2024-2025学年江苏省锡东高级中学高一下学期3月阶段性考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省锡东高级中学高一下学期3月阶段性考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在△ABC中，|AB|=|BC|=|AB+BC|，则△ABC是( )
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
2.已知点O、N、P在▵ABC所在平面内，且OA=OB=OC，NA+NB+NC=0，PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则点O、N、P依次是▵ABC的( )
A. 外心、重心、垂心B. 重心、外心、垂心C. 重心、外心、内心D. 外心、重心、内心
3.在△ABC中，a:b:c=2:3:4,则ΔABC的最小内角的余弦值为( )
A. 78B. 1116C. 524D. −14
4.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，建立如图所示的平面直角坐标系，且A0,3,C3,0，B0,0，AM=12MC, BM=MD，则DA⋅DC=( )
A. 3B. 1C. 2D. 4
5.在平面四边形ABCD中，∠D=90°，∠BAD=120°，AD=1，AC=2，AB=3，则BC=( )
A. 5B. 6C. 7D. 2 2
6.已知向量a=1,3,b=−2,4，且a在b上的投影为λb，则a−λb=( )
A. 5B. 6C. 2 2D. 10
7.在▵ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+bsinA−sinB=b+csinC，a=7，则该三角形的外接圆直径为( )
A. 14B. 7C. 7 33D. 14 33
8.已知非零向量AB与AC满足ABAB+ACAC⋅BC=0，且AB−AC=2 2，AB+AC=6 2，点D是▵ABC
的边AB上的动点，则DB⋅DC的最小值为( )
A. −1B. −14C. −15D. −78
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，已知A=30∘，a=4，b=4 3，则c边的长可能为( )
A. 4B. 5C. 8D. 10
10.已知向量a，b满足a=3，b=2，则下列结论正确的有( )
A. 2a+3b⊥2a−3b
B. 若a⋅b=6，则a//b
C. a在b方向上的投影向量为12a⋅bb
D. 若a+2b= 13，则a在b的夹角为2π3
11.下列命题中，正确的是( )
A. 在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB
B. 在锐角三角形ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B=60º，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(a−λb)⊥b，则λ= ．
13.鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点(A,B,P,Q在同一个平面内)，在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高PQ为 米.

14.如下图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=60 ∘，AB=3，BC=6，AD⋅AB=−32，则AD= ，若M,N是线段BC上的动点，且MN=1，则DM⋅DN的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(2,3),b=(1,2),c=ka+b(k∈R)．
(1)若向量c与a−3b共线，求实数k的值；
(2)若c与a的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
16.(本小题15分)
已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=−e1+λe2，EC=−2e1+e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)已知e1=(2,1)，e2=(2,−2)，点D(3,5)，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a= 5c,csC=35．
(1)求sinA的值；
(2)若b=11，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，在等边▵ABC中，AB=3，点O在边BC上，且OC=2BO.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N．
(1)设AB=a，AC=b，试用a，b表示AO；
(2)求cs ⟨OA,OC⟩；
(3)设AB=mAM，AC=nAN，求1m+1n的最小值．
19.(本小题17分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知asinB=bsin2A．
(1)求角A的大小．
(2)若b=3，▵ABC的面积为3 3，求▵ABC的周长．
(3)若▵ABC为锐角三角形，求2csB+csC的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.C
5.C
6.A
7.D
8.C
9.AC
10.ABD
11.ABD
12.35
13.45 6+ 2
14.1 ；132
15.解：(1)因为a=(2,3),b=(1,2)，
所以c=ka+b=k(2,3)+(1,2)=(2k+1,3k+2)，
a−3b=(2,3)−3(1,2)=(−1,−3)，
因为向量c与a−3b共线，
所以−3(2k+1)+(3k+2)=0，
解得：k=−13 ;
(2)由c 与a的夹角是钝角，
则a⋅c