江苏省锡东高级中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性考试 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省锡东高级中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性考试 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 分值：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 在中，，则是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的加法，可得答案.
【详解】由题意可得，则为等边三角形.
故选：B.
2. 已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A. 外心、重心、垂心B. 重心、外心、垂心
C. 重心、外心、内心D. 外心、重心、内心
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可.
【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心；
取的中点分别为，连接，
则有，
所以三点共线，三点共线，三点共线，
即N为的重心；
由，即，同理，
所以为垂线的交点，故为的垂心.
故选：A
3. 在中，则的最小内角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据小边对小角确定出最小角，设出三边用余弦定理解得.
【详解】易知最小角为A，设，由余弦定理：.
故选：A.
4. 如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（ ）
A. 3B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可.
【详解】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系，
，，设，
因为，所以，解得，所以，
又，所以，所以，，
所以．
故选：C．
5. 在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，求得，在三角形中，由余弦定理，即可求得结果.
【详解】根据题意，作图如下：
在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.
又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs∠BAC＝7，
所以BC＝.
故选：C.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属基础题.
6. 已知向量，且在上投影为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助投影向量定义计算可得，则可得，再借助模长公式计算即可得.
【详解】，故，
则，故.
故选：A.
7. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则该三角形的外接圆直径为（ ）
A. 14B. 7C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，借助正弦定理进行边角转化得到三边关系，代入余弦定理即可求解出，然后利用在正弦定理即可直接求解出三角形外接圆半径.
【详解】由已知，，
由正弦定理可得：，化简得：，
所以，
又因为中，，所以，
所以，
设三角形的外接圆半径为，
由正弦定理可得：，
所以该三角形的外接圆直径为.
故选：D.
8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A. －1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.
【详解】∵分别表示与方向的单位向量，
∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，
∵，∴的平分线与垂直，故.
取的中点，连接，则，
由题意得，，
∴.

如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，故.
设，则，∴，
∴，，
∴，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多项符合题目要求．全选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，已知，，，则边的长可能为（ ）
A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】AC
【解析】
【分析】利用余弦定理计算可得.
【详解】因为，，，
由余弦定理，即，
即，解得或.
故选：AC
10. 已知向量满足，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则
C. 在方向上的投影向量为
D. 若，则与的夹角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C.
【详解】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，因为，故B正确；
对于C：在方向上的投影向量为，故C错误；
对于D：因为，所以，
因为，所以与的夹角为，故D正确.
故选：ABD.
11. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 在中，若，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D.
【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确；
对于B，锐角中，，则，
故，B正确；
对于C，在中，若，则，
即得，故或，
故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，，，则，
故，，结合，可知是等边三角形，D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
13. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为______米.

【答案】
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度.
【详解】由题知，，，则，，
又，所以，所以，，
在中，，
根据正弦定理有，
且，
则，
在中，.
所以山高为米.
故答案为：.
14. 如下图，在梯形中，，，，，，则______，若是线段上的动点，且，则的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可.
【详解】因梯形中，，，所以，
所以，解得.
以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系，
由对称性不妨设点在点左侧，设，，，
则，，，
所以，
所以当时，取得最小值，
最小值为，
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤．
15. 已知向量.
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值；
（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
【小问2详解】
若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
16. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线．
（1）求实数的值；
（2）已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A坐标．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知有，结合三点共线有，得，根据已知列方程求参数即可；
（2）根据已知得，结合的坐标表示求点坐标.
【小问1详解】
由题意，，
由三点共线，存在实数k，使得，
即，得，
是平面内两个不共线的非零向量，
，解得．
【小问2详解】
，
由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则，
设，则，，
所以，解得，即点A的坐标为．
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【小问1详解】
由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
【小问2详解】
因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）设，，试用，表示；
（2）求；
（3）设，，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的基底表示向量.
（2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解.
（3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
由，得，所以
【小问2详解】
在等边中，，
由（1）得，
，，，
，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
19. 在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小．
（2）若，的面积为，求的周长．
（3）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式可得，由此可得结果.
（2）根据面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形的周长.
（3）根据，利用两角差的余弦公式及辅助角公式化简，结合的范围即可求出答案.
【小问1详解】
∵，∴，即，
∵，∴，
∴，故.
【小问2详解】
由（1）得，，
∵的面积为，∴，即，解得，
由余弦定理得，，
∴，故的周长为.
【小问3详解】
由得，则，
∴
.
∵为锐角三角形，∴，故，
∴，故，
∴，即的取值范围是.