆的标准方程时,如果椭圆的交点位置不明确,应分别就焦点在x轴和y 轴上两种情形进行讨论．
分析 由于椭圆具有对称性，一般只需先画出椭圆在第一象限内的图形,然后利用对称性，画出全部图形．
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点，得到椭圆在第一象限内的图形．然后利用椭圆的对称性，画出全部图形．
（1）由a²=25，得a=5，则得到椭圆的两个顶点A1(-5,0)、 A2(5,0)； （2）由b²=9，得b=3，则得到椭圆的另外两个顶点B1(0,-3)、B2(0,3) ；  （3）依据椭圆的图形特征，用光滑的曲线连接四个点，则椭圆的大致图像就画好了．
我们可以利用椭圆的顶点和对称性画出大致图像．具体步骤如下：
1.求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．