江苏省锡东高级中学2023-2024学年高二下学期3月阶段性考试数学试题（原卷版+解析版）

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命题人： 审核人：
考试时间：120分钟分值：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40．0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 如果说某物体做直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（ ）
A. 4B. C. 4.8D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的定义即可求解.
【详解】根据导数的定义可得，在时的瞬时速度为
，
故选：D.
2. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据排列数公式化简不等式，然后即可求解.
【详解】由得，
即，解得，
又，，所以不等式的解集为.
故选：B
3. 已知函数，则函数在上的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数求得的单调区间，进而求得在区间上的最大值.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，，单调递减，，，单调递增.
∴当时，函数，
当时，函数，∴，
∴在上的最大值为.
故选:D.
4. 三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数恒成立，由判别式求解可得.
【详解】，
因为三次函数在上是减函数，
所以恒成立，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：A
5. 已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 的极大值为，极小值为
B. 在上单调递增
C. 的极小值为，极大值为
D. 在上单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象，判断函数的导数的符号，从而可求函数的单调性及极值.
【详解】解：当时，，由图象可得，
则，为增函数，D选项错误；
当时，，由图象可得
则，为减函数，B选项错误；
当时，由图象可得，
则，为减函数；
当时，，由图象可得
则，为增函数，
所以的极大值为，极小值为，选项A正确，C选项错误.
故选：A.
6. 5件不同的产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有（ ）种．
A. 60B. 48C. 36D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】先只考虑与产品相邻．此时用捆绑法，将和作为一个元素考虑，计算方法数．再排除既满足与相邻，又满足与相邻的情况，此时用捆绑法，计算方法数，进而可得结果．
【详解】先考虑产品与相邻，把作为一个元素有种方法，而可交换位置，所以有种摆法，
又当相邻又满足相邻，有种摆法，
故满足条件的摆法有种.
故选：C.
7. 已知，，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间，上，不等式恒成立，则实数
A. 有最大值B. 有最大值C. 有最小值D. 有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】求得的导数，可得切线的斜率，解方程可得，，求出的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到的最值．
详解】解：，，
，又点在直线上，
，，
，，，
当，时，，
在，上单调递增，
（1），在，上单调递增，
或，
的最大值为，无最小值，
故选：A．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
8. 已知且且且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令，利用导数研究其单调性后可得的大小.
【详解】因为，故，同理，
令，则，
当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
因为，故，即，而，
故，同理，，，
因为，故，
所以.
故选：D．
【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．
【详解】对于A，，选项A正确；
对于B，，所以选项B正确；
对于C，，选项C正确；
对于D，，选项D错误．
故选：ABC．
10. 已知点在函数的图象上，则过点A的曲线的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
先根据点在函数的图象上，可求出，再设出切点，求出在点处的切线方程，然后根据点在切线上，即可解出．
【详解】因为点在函数的图象上，所以．
设切点，则由得，，即，
所以在点处的切线方程为：，即．
而点在切线上，∴， 即，
解得或，∴切线方程为：和．
故选：AD．
【点睛】本题主要考查过某点的曲线的切线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
11. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是的极小值；
B. 函数有且只有1个零点
C. 在上单调递减；
D. 设，则.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由函数的定义域为，可知选项C错误，再利用导数求出极小值可判断选项A正确；由求导，可判断该函数在上单调递减且时其函数值为，可判断选项B正确；对求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D正确.
【详解】函数的定义域为，可知C错误，
对A，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，故A正确；
对B，，其定义域为，
，
所以函数在上单调递减，又时其函数值为，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对D，，其定义域为，
，令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，也是最小值，
所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 有个座位连成一排，安排个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有__________种(用数字作答).
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊位置法，由两个空位相邻，对这两个空位的位置进行分类讨论，即可得解.
【详解】6个座位编号为，
1，2座位为空，另一空位在4，5，6，共有种可能，
2，3座位为空，另一空位在5，6，共有种可能，
3，4座位为空，另一空位在1，6，共有种可能，
由于对称性，4，5座位为空和5，6座位为空分别和2，3座位为空和1，2座位为空情况相同，
总共可能数为，
故答案为：.
13. 已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型.
14. 若表示从左到右依次排列8盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：
（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；
（2）灯在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的，要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作，
如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要________次操作；
如果除灯外，其余7盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要________次操作，
【答案】 ①. 3 ②. 21
【解析】
【分析】利用列举法求得把灯关闭最少需要的操作次数；先用列举法求得关闭前个灯最少需要的操作次数，然后乘以再加上，得到使所有灯都开着最少需要的操作次数.
