人教版数学高中必修一高一下册期末精品复习试卷（含详细解析）

这是一份人教版数学高中必修一高一下册期末精品复习试卷（含详细解析），共108页。
2．（2024春•梅河口市校级期末）已知A（3，0），B（0，3），C（csα，sinα），若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024春•梅河口市校级期末）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为64π，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4B．2C．8D．6
4．（2024春•梅河口市校级期末）已知Rt△ABO的面积为4，O为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．4
5．（2024春•长春期末）空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024春•长春期末）某花农连续8天采摘的栀子花重量依次为7.2，7.4，8.7，8.1，8.9，8.4，8.6，8.9（单位：斤），则这组数据的第75百分位数为（ ）
A．8.9B．8.8C．8.7D．8.6
7．（2024春•长春期末）若复数z满足（2+3i）z＝i2024+8i2025，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（2024春•长春期末）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
9．（2024春•柯坪县校级期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{1，2}，则集合A∪B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}
10．（2024春•清镇市校级期末）两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
11．（2024春•清镇市校级期末）已知，1），，且，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024春•清镇市校级期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，则平面A1BC1到平面AD1C的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2024春•怀宁县校级期末）已知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．（1，1，0）B．（1，2，0）C．（2，2，0）D．（1，1，1）
14．（2024春•怀宁县校级期末）已知复数3+4i是关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，则m+n＝（ ）
A．﹣13B．﹣1C．19D．31
15．（2024春•怀宁县校级期末）若 P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系是（ ）
A．事件A与B互斥但不对立
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
16．（2024春•怀宁县校级期末）已知样本数据x1，x2，…，x9的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据x10，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ）
A．18.2B．19.6C．19.8D．21.7
17．（2024春•怀宁县校级期末）已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的半径为（ ）
A．B．C．2D．
18．（2024春•兴义市校级期末）设z＝5+i，则i（+z）＝（ ）
A．10iB．2iC．10D．﹣2
19．（2024春•兴义市校级期末）若事件E与F相互独立，且P（E）＝P（F）＝，则P（E∩F）的值等于（ ）
A．0B．C．D．
20．（2024春•兴义市校级期末）在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若α∩β＝m，且l⊥m，则l∥α
D．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
21．（2024春•韶关校级期末）已知向量，若，则λ＝（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
22．（2024春•韶关校级期末）cs＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
23．（2024春•神木市校级期末）下列叙述中，错误的是 （ ）
A．数据的标准差比较小时，数据比较分散
B．样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响
C．数据的极差反映了数据的集中程度
D．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
24．（2024春•神木市校级期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（ ）
A．甲和乙相互独立B．甲和丙相互独立
C．甲和丁相互独立D．丁和丙相互独立
25．（2024春•神木市校级期末）如图，已知四棱锥M﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共9小题）
（多选）26．（2024春•梅河口市校级期末）已知复数z1，z2，则下列结论正确的是（ ）
A．|z1+z2|＝|z1|+|z2|
B．|z1•z2|＝|z1|•|z2|
C．若|z1|＝|z2|，则
D．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2•
（多选）27．（2024春•梅河口市校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝4，E为CD的中点，M是A1C上一点，N是平面AED1上一点，则（ ）
A．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为24π
B．A1C⊥AE
C．A1C∥平面AED1
D．MN的最小值为
（多选）28．（2024春•长春期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为B1C1边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．不存在点P，使得D1P⊥AD1
B．点B到平面ACM的距离为
C．点A1到直线AM的距离为1
D．点N在棱BB1上，且B1N＝4NB，存在点P，使得D1P⊥NP
（多选）29．（2024春•怀宁县校级期末）连续地掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，记事件A为“第一次出现2点”，事件B为“第二次的点数小于等于4点”，事件C为“两次点数之和为奇数”，事件D为“两次点数之和为9“，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B不是互斥事件B．B与D相互独立
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
（多选）30．（2024春•兴义市校级期末）给定一组数据165 168 170 172 172 175 176 176 176 180，下列判断正确的是（ ）
A．众数为176B．中位数为173
C．平均数为173.5D．极差为15
（多选）31．（2024春•兴义市校级期末）已知平面向量，，则（ ）
A．当x＝2时，
B．若，则x＝﹣1
C．若⊥，则x＝1
D．若与的夹角为钝角，则x∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）
（多选）32．（2024春•韶关校级期末）下列结论正确的是（ ）
A．当m＝﹣1时，复数z＝m+1+（m﹣1）i是纯虚数
B．复数z＝（1+i）（1﹣i）对应的点在第一象限
C．复数z及其共轭复数满足，则z＝1﹣i
D．复数6+5i与﹣3+4i分别对应向量与，则向量表示的复数为9+i
（多选）33．（2024春•韶关校级期末）已知是函数f（x）＝2asinxcsx﹣2cs2x﹣1的一个零点．则（ ）
A．a＝
B．函数f（x）的值域为[﹣2，2]
C．函数f（x）的单调递减区间为，（k∈Z）
D．不等式f（x）≥0的解集为∅
（多选）34．（2024春•神木市校级期末）在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50，100]，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间[50，60）的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ）
A．n＝200
B．考生成绩的众数为72
C．考生成绩的第70百分位数为75
D．估计该市考生成绩的平均分为70.6
三．填空题（共7小题）
35．（2024春•梅河口市校级期末）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长均相等，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，，则该四棱台的体积为 ．
36．（2024春•长春期末）如图所示，圆锥SO的底面圆半径OA＝1，侧面的平面展开图的面积为3π，则此圆锥的体积为 ．
37．（2024春•长春期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正切值为 ．
38．（2024春•柯坪县校级期末）已知扇形的圆心角为120°，半径为2厘米，则扇形面积是 平方厘米．
39．（2024春•清镇市校级期末）已知向量，则x＝ ．
40．（2024春•兴义市校级期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖懦是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB＝3，AC＝4，现将△ABD沿AD翻折成△AB'D，使得四面体AB'CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 ．
41．（2024春•神木市校级期末）若某次调查样本数据为1，a，5，y，7，且a，y是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个样本的方差是 ．
四．解答题（共19小题）
42．（2024春•梅河口市校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB﹣asinA+（b+c）sinC＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若角A的角平分线AD与BC交于点D，AD＝4，AC＝6，求△ABC的面积．
43．（2024春•梅河口市校级期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点．
（1）求证：平面AB1C⊥平面BDD1B1；
（2）求平面AB1C与平面ACE夹角余弦值．
44．（2024春•长春期末）某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）．现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）．
（1）求a；
（2）若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；
（3）每户用电量不超过m度的电费是0.5元/度，超出m度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度，则m至少应为多少（m为整数）？
