江苏省锡东高级中学2024−2025学年高二下学期3月阶段性考试 数学试卷【含答案】

这是一份江苏省锡东高级中学2024−2025学年高二下学期3月阶段性考试 数学试卷【含答案】，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列求导结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
3．函数在区间内可导，且若，则（ ）
A．B．
C．D．不确定
4．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
6．已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ）
A．1B．C．D．
7．若在处取得极大值，则的值为（ ）
A．或B．或C．D．
8．若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若函数在上单调递减，则实数a值可能为（ ）
A．B．1C．D．4
10．已知曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是（ ）
A．1B．C．2D．0
11．已知函数，则（ ）
A．若，则有三个零点B．若，则函数存在个极值点
C．在单调递减，则D．若在恒成立，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为 .
13．已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为 .
14．函数，当时，零点的个数是 ；若存在实数，使得对于任意，都有，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，为的导函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极值.
16．已知函数，当时取极小值，当时取极大值.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
17．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求正实数的取值范围.
18．已知函数．
(1)若函数在上有2个零点，求m的取值范围；
(2)对任意的，存在，使得成立，试确定m的取值范围．
19．函数.
(1)若函数在上存在极值，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，当时，恒有，求实数的取值范围；
(3)是否存在实数，当时，的值域为.若存在，请给出证明，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【解析】利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选D.
2．【答案】A
【详解】易知函数定义域为，
可得，显然，
令，可得，
因此函数的单调递减区间是.
故选A.
3．【答案】B
【详解】根据导数定义可得：
.
故选B.
4．【答案】B
【详解】由可得，
令可得，即.
故选B.
5．【答案】D
【详解】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；故选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
6．【答案】C
【详解】，则，切点坐标为，
又，则切线斜率，
所以曲线在点处的切线是，即，
取，得，取，得，
故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：.
故选C.
7．【答案】C
【详解】因为，则
又在处取得极大值，
，解得或，
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极小值，与题意不符；
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极大值，符合题意，则，
故选C.
8．【答案】A
【详解】因为，
所以，设，
则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；.
故
所以，得到.
故选A.
9．【答案】CD
【详解】根据题意可得函数定义域为，
可得，
若函数在上单调递减，可得在上恒成立；
即在上恒成立，所以，
根据对勾函数性质可得
所以，
因此实数a值可能为，4.
故选CD.
10．【答案】BD
【详解】解：令，则，则，
∴在处的切线方程为，即.
又与有且仅有一个公共点，
∴，整理得，
当时，，可得，
当时，显然只有一个解，符合题设；
∴或.
故选BD.
11．【答案】ABD
【详解】对于选项A：若，，，由，得：，
当时，，得：在上单调递减；
当和时，，得：在和上单调递增；
所以函数有极大值，有极小值，
所以三次函数有三个零点，故A选项正确；
对于选项B，若，，
由，得有两个解，
当和时，，
在和上单调递增；
当时，，
在上单调递减，
所以存在两个极值点，故B选项正确；
对于选项C，由题意可知：是解集的子集，
当时，显然恒成立；
当时，，由于，可得：，即；
综上可得：，故C选项错误；
对于选项D，当时，恒成立，
当，令，则，
令（），
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故，则；
当，令，则，
令（），
，
当时，，单调递增；
所以，则；
综上所述：若在恒成立，则，故D选项正确.
故选ABD.
12．【答案】8
【详解】易知，依题意可得，
所以或（舍），
因此时，液体上升高度的瞬时变化率为.
13．【答案】
【详解】由函数可知，
若函数在上有极值，可得导函数在上有零点，
显然在上单调递增，
所以，即，解得.
经检验时，符合题意.
14．【答案】 1
【详解】时，，显然时，，时，，，零点为．只有1个零点．
若存在实数，使得对于任意，都有，所以是函数的最小值．
，时，，．
若，则时，恒成立，单调递减，，
时，，，，
所以此时无最小值．
，则时，，递减，时，，递增，
极小值，
时，，
时，无最小值，时，最小值，
综上，的范围是．
15．【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减
(2)极大值为，极小值为
【详解】（1）易知，.
可得，
令，解得，，
由得或，此时函数在和上单调递增；
由得，此时函数在上单调递减，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）函数与的变化如下表：
由表格可知：当时，函数取得极大值，，
当时，函数取得极小值，.
因此函数的极大值为，极小值为.
16．【答案】（1）（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）首先求出导数，依题意可得、为方程的两个根，从而得到方程组，解得、，即可求出，再用点斜式求出切线方程；
（2）列出表格，找出及的变化情况，即可得到函数的最值；
【详解】解：（1）函数，
.
又分别对应函数取得极小值、极大值，
为方程的两个根，
.解得：，
.
当时，，即在曲线上.
又切线斜率为，
故所求切线方程为，即为.
（2）当变化时，及的变化情况如下表：
在上的最大值为，最小值为.
17．【答案】（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）且，
∴时，即单调递增；
时，有，即在上单调递增；有，即在上单调递减；
综上，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题设，，即恒成立，
令，则，
∴由（1）知：时有极小值也是最小值，故只需即可.
若，则，即在上递减，又，
∴时，，即恒成立.
∴正实数的范围为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为在上有2个零点，所以即有2个根，
令与有2个交点，
，在单调递减；在单调递增；
所以，
又因为，
所以与有2个交点可得，即得.
（2）因为对任意的，存在，使得成立，
所以，由（1）知的最小值为，
因为，
，
令，
因为，所以，所以，
所以，所以单调递增，所以，
所以，即得.
19．【答案】(1)
(2)
(3)存在，证明见解析
【分析】（1）由题意可得函数在区间上存在极值，即在上有实数解，利用导数解得即可；
（2）由（1）可得在上单调递减，故时，恒有，等价于，在上恒成立．令，则上述问题等价于函数在上单调递减，利用导数解得即可；
（3）由（1）知，在时，，．结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数m，n符合题意，其中n=1．故只要证明在内有一解，即在内有一解，令，利用判断函数的单调性，证明函数在上有零点，即可得出结论．
【详解】（1）由得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，，
，解得，
即实数的取值范围是.
（2）由（1）知在上单调递减，
，由得
，
即，恒成立.
令，则上述问题等价于函数在上单调递减，
又在上恒成立，得在上恒成立，
而在上的最小值为，故得.
（3）由（1）知，在时，.
结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数符合题意，其中.
故只要证明在内有一解，即在内有一解，
令，则
由得，，
当时，，当时，，
在上，
又
存在，使得，满足
，即在内有一解.
综上所述，存在实数，满足当时的值域为.+
-
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增