【详解】如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要的操作如下，
设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下，共次.
①关闭前个灯最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，
操作如下：，共次.
②此时前盏灯的状态如下：，操作次，变为，打开.
③将步骤①倒过来做一遍，打开前个灯，共次操作.
综上所述，如果除灯外，其余7盏灯都处于开灯状态，
那么要使所有灯都开着最少需要次操作
故答案为：3 ；21.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）已知二次函数，其图象过点，且，求的值；
（2）设函数，求曲线在处的切线方程．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）由题可得，代入解析式，求出，代入，解方程可得的值；
（2）求出，得到切线斜率，再由点斜式方程可得切线方程.
【详解】（1）由题可得，即，
又，由，可得，
解得：，；
（2）由函数，可得：，，
所以，即曲线在处的切线的斜率为，切点为，
所以曲线在处的切线方程为，即
16. 已知函数．
（1）若是的极值点，求函数的单调性；
（2）在（1）的条件下，当时，求的最值．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增．
（2）最小值为，最大值为．
【解析】
【分析】（1）求出原函数的导函数，结合求得，代入导函数，得到，再由在上单调递增，且时，可得当时，，单调递减；当x＞1 时，，单调递增；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增,计算可得，计算，，比较大小可得最大值.
【小问1详解】
因为是的极值点，
所以，可得．
所以，.
因为在上单调递增，且时，，
所以时，，，单调递减；
时， ，，单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
在（1）的条件下，在上单调递减，在上单调递增．
当时，在上单调递减，在上单调递增．
求，，，
，
∴.
所以，当时，求的最小值为，最大值为．
17. 用这六个数字.
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比大的四位数？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）无重复数字的四位偶数可分为：0在个位，2在个位，4在个位，分别求出其种类，再求和即可；
（2）无重复数字且为的倍数的五位数可分为：个位数上的数字是0的五位数与个位数上的数字是5的五位数，分别求出其种类，再求和即可；
（3）无重复数字且比大的四位数可分为：千位为2、3、4、5的四位数，千位为1百位为4或5的四位数，千位为1百位为3十位为4或5的四位数，分别求出其种类，再求和即可.
【小问1详解】
符合要求的四位数可分为三类：第一类：0在个位时有个；
第二类：2在个位时，首位从中选定1个（有种），十位和百位从余下数字中选（有种），于是有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个；
由分类加法计算原理知，共有四位偶数个；
【小问2详解】
符合要求的五位数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个；
个位数上的数字是5的五位数有个；
故满足条件的五位数的个数共有个；
【小问3详解】
比大的四位偶数可分为三类：
第一类：千位为2、3、4、5的四位数，共有个；
第二类：千位为1，百位为4或5的四位数, 共有个；
第三类：千位为1，百位为3，十位为4或5的四位数，共有个.
由分类加法计数原理知，无重复数字且比大的四位数共有个.
18. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.
【答案】（1）；（2）当年产量万件时，年利润最大，最大年利润万元.
【解析】
【分析】（1）根据题中条件，分和两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；
（2）根据（1）中解析式，分别求出和两种情况下，的最大值，即可得出结果.
【详解】（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，
由题意可得，当时，；
当时，；
所以；
（2）由（1）可得，当，，
当且仅当时，等号成立；
当时，，则，
所以，当时，，即函数单调递增；当时， ，即函数单调递减；
所以当时，取得最大值；
综上，当时，取得最大值万元；
即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是万元.
【点睛】思路点睛：
导数的方法求函数最值的一般步骤：
（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；
（2）根据函数单调性，即可求出函数的最值.
19. 已知函数，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，若对任意都有成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入后对函数求导，然后结合导数与单调性及最值的关系即可求解；
（2）由已知不等式可构造函数，然后转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【详解】解：（1）由函数，可得的定义域为，
当时，的导数，令，解得；令，解得，
所以函数在单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值即最小值为.
（2）令，
因为对于任意都有，只须在上恒成立，又由，且，
记，则，
由已知，所以对于任，都有恒成立，
又因为，所以在上单调递增， 所以，
由，解得，所以当时，对任意都有成立.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值及证明不等式，体现了转化思想的应用，属于中档题．