45．（2024春•柯坪县校级期末）如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E是DD1的中点．
（1）求证：A1C1∥平面ACE；
（2）若BD1＝6，求点B到平面AEC的距离．
46．（2024春•清镇市校级期末）在△ABC中，已知BC＝4，AC＝3，P在线段BC上，且＝，＝，设＝，＝．
（1）用向量，表示；
（2）若∠ACB＝60°，求•．
47．（2024春•清镇市校级期末）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD．
（2）若三角形BCD为边长为2的正三角形，BD＝DA，求异面直线BM和AC所成角的余弦值．
48．（2024春•清镇市校级期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinC+sinB）（c﹣b）＝a（sinA﹣sinB）．
（1）求角C的大小；
（2）设c＝3，，求△ABC的周长．
49．（2024春•怀宁县校级期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），⋯，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的第75百分位数；
（2）在样本答卷成绩为[70，80），[80，90），[90，100]的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在[80，90）中的市民应抽取多少个？
（3）已知落在[50，60）的平均成绩是61，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2．
50．（2024春•怀宁县校级期末）如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠CDA＝60°，P为棱SA上一点，AB＝2AD＝2CD＝2AP＝4PS＝4．
（1）证明：SC∥平面PBD；
（2）求二面角S﹣DC﹣A的大小；
（3）求点A到平面PBD的距离．
51．（2024春•兴义市校级期末）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b2+c2﹣a2＝bc．
（1）求∠A的大小；
（2）若sin2A+sin2B＝sin2C，求∠B的大小．
52．（2024春•兴义市校级期末）已知平面向量，．
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角．
53．（2024春•兴义市校级期末）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D是AB的中点，E是CD的中点，记＝，＝，＝．
（1）用向量，，表示向量；
（2）利用向量法证明：OE⊥AB．
54．（2024春•兴义市校级期末）某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率．
55．（2024春•兴义市校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为线段AC的中点．
（1）证明：B1C∥平面A1BD；
（2）若AB⊥BC，AA1＝4，，求C1到平面A1BD的距离．
56．（2024春•韶关校级期末）设△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，求△ABC的面积．
57．（2024春•韶关校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，E，F分别为棱A1C1，BC的中点．
（1）求证：C1F∥平面ABE；
（2）求证：平面ABE⊥平面BCC1B1；
（3）若AB＝BC＝AA1＝2，求二面角E﹣AB﹣C的余弦值．
58．（2024春•韶关校级期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）﹣1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知常数λ∈R，n∈N+，且方程f（x）﹣λsinx＝0在（0，nπ）内恰有2025个实数解，求常数λ与n的值．
59．（2024春•神木市校级期末）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DE⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB∥CD，ED＝1，CD＝2AB＝2AD＝2，F为CD的中点．
（1）证明：BE⊥AF；
（2）求直线EF与平面CEB所成角的正弦值．
60．（2024春•珲春市校级期末）已知平面向量，，，且．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，且，求t的值．
孙大明白开学前最后一搏（加把劲）
参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
1．（2024春•梅河口市校级期末）复数（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．1B．2C．D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】C
【分析】化简复数z，再计算|z|的值．
【解答】解：复数z＝1﹣
＝1﹣
＝1﹣
＝1+i，
所以|z|＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的化简与模长计算问题，是基础题．
2．（2024春•梅河口市校级期末）已知A（3，0），B（0，3），C（csα，sinα），若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】两角和与差的三角函数；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；数学运算．
【答案】B
【分析】由A，B，C的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简得到sinα+csα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin（α+）的值．
【解答】解：∵＝（csα﹣3，sinα），＝（csα，sinα﹣3）
∴＝（csα﹣3）•csα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1
得cs2α+sin2α﹣3（csα+sinα）＝﹣1
∴，
故sin（α+）＝（sinα+csα）＝×＝
故选：B．
【点评】此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算，灵活运用两角和的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．
3．（2024春•梅河口市校级期末）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为64π，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4B．2C．8D．6
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】A
【分析】设圆柱底面圆的半径为r＞0，则圆柱的高为r，结合圆柱的侧面积公式运算求解．
【解答】解：设圆柱底面圆的半径为r＞0，则圆柱的高为r，
则石磨的侧面积为2×2πr×r＝64π，解得r＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题．
4．（2024春•梅河口市校级期末）已知Rt△ABO的面积为4，O为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．4
【考点】平面向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；不等式；数学运算．
【答案】B
【分析】以O为原点，OA、OB分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，设A（m，0），B（0，n），m＞0，n＞0，结合题意化简得mn＝8，然后利用基本不等式求出的最大值，可得答案．
【解答】解：根据题意，以O为原点，OA、OB分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
设A（m，0），B（0，n），且m＞0，n＞0，则S△OAB＝mn＝4，可得mn＝8，
则，，，可得P（1，2），
所以，，可得，
当且仅当m＝2n，即n＝2，m＝4时取等号．
因此，当n＝2，m＝4时，取得最大值为﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的面积公式、平面向量数量积的坐标表示、基本不等式及其应用，属于中档题．
5．（2024春•长春期末）空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：，，
则＝0+0+1＝1，，
故所求投影向量为：＝＝（0，）．
故选：C．
【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
6．（2024春•长春期末）某花农连续8天采摘的栀子花重量依次为7.2，7.4，8.7，8.1，8.9，8.4，8.6，8.9（单位：斤），则这组数据的第75百分位数为（ ）
A．8.9B．8.8C．8.7D．8.6
【考点】百分位数．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】B
【分析】根据百分位数的计算公式即可求解．
【解答】解：将数据从小到大排列为：7.2，7.4，8.1，8.4，8.6，8.7，8.9，8.9，
因为8×75%＝6，故第75百分位数为．
故选：B．
【点评】本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
7．（2024春•长春期末）若复数z满足（2+3i）z＝i2024+8i2025，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数对应复平面中的点．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】D
【分析】根据复数的乘方和乘法、除法运算法则计算（2+3i）z＝i2024+8i2025得z＝2+i，由共轭复数的定义得，再利用复数的几何意义判断其在第几象限即可得解．
【解答】解：因为（2+3i）z＝i2024+8i2025，
所以，
所以，所以复数在复平面内对应的点为（2，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
8．（2024春•长春期末）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】整体思想；数形结合法；概率与统计；数据分析．
【答案】C
【分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A，B，D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C．
【解答】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故选项A正确；
对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故选项B正确；
对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5万元，故选项C错误；
对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题．
9．（2024春•柯坪县校级期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{1，2}，则集合A∪B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}
