中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）椭圆的标准方程优秀课件ppt

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中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一，它位于人民大会堂的西侧．观察上图，国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？
可以看出，图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线，人们称之为椭圆．那么，如何画出一个椭圆呢？
我们可以通过一个实验来完成．
（1）准备一个画板、一条定长的细绳、两枚图钉和一支笔；
（2）将绳子的两端固定在画板上的F1 和F2两点，并使绳长大于F1到F2的距离；
（3）用笔尖将细绳拉紧，保持笔杆与画板垂直，笔尖在画板上慢慢移动，就画出一个椭圆，如视频所示．
一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于| F1F2|)的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距．
显然，笔尖（即点M）移动时，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点F1 和F2的距离之和始终等于绳长（常数）．
1970年4月24日，我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”顺利升空,开创了中国航天史的新纪元，使我国成为全球第五个独立研制并发射人造地球卫星的国家．如图所示,它的预定运行轨道是以半径约为6371km的地球的中心F1为一个焦点的椭圆，近地点A 距离地球441km，远地点B距离地球2368km．那么，如何求出这颗卫星预定运行轨道的椭圆方程呢？
  我们知道，通过建立合适的平面直角坐标系，可以求出直线和圆的方程．那么，是否可以建立恰当的平面直角坐标系来求出椭圆的方程呢？
设椭圆焦距为2c(c>0),则焦点F1 、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0) ．
容易看出，椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形．
因此，以经过椭圆两焦点F1 、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
两边再平方，整理得a4+c²x²= a²x²+a²c²+ a²y² ，
移项并整理得 (a²-c²) x²+a²y²= a² (a²-c²) ．
由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a²-c² >0．
令a²-c² = b²得 (b>0)，则上式可化为并整理得 b²x²+a²y²= a²b² ．
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
解： （1）由于2c=6，2a=10，故c=3，a=5，从而b²=a²-c²=16.
例2.求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程．
于是有 c²=a²-b²=2．
解:（1）因为6>4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a²=6，b²=4．
于是有 c²=a²-b²=4-3=1．
因为4>3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a²=4，b²=3．
要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上．
解:由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a(a>0)，其中|PF1|=6 ．
又由椭圆的标准方程知，a²=100，a=10．于是有 6+|PF2|=2a=20，即 |PF2|=14．
1.根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).