江苏省锡东高级中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性考试 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省锡东高级中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性考试 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
2. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对函数求导并令解不等式可得单调递减区间.
【详解】易知函数定义域，
可得，显然，
令，可得，
因此函数的单调递减区间是.
故选：A
3. 函数在区间内可导，且若，则（ ）
A. B.
C. D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数定义计算可得结果.
【详解】根据导数定义可得：
.
故选：B
4. 已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对函数表达式同时求导并令解方程即可求得结果.
【详解】由可得，
令可得，即.
故选：B
5. 设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A. 函数有极大值 和极小值
B. 函数有极大值 和极小值
C. 函数有极大值 和极小值
D. 函数有极大值 和极小值
【答案】D
【解析】
【详解】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
6. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导得切点处的导数值，由点斜式求解切线方程，求出截距即可求解面积.
【详解】，则，切点坐标为，
又，则切线斜率，
所以曲线在点处的切线是，即，
取，得，取，得，
故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：.
故选：C.
7. 若在处取得极大值，则的值为（ ）
A 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解.
【详解】因为，则
又在处取得极大值，
，解得或，
当，时，，
当时，，当时，，
则处取得极小值，与题意不符；
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极大值，符合题意，则，
故选：C.
8. 若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可.
【详解】因为，
所以，设，
则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；.
故
所以，得到.
故选:A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 若函数在上单调递减，则实数a值可能为（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】CD
【解析】
【分析】对函数求导并利用不等式恒成立以及对勾函数性质求得实数a取值范围可得结论.
【详解】根据题意可得函数定义域为，
可得，
若函数在上单调递减，可得在上恒成立；
即在上恒成立，所以，
根据对勾函数性质可得
所以，
因此实数a值可能为，4.
故选：CD
10. 已知曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是（ ）
A. 1B. C. 2D. 0
【答案】BD
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与有一个公共点，讨论、判断公共点的个数，即可得a值.
【详解】解：令，则，则，
∴在处的切线方程为，即.
又与有且仅有一个公共点，
∴，整理得，
当时，，可得，
当时，显然只有一个解，符合题设；
∴或.
故选：BD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 若，则有三个零点B. 若，则函数存在个极值点
C. 在单调递减，则D. 若在恒成立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导函数判断函数单调区间，从而得到极值点，得到函数大致图像就可以判断函数零点问题。函数在某个区
间内恒成立问题可以通过分离参数的方法得到对应函数，利用导函数求函数最值，从而判断参数的取值范围.
【详解】对于选项A：若，，，由，得：，
当时，，得：在上单调递减；
当和时，，得：在和上单调递增；
所以函数有极大值，有极小值，
所以三次函数有三个零点，故A选项正确；
对于选项B，若，，
由，得有两个解，
当和时，，
在和上单调递增；
当时，，
在上单调递减，
所以存在两个极值点，故B选项正确；
对于选项C，由题意可知：是解集的子集，
当时，显然恒成立；
当时，，由于，可得：，即；
综上可得：，故C选项错误；
对于选项D，当时，恒成立，
当，令，则，
令（），
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故，则；
当，令，则，
令（），
，
当时，，单调递增；
所以，则；
综上所述：若在恒成立，则，故D选项正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为______.
【答案】8
【解析】
【分析】根据瞬时变化率定义求导代入计算可得，即可求出结果.
【详解】易知，依题意可得，
所以或（舍），
因此时，液体上升高度的瞬时变化率为.
故答案为：8
13. 已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导并根据极值定义以及二次函数性质解不等式即可求出结果.
【详解】由函数可知，
若函数在上有极值，可得导函数在上有零点，
显然在上单调递增，
所以f′(2)0，即4+4−4a0，解得.
经检验时，符合题意.
故答案为：.