【考点】并集及其运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．
【答案】D
【分析】直接利用并集的定义运算．
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，
则集合A∪B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：D．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
10．（2024春•清镇市校级期末）两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【考点】几何法求解直线与平面所成的角；必要不充分条件的判断．
【专题】对应思想；综合法；简易逻辑；数据分析．
【答案】B
【分析】根据直线所处不同位置可以分析充分性，再根据两直线平行，可判断与面所成角相等即可判断必要性．
【解答】解：由题意，当直线与平面所成的角相等时，两条直线可能平行、相交或异面，
则充分性不成立，
当两条直线平行时，此时与平面所成的角相等的，必要性成立，
所以两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查条件关系，属于基础题．
11．（2024春•清镇市校级期末）已知，1），，且，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据条件可得出，然后进行数量积的运算可求出和的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴，且，
∴＝，，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量长度的求法，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，是基础题．
12．（2024春•清镇市校级期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，则平面A1BC1到平面AD1C的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；逻辑推理．
【答案】B
【分析】证明B1D⊥平面A1BC1，B1D⊥平面AD1C，等体积法求B1点到平面A1BC1的距离和D点到平面AD1C的距离，可得平面A1BC1到平面AD1C的距离．
【解答】解：连接B1D，B1D1，
正方体中，DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
则DD1⊥A1C1，
正方形A1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，
DD1，B1D1⊂平面DD1B1，DD1∩B1D1＝D1，
所以A1C1⊥平面DD1B1，
又B1D⊂平面DD1B1，则有A1C1⊥B1D，
同理有A1B⊥B1D，A1C1，A1B⊂平面A1BC1，A1C1∩A1B＝A1，
所以B1D⊥平面A1BC1，
同理有B1D⊥平面AD1C，
正方体棱长为，则，，
设点B1到平面A1BC1的距离为h，由
＝，解得h＝2，
即点B1到平面A1BC1的距离为2，
同理点D到平面AD1C的距离为2，
，
则平面A1BC1到平面AD1C的距离为6﹣2﹣2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查平面与平面之间的距离，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
13．（2024春•怀宁县校级期末）已知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．（1，1，0）B．（1，2，0）C．（2，2，0）D．（1，1，1）
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】根据投影向量的概念求解即可．
【解答】解：，
则向量在上的投影向量为：．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间向量的投影公式，属于基础题．
14．（2024春•怀宁县校级期末）已知复数3+4i是关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，则m+n＝（ ）
A．﹣13B．﹣1C．19D．31
【考点】实系数多项式虚根成对定理．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】C
【分析】由题意可得3+4i和3﹣4i都是方程x2+mx+n＝0的根，结合方程的根与系数关系即可求解．
【解答】解：由题意可得3+4i和3﹣4i都是方程x2+mx+n＝0的根，
则m＝﹣6，n＝（3+4i）（3﹣4i）＝32+42＝25，则m+n＝19．
故选：C．
【点评】本题主要考查了方程根与系数关系的应用，属于基础题．
15．（2024春•怀宁县校级期末）若 P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系是（ ）
A．事件A与B互斥但不对立
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【答案】C
【分析】求出P（A），得到P（AB）＝P（A）P（B），从而得到事件A与B是相互独立事件．
【解答】解：∵P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，
∴P（A）＝1﹣＝，
∴P（AB）＝P（A）P（B）＝＝，
∴事件A与B是相互独立事件．
故选：C．
【点评】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（2024春•怀宁县校级期末）已知样本数据x1，x2，…，x9的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据x10，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ）
A．18.2B．19.6C．19.8D．21.7
【考点】方差；平均数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】C
【分析】利用平均数和方差的公式计算．
【解答】解：设增加的数为k，
则x1+x2+…+x9＝81，x1+x2+…+x9+k＝100，
所以k＝19，
又因为＝12，
所以＝108，
所以×[+（k﹣10）2]＝×[﹣2+9+81]＝×（108﹣2×81+2×9×9+9+81）＝19.8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平均数的方差的定义，属于基础题．
17．（2024春•怀宁县校级期末）已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的半径为（ ）
A．B．C．2D．
【考点】球内接旋转体．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；球；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆锥的侧面展开图是一个半圆可得l＝2r，再根据勾股定理可得，进而可得球O的半径．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，得l＝2r．
由圆锥的高为3，可得，即，故，
则球O的半径．（根据圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，可知圆锥的母线长等于球O的半径）
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：球与圆锥的关系，球的半径的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18．（2024春•兴义市校级期末）设z＝5+i，则i（+z）＝（ ）
A．10iB．2iC．10D．﹣2
【考点】共轭复数；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：因为z＝5+i，
则，
故，
所以 i（+z）＝10i．
故选：A．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数的四则运算，是基础题．
19．（2024春•兴义市校级期末）若事件E与F相互独立，且P（E）＝P（F）＝，则P（E∩F）的值等于（ ）
A．0B．C．D．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P（E∩F）＝P（E）•P（F），将P（E）＝P（F）＝代入即可得到答案．
【解答】解：P（E∩F）
＝P（E）•P（F）
＝×
＝．
故选：B．
【点评】相互独立事件的概率计算公式：
P（E∩F）＝P（E）•P（F），
P（E∪F）＝P（E）+P（F）．
20．（2024春•兴义市校级期末）在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若α∩β＝m，且l⊥m，则l∥α
D．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行；直线与平面垂直．
【答案】B
【分析】根据线面垂直的定义和定理，注意紧扣面面垂直的性质定理的条件逐项判断，分析可得答案．
【解答】解：A不正确，由面面垂直的性质定理可推出；C不正确，可能l⊂α；
B正确，由线面垂直的定义和定理，面面平行的性质定理可推出；
D不正确，由面面垂直的性质定理可知，α∩β＝m，且l⊥m，l⊥β，则l⊂α；
故选：B．
【点评】本题考查了空间线面的位置关系，用垂直和平行的定理去判断，考查了空间想象能力和逻辑推理能力．
21．（2024春•韶关校级期末）已知向量，若，则λ＝（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，
则，
，
故，解得λ＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
22．（2024春•韶关校级期末）cs＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；综合法；三角函数的求值．
【答案】D
【分析】直接利用诱导公式化简求值即可．
【解答】解：cs＝﹣cs＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数求值，是基本知识的考查．
23．（2024春•神木市校级期末）下列叙述中，错误的是 （ ）
A．数据的标准差比较小时，数据比较分散
B．样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响
C．数据的极差反映了数据的集中程度
D．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】对应思想；分析法；概率与统计；数学运算．
【答案】A
【分析】根据标准差，中位数，极差，平均数的定义，逐项判断即可．
【解答】解：数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误；
样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响，故B正确；
数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确；
任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确．
故选：A．
【点评】本题考查样本的数字特征，属于基础题．
24．（2024春•神木市校级期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（ ）
A．甲和乙相互独立B．甲和丙相互独立
C．甲和丁相互独立D．丁和丙相互独立
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【答案】C
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可逐一判断．
【解答】解：根据题意，甲乙是一个事件产生的两种结果，相互对立，A错；
因为错；
，故C对，
P丙丁＝0≠P丁•P丙，D错．
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
25．（2024春•神木市校级期末）如图，已知四棱锥M﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【答案】D
【分析】取AB的中点F，连接FC，FM，通过平移的方法，找出异面直线CM与AE所成角或其补角，然后解三角形求得答案．
【解答】解：已知四棱锥M﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，
如图，取AB的中点F，连接FC，FM，
因为底面ABCD是边长为2的正方形，E是CD的中点，所以CF∥AE，且，
所以异面直线CM与AE所成的角为∠FCM，
四棱锥的侧棱相等且为4，在△MAB中，由勾股定理得，
在△MCF中，由余弦定理得，
所以异面直线CM与AE所成角的余弦值为．
故选：D．
【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．
二．多选题（共9小题）
（多选）26．（2024春•梅河口市校级期末）已知复数z1，z2，则下列结论正确的是（ ）
A．|z1+z2|＝|z1|+|z2|
B．|z1•z2|＝|z1|•|z2|
C．若|z1|＝|z2|，则
D．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2•
【考点】复数的运算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】BD
【分析】根据题意，举出反例可得A、C错误，由复数模的性质分析A，由复数的乘法分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，取z1＝1+i，z2＝1﹣i，则，故A错误；
对于B，结合复数模的性质可知，|z1•z2|＝|z1|•|z2|，故B正确；
对于C，令z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而，故C错误；
对于D，由于z1•＝|z1|2，z2•＝|z2|2，
若|z1|＝|z2|，必有，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查复数的计算，注意复数模的性质，属于基础题．
（多选）27．（2024春•梅河口市校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝4，E为CD的中点，M是A1C上一点，N是平面AED1上一点，则（ ）
A．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为24π
B．A1C⊥AE
C．A1C∥平面AED1
D．MN的最小值为
【考点】球的体积和表面积；直线与平面平行；点、线、面间的距离计算．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【答案】ACD
【分析】设长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径为R，得到，可判定A正确；
根据线面垂直的判定定理结合条件，可判定B错误；
连接A1D交AD1连接EF，利用线面平行的判定定理，可判定C正确；
根据A1C∥平面AED1，得到M点到平面AED1的距离等于A点到平面AED1的距离，结合，可判定D正确．
【解答】解：对于A，由长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝4，
设长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径为R，
可得长方体的对角线长为，则，可得，
∴长方体的外接球的表面积为S＝4πR2＝24π，故A正确；
对于B，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得AA1⊥平面ABCD，
∵AE⊂平面ABCD，∴AA1⊥AE
假设A1C⊥AE，且AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C⊂平面AA1C，∴AE⊥平面AA1C，
又∵AC⊂平面AA1C，∴AE⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AE与AC不垂直，∴假设不成立，
∴A1C与AE不垂直，故B错误；
对于C，连接A1D交AD1于点F，连接EF，∵E为CD的中点，∴EF∥A1C，
又∵A1C⊄平面AED1，且EF⊂平面AED1，∴A1C∥平面AED1，故C正确；
对于D，∵A1C∥平面AED1，且点M为A1C上的一动点，
∴M点到平面AED1的距离等于A点到平面AED1的距离，设距离为d，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝4，
∴，∴，∴，
∴，
又由，可得，∴，
即MN的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查空间中点、直线、平面的位置关系，点到平面的距离等，属于中档题．
（多选）28．（2024春•长春期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为B1C1边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．不存在点P，使得D1P⊥AD1
B．点B到平面ACM的距离为
C．点A1到直线AM的距离为1
D．点N在棱BB1上，且B1N＝4NB，存在点P，使得D1P⊥NP
【考点】空间中点到平面的距离；空间向量语言表述线线的垂直、平行关系；圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得．
【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，
则，B1（1，1，1），A1（1，0，1），B（1，1，0），
A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），
设P（x，y，0）（0≤x，y≤1），
对于A：，，
则，所以D1P与AD1不垂直，
即不存在点P，使得D1P⊥AD1，故A正确；
对于B：，，，
设平面ACM的一个法向量为，
则，取，
则点B到平面ACM的距离，故B正确；
对于C：，
所以点A1到直线AM的距离，故C错误；
对于D，因为B1N＝4NB，所以，，
所以圆心为，
又x，y∈[0，1]，
所以轨迹为圆被四边形ABCD截得的4段圆弧，所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查空间位置关系与距离，考查空间直角坐标系的应用，属中档题．
（多选）29．（2024春•怀宁县校级期末）连续地掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，记事件A为“第一次出现2点”，事件B为“第二次的点数小于等于4点”，事件C为“两次点数之和为奇数”，事件D为“两次点数之和为9“，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B不是互斥事件B．B与D相互独立
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；事件的互斥（互不相容）及互斥事件．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可．
【解答】解：如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A、B均发生，所以A与B不是互斥事件，故A正确；
依题意，，，，
又，即A与B相互独立，故C正确；
，即A与C相互独立，故D正确；
，即B与D不相互独立，故B错误．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了互斥事件和独立事件的定义，属于基础题．
（多选）30．（2024春•兴义市校级期末）给定一组数据165 168 170 172 172 175 176 176 176 180，下列判断正确的是（ ）
A．众数为176B．中位数为173
C．平均数为173.5D．极差为15
【考点】用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】AD
【分析】根据题意，求出数据的众数、中位数、平均数和极差，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，数据中，176出现次数最多，故众数为176，A正确；
对于B，中位数为（172+175）＝173.5，B错误；
对于C，平均数＝（165+168+170+172+172+175+176+176+176+180）＝173，C错误；
对于D，极差为180﹣165＝15，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查数据的平均数、众数、中位数和极差的计算，注意平均数、众数、中位数和极差的计算公式，属于基础题．
（多选）31．（2024春•兴义市校级期末）已知平面向量，，则（ ）
A．当x＝2时，
B．若，则x＝﹣1
C．若⊥，则x＝1
D．若与的夹角为钝角，则x∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】ACD
【分析】根据向量的坐标运算，向量平行与垂直的坐标运算，向量数量积的性质，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：∵平面向量，，
∴对A选项，当x＝2时，，∴A选项正确；
对B选项，若，则x＝2×（﹣2）＝﹣4，∴B选项错误；
对C选项，若⊥，则1×（﹣2）+2x＝0，∴x＝1，∴C选项正确；
对D选项，若与的夹角为钝角，
则，∴，
∴x∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1），∴D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量共线定理与向量垂直的性质，向量数量积的运算，属中档题．
（多选）32．（2024春•韶关校级期末）下列结论正确的是（ ）
A．当m＝﹣1时，复数z＝m+1+（m﹣1）i是纯虚数
B．复数z＝（1+i）（1﹣i）对应的点在第一象限
C．复数z及其共轭复数满足，则z＝1﹣i
D．复数6+5i与﹣3+4i分别对应向量与，则向量表示的复数为9+i
【考点】复数对应复平面中的点；复数的乘法及乘方运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合复数的概念，复数的几何意义，复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：对于A，当m＝﹣1时，z＝0﹣2i＝﹣2i为纯虚数，故A正确；
对于B，z＝（1+i）（1﹣i）＝2，对应的点（2，0）位于实轴上，故B错误；
对于C，设z＝a+bi，a，b∈R，
则，
，
则2（a+bi）+a﹣bi＝3a+bi＝3﹣i，即，解得，
故z＝1﹣i，故C正确；
对于D，复数6+5i与﹣3+4i分别对应向量与，
则向量表示的复数为6+5i﹣（﹣3+4i）＝9+i，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查复数的概念，复数的几何意义，复数的四则运算，属于基础题．
（多选）33．（2024春•韶关校级期末）已知是函数f（x）＝2asinxcsx﹣2cs2x﹣1的一个零点．则（ ）
A．a＝
B．函数f（x）的值域为[﹣2，2]
C．函数f（x）的单调递减区间为，（k∈Z）
D．不等式f（x）≥0的解集为∅
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【答案】AC
【分析】由题意得f（）＝asin﹣cs﹣2＝0，解得a的值，即可判断A；
化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x﹣）﹣2，利用正弦函数的性质即可判断B；
利用正弦函数的单调性即可判断C；
令f（x）≥0，解得sin（2x﹣）≥1，解得x＝+kπ，k∈Z，即可判断D．