14. 函数，当时，零点的个数是______；若存在实数，使得对于任意，都有，则实数的取值范围是______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】根据零点定义可确定零点个数，，求出导函数，由存在最小值得参数范围，
【详解】时，，显然时，，时，，，零点为．只有1个零点．
若存在实数，使得对于任意，都有，所以是函数的最小值．
，时，，．
若，则时，恒成立，单调递减，，
时，，，，
所以此时无最小值．
，则时，，递减，时，，递增，
极小值，
时，，
时，无最小值，时，最小值，
综上，的范围是．
故答案为：1；．
【点睛】本题考查函数零点个数问题，考查用导数研究函数最值．解题关键是分类讨论确定导函数的正负，得出的单调性，从而确定极值，解题时特别注意分段函数需要分段讨论，然后比较才可能得到最小值．
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，为的导函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减
（2）极大值为，极小值为
【解析】
【分析】（1）对函数求导求出导函数零点，即可得出其单调区间；
（2）根据（1）中的结论以及函数极值的定义代入计算可得结果.
【小问1详解】
易知，.
可得，
令，解得，，
由得或，此时函数在和上单调递增；
由得，此时函数在上单调递减，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
函数与的变化如下表：
由表格可知：当时，函数取得极大值，，
当时，函数取得极小值，.
因此函数的极大值为，极小值为.
16. 已知函数，当时取极小值，当时取极大值.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
【答案】（1）（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
（1）首先求出导数，依题意可得、为方程的两个根，从而得到方程组，解得、，即可求出，再用点斜式求出切线方程；
（2）列出表格，找出及的变化情况，即可得到函数的最值；
【详解】解：（1）函数，
又分别对应函数取得极小值、极大值，
为方程的两个根，
.解得：，
.
当时，，即在曲线上.
又切线斜率为，
故所求切线方程为，即为.
（2）当变化时，及的变化情况如下表：
在上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，导数的几何意义的应用，属于基础题.
17. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数，并讨论、研究的符号，进而判断的单调性；
（2）将问题转化为恒成立，构造中间函数，只需求时的范围即可.
【详解】（1）且，
∴时，即单调递增；
时，有，即在上单调递增；有，即在上单调递减；
综上，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题设，，即恒成立，
令，则，
∴由（1）知：时有极小值也是最小值，故只需即可.
若，则，即在上递减，又，
∴时，，即恒成立.
∴正实数的范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为恒成立，并构造函数并应用导数研究最值，进而求参数a的范围.
18. 已知函数．
（1）若函数在上有2个零点，求m的取值范围；
（2）对任意的，存在，使得成立，试确定m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把零点转化为与有2个交点，再求导函数得出最小值，进而得出参数范围；
（2）先把恒成立问题转化为最值关系，再分别求出导函数判定单调性，进而得出函数的最小值，最后列式计算求解.
【小问1详解】
因为在上有2个零点，所以即有2个根，
令与有2个交点，
，在单调递减；在单调递增；
所以，
又因为，
所以与有2个交点可得，即得.
【小问2详解】
因为对任意的，存在，使得成立，
所以，由（1）知的最小值为，
因为，
，
令，
因为，所以，所以，
所以，所以单调递增，所以，
所以，即得.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是把任意的，存在，使得成立，转化为.
19. 函数.
（1）若函数在上存在极值，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，当时，恒有，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，当时，的值域为.若存在，请给出证明，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得函数在区间上存在极值，即在上有实数解，利用导数解得即可；
（2）由（1）可得在上单调递减，故时，恒有，等价于，在上恒成立．令，则上述问题等价于函数在上单调递减，利用导数解得即可；
（3）由（1）知，在时，，．结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数m，n符合题意，其中n=1．故只要证明在内有一解，即在内有一解，令，利用判断函数的单调性，证明函数在上有零点，即可得出结论．
【小问1详解】
由得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，，
，解得，
即实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知在上单调递减，
，由得
，
即，恒成立.
令，则上述问题等价于函数在上单调递减，
又在上恒成立，得在上恒成立，
而在上的最小值为，故得.
【小问3详解】
由（1）知，在时，.
结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数符合题意，其中.
故只要证明在内有一解，即在内有一解，
令，则
由得，，
当时，，当时，，
在上，
又
存在，使得，满足
，即在内有一解.
综上所述，存在实数，满足当时的值域为.
【点睛】（1）利用导数研究具体函数单调性的步骤：①明确定义域；②求导；③令导数等于零；④结合导数的零点，分割定义域，分别研究不同区间上导数与零的大小；⑤根据导数与单调性的关系，可得结论.
（2）证明双变量不等式常用方法——构造函数，利用导数研究新函数的单调性，可得证.+
-
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增