【解答】解：由题意得f（x）＝2asinxcsx﹣2cs2x﹣1＝asin2x﹣cs2x﹣2，
因为是函数f（x）＝2asinxcsx﹣2cs2x﹣1的一个零点，
所以f（）＝asin﹣cs﹣2＝0，解得a＝，故A正确；
因为f（x）＝sin2x﹣cs2x﹣2＝2sin（2x﹣）﹣2，
所以函数f（x）的值域为[﹣4，0]，故B错误；
令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，故C正确；
令f（x）≥0，解得sin（2x﹣）≥1，
所以2x﹣＝+2kπ，k∈Z，解得x＝+kπ，k∈Z，
所以不等式f（x）≥0的解集为{x|x＝+kπ，k∈Z}，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
（多选）34．（2024春•神木市校级期末）在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50，100]，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间[50，60）的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ）
A．n＝200
B．考生成绩的众数为72
C．考生成绩的第70百分位数为75
D．估计该市考生成绩的平均分为70.6
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】AD
【分析】根据题意，利用统计相关概念对各项逐一分析，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于A，由x＝0.016，得，A正确；
对于B，因为考生成绩的众数为75，所以B错误；
对于C，考生成绩的第70百分位数为，故C错误；
对于D，该市考生成绩的平均分为55×0.16+65×0.3+0.4×75+0.1×85+95×0.04＝70.6，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查频率分布直方图、平均数、众数与百分位数等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
三．填空题（共7小题）
35．（2024春•梅河口市校级期末）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长均相等，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，，则该四棱台的体积为 ．
【考点】棱台的体积．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【答案】．
【分析】求出四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可．
【解答】解：在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，R，Q分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心，RQ四棱台的高，过点D1作D1P∥RQ与BD交于点P，
则RQ＝PD1，
因为四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，且，
则，，
则，，
所以，
即四棱台的高h＝4，
又上底面积S＝2×2＝4，下底面积S'＝4×4＝16，
则该四棱台的体积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了棱台的结构特征，考查了棱台的体积公式，属于中档题．
36．（2024春•长春期末）如图所示，圆锥SO的底面圆半径OA＝1，侧面的平面展开图的面积为3π，则此圆锥的体积为 ．
【考点】圆锥的体积．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．
【答案】．
【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，
所以l＝3，所以圆锥的高．
故圆锥的体积为：．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
37．（2024春•长春期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正切值为 ．
【考点】几何法求解直线与平面所成的角．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算．
【答案】．
【分析】取B1C1的中点M，连接A1M，利用面面垂直的性质定理得到A1M⊥平面BCC1B1，进而确定∠A1BM是直线A1B与平面BB1C1C所成的角，解三角形即可．
【解答】解：取B1C1的中点M，连接A1M，BM，
因为△A1B1C1是等边三角形，
所以A1M⊥B1C1，
又因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
平面BCC1B1⊥平面A1B1C1，且平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，
所以A1M⊥平面BCC1B1，
即直线BM是斜线A1B在平面BB1C1C上的射影，
所以∠A1BM是直线A1B与平面BB1C1C所成的角，
在RT△A1BM中，，
，
所以，
直线AB与平面BB1C1C所成角的正切值为．
故答案为：．
【点评】本题考查线面角的计算，属于中档题．
38．（2024春•柯坪县校级期末）已知扇形的圆心角为120°，半径为2厘米，则扇形面积是 平方厘米．
【考点】扇形面积公式．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合扇形的面积公式，即可求解．
【解答】解：扇形的圆心角为120°，弧度数为，
半径为2厘米，
故扇形面积为平方厘米．
故答案为：．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
39．（2024春•清镇市校级期末）已知向量，则x＝ 1或2 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出坐标，再根据列方程求解．
【解答】解：由已知，
又，
所以，
解得x＝1或2．
故答案为：1或2．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
40．（2024春•兴义市校级期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖懦是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB＝3，AC＝4，现将△ABD沿AD翻折成△AB'D，使得四面体AB'CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 16π ．
【考点】球的表面积．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算．
【答案】16π．
【分析】先确定球心的位置，再求出球半径R即可．
【解答】解：由题意，BD＜CD，即B′D＜CD．
要使四面体ADB′C为鳖臑，根据三角形中大边对大角，
可知需要B′C⊥平面ADB′，此时∠ADB′，∠ADC，∠DB′C，∠AB′C为直角，
满足四面体AB'CD为一个鳖臑，
取AC得中点O，连接OD，OB′，
则OA＝OC＝OD＝OB′，
所以点O为鳖臑外接球的球心，
设外接球半径为R，
则R＝＝2，
所以该鳖臑外接球的表面积为4πR2＝4π×22＝16π．
故答案为：16π．
【点评】本题考查几何体的外接球表面积的计算，属于中档题．
41．（2024春•神木市校级期末）若某次调查样本数据为1，a，5，y，7，且a，y是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个样本的方差是 4 ．
【考点】方差．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】4．
【分析】先求出方程x2﹣7x+12＝0的两个根，再结合方差的定义求解．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0，得x＝3或4，
不妨a＝3，y＝4，
则样本平均数是＝4，
所以这个样本的方差是．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了方差的定义，属于基础题．
四．解答题（共19小题）
42．（2024春•梅河口市校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB﹣asinA+（b+c）sinC＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若角A的角平分线AD与BC交于点D，AD＝4，AC＝6，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）根据三角形的面积公式结合等面积法求出c，即可得解．
【解答】解：（1）因为bsinB﹣asinA+（b+c）sinC＝0，
所以根据正弦定理可得b2﹣a2+bc+c2＝0，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理可得csA＝＝﹣，
因为A∈（0，π），
所以A＝；
（2）由S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
得×4×c×sin+×4×6×sin＝×6c×sin，解得c＝12，
所以△ABC的面积为S＝×6×12×sin＝18．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
43．（2024春•梅河口市校级期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点．
（1）求证：平面AB1C⊥平面BDD1B1；
（2）求平面AB1C与平面ACE夹角余弦值．
【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；平面与平面垂直．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算．
【答案】（1）证明见解答；（2）．
【分析】（1）借助线面垂直的性质定理可得BB1⊥AC，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDD1B1，即可用面面垂直的性质定理得证；
（2）借助平面AB1C与平面ACE的夹角定义找出平面AB1C与平面ACE夹角的夹角后，借助勾股定理计算各边长，结合余弦函数定义即可得解．
【解答】解：（1）证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以BB1⊥AC，
又四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，
又BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BDD1B1
所以AC⊥平面BDD1B1，
又AC⊂平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面BDD1B1；
（2）如图，连接A1C1取A1D1的中点F，连接EF交B1D1于点O1，连接AF，
设AC交BD于点O，连接OO1，B1O，
因为E为C1D1的中点，所以EF∥A1C1，
因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，
所以AC∥A1C1，
所以EF∥AC，所以平面ACEF即为平面ACE，且O1为EF中点，
由（1）知AC⊥平面BDD1B1，又OO1⊂平面BDD1B1，
所以AC⊥OO1，又AB1＝B1C，O为AC的中点，
所以B1O⊥AC，
所以∠B1OO1为平面AB1C与平面ACE的夹角，
由△B1BO为直角三角形，
可得，O1B1＝4﹣1＝3，
则，
即△B1OO1为等腰三角形，
所以，
即平面AB1C与平面ACE夹角的余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的判定以及二面角的计算，属于中档题．
44．（2024春•长春期末）某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）．现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）．
（1）求a；
（2）若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；
（3）每户用电量不超过m度的电费是0.5元/度，超出m度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度，则m至少应为多少（m为整数）？
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】（1）0.0003；
（2）220；
（3）306.25．
【分析】（1）根据频率分布直方图中各组概率之和为1可得a值；
（2）根据频率分布直方图中平均值计算公式计算即可；
（3）确定m在第四组（300，400]之间，根据第80百分位数计算即可．
【解答】解：（1）由频率分布直方图中各组概率之和为1得，
100×（0.0013+0.0032+0.0034+0.0016+a+0.0002）＝1，
解得a＝0.0003；
（2）根据频率分布直方图中平均值计算公式得：
平均值为50×0.13+150×0.32+250×0.34+350×0.16+450×0.03+550×0.02＝220；
（3）由题意，第一组的频率为0.13，
第二组频率为0.32，
第三组频率为0.34，
所以m在第四组（300，400]之间，m为第80百分位数，
即0.13+0.32+0.34+（m﹣300）×0.0016＝0.8，
解得m＝306.25．
故m至少应为306.25．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的定义，属于中档题．
45．（2024春•柯坪县校级期末）如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E是DD1的中点．
（1）求证：A1C1∥平面ACE；
（2）若BD1＝6，求点B到平面AEC的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；数学运算．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）先证A1C1∥AC，再用直线与平面平行的判定定理证明A1C1∥平面ACE；
（2）利用等体积法，求点B到平面AEC的距离．
【解答】解：（1）证明：因为在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，
所以四边形AA1C1C为平行四边形，
所以A1C1∥AC，
又因为A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，
所以A1C1∥平面ACE．
（2）设正方体的棱长是a，
因为BD1＝6＝a，则a＝2，
E是DD1的中点，
所以ED＝，
三角形ABC的面积S＝＝6，
AE＝CE＝＝＝，AC＝＝＝2，
S△AEC＝×2×＝3，
三棱锥B﹣AEC的体积VB﹣AEC＝VE﹣ABC，
设点B到平面AEC的距离为d，
即S△AEC•d＝S△ABC•DE，
即＝，
解得d＝，
即点B到平面AEC的距离为．
【点评】本题考查线面平行的判定以及等体积法求点到平面的距离，属于中档题．
46．（2024春•清镇市校级期末）在△ABC中，已知BC＝4，AC＝3，P在线段BC上，且＝，＝，设＝，＝．
（1）用向量，表示；
（2）若∠ACB＝60°，求•．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】（1）﹣；（2）．
【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则，平面向量基本定理，即可得解；
（2）根据平面向量的线性运算法则，可得＝+，再结合（1）中结论，推出•＝﹣•﹣，代入数据运算，即可．
【解答】解：（1）由题意得，＝﹣＝﹣＝﹣．
（2）＝+＝+＝+（﹣）＝+＝+，
所以•＝（﹣）•（+）＝﹣•﹣＝•42﹣•4•3•cs60°﹣•32＝．
【点评】本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的线性运算，数量积运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
47．（2024春•清镇市校级期末）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD．
（2）若三角形BCD为边长为2的正三角形，BD＝DA，求异面直线BM和AC所成角的余弦值．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【分析】（1）取BD中点O，CD靠近C的四等分点H，利用平行线分线段成比例判定线线平行，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）取CD的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可．
【解答】解：（1）证明：如图所示，取BD中点O，连接OP，
∵P是BM中点，
∴OP∥DM，2OP＝DM，
取CD的四等分点H，使DH＝3CH，
∵AQ＝3QC，
∴QH∥DA，4QH＝AD，
∴2QH＝MD＝2PO，QH∥PO，
∴四边形OPQH为平行四边形，
∴QP∥OH，
∵PQ⊄平面BCD，OH⊂平面BCD，
∴PQ∥平面BCD．
（2）取CD的中点E，连接ME，则ME∥AC，
则∠BME或其补角为异面直线BM和AC所成的角，
∵AD⊥平面BCD，BD，CD⊂平面BCD，
∴AD⊥BD，AD⊥CD，即，
∴EM2+BE2＝BM2，即△BEM为直角三角形，
∴，
即异面直线BM和AC所成角的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查异面直线所成角的余弦值的求解，属于中档题．
48．（2024春•清镇市校级期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinC+sinB）（c﹣b）＝a（sinA﹣sinB）．
（1）求角C的大小；
（2）设c＝3，，求△ABC的周长．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正、余弦定理计算即可求得；
（2）由平面向量的数量积计算可得ab＝2，再由余弦定理可求得，从而即可求得．
【解答】解：（1）因为（sinC+sinB）（c﹣b）＝a（sinA﹣sinB），
所以由正弦定理得：（c+b）（c﹣b）＝a（a﹣b），即a2+b2﹣c2＝ab，
所以由余弦定理得：．
因为C∈（0，π），所以；
（2）因为，所以abcsC＝1，所以ab＝2，
因为c2＝a2+b2﹣2abcsC，所以9＝（a+b）2﹣2ab﹣ab，
所以，
所以△ABC的周长为．
【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题．
49．（2024春•怀宁县校级期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），⋯，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的第75百分位数；
（2）在样本答卷成绩为[70，80），[80，90），[90，100]的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在[80，90）中的市民应抽取多少个？
（3）已知落在[50，60）的平均成绩是61，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2．
【考点】百分位数；方差．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】（1）a＝0.030；第75百分位数为84；
（2）5个；
（3）总平均数z＝67，总方差s2＝23．
【分析】（1）根据各组的频率和为1列方程可求出a的值，再判断第75百分位数m∈（80，90），然后列方程可求得结果；
（2）先根据频率分布直方图计算出成绩在[70，100]和[80，90）样本人数得成绩在[80，90）的比例系数，再根据比例抽样即可；
（3）先计算成绩在[50，60）和[60，70）的市民人数，再根据分层随机抽样的总平均数和总方差的公式计算即可．
【解答】解（1）根据题意，频率分布直方图中，
由于各个小矩形的面积之和为1，则有0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1＝1，所以a＝0.030．
成绩落在[40，80）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3＝0.65，
落在[40，90）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25＝0.9，
显然第75百分位数m∈（80，90），由0.65+（m﹣80）×0.025＝0.75，
解得m＝84，所以第75百分位数为84．
（2）由频率分布直方图知，样本成绩为[70，80），[80，90），[90，100]的三组答卷的市民有
100×10×（0.03+0.025+0.01）＝65个样本，
成绩在[80，90）的市民人数为100×10×0.025＝25，
所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为[80，90）的中抽取市民人数为个．
（3）由频率分布直方图知，成绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10，
成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，
所以总平均数，
z＝10×61+20×7010+20＝67，由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
．
【点评】本题考查频率分布直方图的分析，涉及平均数、方差的计算，属于基础题．
50．（2024春•怀宁县校级期末）如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠CDA＝60°，P为棱SA上一点，AB＝2AD＝2CD＝2AP＝4PS＝4．
（1）证明：SC∥平面PBD；
（2）求二面角S﹣DC﹣A的大小；
（3）求点A到平面PBD的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；二面角的平面角及求法．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算．
【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）．
【分析】（1）连接AC交DB于点O，连接OP，结合，得到OP∥CS，结合线面平行的判定定理，即可得证；
（2）设CD的中点为M，连接AM、SM，即可证明AM⊥CD、CD⊥SM，即∠SMA为二面角S﹣DC﹣A的平面角，再由锐角三角函数计算可得；
（3）根据VA﹣PBD＝VP﹣ABD，利用等体积法计算可得．
【解答】解：（1）证明：连接AC交DB于点O，连接OP．
在底面ABCD中，因为AB∥CD，且AB＝2CD，
由△ABO∽△CDO，可得，
因为AP＝2PS，即，
所以在△CAS中，，所以OP∥CS，
又因为OP⊂平面PBD，SC⊄平面PBD，
所以SC∥平面PBD．
（2）设CD的中点为M，连接AM、SM，
因为∠CDA＝60°，AD＝CD＝2，所以△CDA为等边三角形，
所以AM⊥CD，
又SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以SA⊥CD，SA∩AM＝A，SA，AM⊂平面SAM，
所以CD⊥平面SAM，SM⊂平面SAM，
所以CD⊥SM，
所以∠SMA为二面角S﹣DC﹣A的平面角，
SA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，
所以SA⊥AM，
在Rt△SMA中SA＝SP+AP＝3，，
所以，所以∠SMA＝60°，
即二面角S﹣DC﹣A的大小为60°；
（3）因为AB∥CD，∠CDA＝60°，所以∠DAB＝120°，
所以，
在△PBD中，
，
，
所以PD2+PB2＝BD2，即PD⊥PB，
所以，
设点A到平面PBD的距离为d，则VA﹣PBD＝VP﹣ABD，
即，
即，
即点A到平面PBD的距离为．
【点评】本题考查线面平行的判定以及二面角的计算，考查等体积法求点到平面的距离，属于难题．
51．（2024春•兴义市校级期末）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b2+c2﹣a2＝bc．
（1）求∠A的大小；
（2）若sin2A+sin2B＝sin2C，求∠B的大小．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【答案】（1）A＝；
（2）B＝．
【分析】（1）在三角形ABC中，利用余弦定理列出关系式，表示出csA，将已知等式代入计算求出csA的值，即可确定出角A的大小；
（2）已知等式利用正弦定理化简，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，由A的度数即可求出B的度数．
【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•csA，
∴csA＝，
又∵b2+c2﹣a2＝bc，
∴csA＝，
∵A为三角形内角，
∴A＝；
（2）已知等式sin2A+sin2B＝sin2C，由正弦定理得a2+b2＝c2，
∴△ABC是以角C为直角的直角三角形，
又A＝，
∴B＝．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
52．（2024春•兴义市校级期末）已知平面向量，．
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据向量的坐标运算，由模长公式即可求解，
（2）利用夹角公式即可求解．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
则；
（2）因为，，所以，
所以，
设与的夹角为θ，
则，
因为0≤θ≤π，所以．
【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，夹角的求法，属于基础题．
53．（2024春•兴义市校级期末）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D是AB的中点，E是CD的中点，记＝，＝，＝．
（1）用向量，，表示向量；
（2）利用向量法证明：OE⊥AB．
【考点】空间向量及其线性运算；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析．
【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解；
（2）利用向量的数量积运算可证得＝0，进而证得OE⊥AB．
【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是CD的中点，
∴＝＝＝＝；
（2）证明：＝＝﹣，
∵四面体OABC各棱的棱长都是1，∴，
∴＝1×1×cs60°＝，
∴＝（）•（﹣）＝﹣++＝0，
∴OE⊥AB．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量证明直线与直线垂直，属于基础题．
54．（2024春•兴义市校级期末）某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率．
【考点】频率分布直方图的应用．
【答案】（1）a＝0.005，b＝0.025；（2）69.4；（3）．
【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1，可得a，b的值；
（2）利用中位数的定义求解即可；
（3）先分层抽样求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用组合的方法求出所有的结果和满足条件的结果，再由古典概型的概率求出即可．
【解答】解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以（0.045+0.020+a）×10＝0.7，解得a＝0.005，
所以前两组的频率之和为1﹣0.7＝0.3，即（a+b）×10＝0.3，所以b＝0.025；
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以中位数为65+≈69.4；
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，第五组志愿者人数为1人，这5人中选出2人，
所有情况有＝10，共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有＝6，共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图、中位数、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
55．（2024春•兴义市校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为线段AC的中点．
（1）证明：B1C∥平面A1BD；
（2）若AB⊥BC，AA1＝4，，求C1到平面A1BD的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）作辅助线，利用中位线得到线线平行，结合线面平行的判定得证结论；
（2）利用等体积法可求C1到平面A1BD的距离．
【解答】解：（1）证明：连接AB1，交A1B于O，连接OD，
因为四边形ABB1A1为矩形，所以O为A1B的中点，
因为D为线段AC的中点，所以OD∥CB1，
因为OD⊂平面A1BD，CB1⊄平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD．
（2）因为，AB⊥BC，D为线段AC的中点，
所以BD⊥AC，且BD＝3，AC＝A1C1＝6，
因为直棱柱中CC1⊥平面ABC，BD⊂面ABC，
所以CC1⊥BD，
因为AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，
即点B到平面ACC1A1的距离为BD＝3，由线面垂直的性质易得BD⊥A1D，
在直角三角形BDA1中，，BD＝3，
所以面积，
又三角形A1DC1的面积为．
设C1到平面A1BD的距离为d，
因为，
所以，
所以，解得，
即C1到平面A1BD的距离为．
【点评】本题考查线面平行的判定以及等体积法求点到平面的距离，属于中档题．
56．（2024春•韶关校级期末）设△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB＝，结合B∈（0，π），即可求解B的值；
（2）由题意利用余弦定理可求c的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得sinBsinA＝sinAcsB，
又A为三角形内角，sinA＞0，
所以sinB＝csB，即tanB＝，
又B∈（0，π），
所以B＝；
（2）因为B＝，，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，可得3＝1+c2﹣2×，即c2﹣c﹣2＝0，解得c＝2或﹣1（舍去），
所以△ABC的面积S＝acsinB＝＝．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
57．（2024春•韶关校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，E，F分别为棱A1C1，BC的中点．
（1）求证：C1F∥平面ABE；
（2）求证：平面ABE⊥平面BCC1B1；
（3）若AB＝BC＝AA1＝2，求二面角E﹣AB﹣C的余弦值．
【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行；平面与平面垂直．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；逻辑推理．
【答案】（1）证明详情见解答．
（2）证明详情见解答．
（3）．
【分析】（1）取AB的中点M，由中位线定理可得MF∥AC，MF＝AC，推出四边形MFNE是平行四边形，进而可得ME∥C1F，再由线面平行的判定定理，即可得出答案．
（2）由线面垂直的判定定理可得AB⊥面BCC1B1，进而可得答案．
（3）取AC的中点G，连接EG，线找到二面角E﹣AB﹣C的平面角为∠EMG，再计算余弦值，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：取AB的中点M，
因为F分别为棱BC的中点，
所以MF∥AC，MF＝AC，
又AC∥A1C1，AC＝A1C1，E为A1C1的中点，
所以MF∥EC1，MF＝EC1，
所以四边形MFNE是平行四边形，
所以ME∥C1F，
又C1F⊄面ABE，ME⊄面ABE，
所以C1F∥面ABE．
（2）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥面ABC，
又AB⊂面ABC，
所以BB1⊥AB，
又AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，
所以AB⊥面BCC1B1，
又AB⊂面ABE，
所以面ABE⊥面BCC1B1，
（3）取AC的中点G，连接EG，
因为M为AB的中点，
所以MG∥BC，
又AB⊥BC，
所以MG⊥AB，
又直三棱柱的几何特征可得EG⊥面ABC，
又AB⊂面ABC，
所以EG⊥AB，
又MG∩EG＝G，MG⊂面EMG，EG⊂面EMG，
所以AB⊥面EMG，
又EM⊂面EMG，
所以AB⊥EM，
所以二面角E﹣AB﹣C的平面角为∠EMG，
因为AB＝BC＝AA1＝2，
所以MG＝1，EG＝2，
在Rt△EGM中，ME＝＝＝，
所以cs∠EMG＝＝，
所以二面角E﹣AB﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要一定的空间想象能力，属于基础题．
58．（2024春•韶关校级期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）﹣1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知常数λ∈R，n∈N+，且方程f（x）﹣λsinx＝0在（0，nπ）内恰有2025个实数解，求常数λ与n的值．
【考点】由函数的零点求解函数或参数；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；直观想象；数学运算．
【答案】（1）f（x）＝2cs2x﹣1；
（2）λ＝3，n＝1350或λ＝﹣3，n＝1350．
【分析】（1）由最大值得A，由周期可得ω，写出变换的函数解析式，由对称性得φ，即得函数解析式；
（2）首先确定λ≠0，即sinx≠0，这样零点问题转化为，求得函数的最大值和最小值，然后讨论方程解的个数，分类讨论求得λ，n．
【解答】解：（1）依题意，A＝2，T＝，
所以T＝π，，
将f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，
得到的函数为，
而g（x）图象关于原点中心对称，
则有，k∈Z．
而0＜φ＜π，，
所以；
（2）令F（x）＝2cs2x﹣1﹣λsinx＝1﹣4sin2x﹣λsinx，
当λ＝0时，F（x）＝1﹣4sin2x，
则F（x）在（0，nπ）内的零点个数为偶数个，
因为F（x）在（0，nπ）内恰有2025个零点，为奇数个零点，
故λ≠0，
由sinx≠0，F（x）＝0，
可得，
设，t∈[﹣1，0）∪（0，1]，
则h（t）在[﹣1，0）和（0，1]上递减，
又因为h（﹣1）＝3，h（1）＝﹣3，
因为t＝sinx∈[﹣1，0）∪（0，1]，
①若λ＝3，由，得sinx＝﹣1或，
则由 （n为奇数），解得n＝∉N+，故舍去；
或 （n为偶数），解得n＝1350；
②若λ＝﹣3，由，
得sinx＝1或，
则由 （n为奇数），解得n不是整数，舍去；
或（n为偶数），解得n＝1350；
③若﹣3＜λ＜3且λ≠0，F（x）在（0，nπ）内的零点个数为偶数；
④λ＞3或λ＜﹣3，F（x）在（0，nπ）内的零点个数为偶数．
综上，λ＝3，n＝1350或λ＝﹣3，n＝1350．
【点评】本题考查由三角函数性质求三角函数的解析式，考查方程根的个数问题，解题关键是把方程进行变形转化为能利用正弦函数的周期性确定解的个数，属于中档题．
59．（2024春•神木市校级期末）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DE⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB∥CD，ED＝1，CD＝2AB＝2AD＝2，F为CD的中点．
（1）证明：BE⊥AF；
（2）求直线EF与平面CEB所成角的正弦值．
【考点】几何法求解直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算．
【答案】（1）证明见解答；（2）．
【分析】（1）利用线面垂直的判定先证出AF⊥平面BDE，再根据线面垂直的性质定理即可得证；
（2）先证出∠FEG是直线EF与平面CEB所成角，再解三角形即可．
【解答】解：（1）证明：∵DE⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，
∴DE⊥AF，
由AD⊥AB，AB∥CD，AB＝AD＝DF＝BF，
故四边形ADFB是正方形，BD⊥AF，
∵DE∩BD＝D，DE，BD⊂平面BDE，
∴AF⊥平面BDE，
又BE⊂平面BDE，
∴BE⊥AF；
（2）作FG⊥平面BEC，交平面BEC于点G，
即∠FEG是直线EF与平面CEB所成角，
∵VE﹣FBC＝VF﹣EBC，
且ED＝1，CD＝2AB＝2AD＝2，F为CD的中点，
∴BF＝AD＝1，FC＝1，，，
∴，
∴，
又，
∴在Rt△FGE中，
．
【点评】本题考查线线垂直的判定以及线面角的计算，属于中档题．
60．（2024春•珲春市校级期末）已知平面向量，，，且．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，且，求t的值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】（1）或；
（2）．
【分析】（1）设，根据已知条件得出方程组，解方程组即可求解；
（2）根据，，利用向量坐标运算分别计算出、，再利用垂直关系得出关于t的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，设，
若，且，则有，
解可得：或，
故或；
（2），，则，，
因为，所以，
即（5，1）•（t+3，3t+2）＝0，整理有：5t+15+3t+2＝0，
解得．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题．
考点卡片
1．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算性质：
①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
2．必要不充分条件的判断
【知识点的认识】
必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．
【解题方法点拨】
要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件．
【命题方向】
必要不充分条件的命题方向包括几何图形的判定条件、代数性质等．
已知x∈R，设p：x2﹣x＜0，则p的一个必要不充分条件是（ ）
A．﹣1＜x＜0
B.
C.
D.0＜x＜1
解：因为x2﹣x＜0，
所以0＜x＜1，
所以p的一个必要不充分条件是．
故选：B．
3．扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝ rα ，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
【命题方向】
扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
分析：设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6cm，面积是2cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．
解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，
则，解得α＝1或α＝4．
选C．
点评：本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．
4．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
5．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
6．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
7．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
8．三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
【解题方法点拨】
例：sin60°cs（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cs（﹣570°）的值等于
解：，，，，
∴原式＝．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cs（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cs30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【命题方向】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
9．由函数的零点求解函数或参数
【知识点的认识】
一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．
【解题方法点拨】
解法﹣﹣二分法
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；
④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）
【命题方向】
常见题型包括通过零点求解二次函数、多项式函数、分段函数的参数值．
若函数y＝（ax﹣1）（x+2）的唯一零点为﹣2，则实数a可取值为_____．
解：根据题意，函数y＝（ax﹣1）（x+2）的唯一零点为﹣2，即方程（ax﹣1）（x+2）＝0有唯一的根x＝﹣2，
若a＝0，方程为﹣（x+2）＝0，符合题意，
若a≠0，则ax﹣1＝0的解也是x＝﹣2，即﹣2a﹣1＝0，必有a＝﹣，
故a＝0或﹣；
10．平面向量的平行向量（共线向量）
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有（ ）
解：平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，
所以图中与平行的向量有，，，共3个．
11．平面向量的数量积运算
平面向量的数量积运算
12．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
13．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
14．数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：＝＝＝＝＝cs60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
15．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
16．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
19．复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
【命题方向】
﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．
﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．
20．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
21．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
22．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
23．复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
【解题方法点拨】
﹣直接计算：使用复数的分量进行乘法运算．
﹣极坐标形式：利用极坐标形式进行复数乘方运算，简化计算过程．
【命题方向】
﹣复数乘法运算：考查复数乘法及其性质．
﹣复数的乘方：如何使用复数的乘方运算解决问题，如幂运算和多项式根．
（3i﹣2）（i+4）﹣i＝_____．
解：依题意，（3i﹣2）（i+4）﹣i＝3i2+12i﹣2i﹣8﹣i＝﹣11+9i．
24．球内接旋转体
【知识点的认识】
球内接旋转体是指球体内接触球面且具有旋转对称性的几何体，例如圆锥、圆柱、圆台等．
【解题方法点拨】
﹣内接条件：检查旋转体是否内接球体，确保各部分接触正确．
﹣体积和表面积：计算内接体积时需要考虑内接关系对体积的限制．
【命题方向】
﹣内接体计算：考查如何根据内接条件计算球内接旋转体的体积和表面积．
﹣实际应用：如何应用内接关系进行几何计算．
25．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
26．棱台的体积
【知识点的认识】
棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．
【命题方向】
﹣棱台的体积计算：考查如何根据两个底面面积和高度计算棱台的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱台体积计算．
27．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
28．圆锥的体积
【知识点的认识】
圆锥的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆锥的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆锥尺寸进行体积计算．
【命题方向】
﹣圆锥的体积计算：考查如何根据底面圆的半径和高度计算圆锥的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆锥的体积计算．
29．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
30．球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
【命题方向】
﹣球的表面积计算：考查如何根据球的半径计算表面积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的表面积计算．
31．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
32．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
33．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
34．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
35．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
36．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，＝．
④|λ|＝|λ|•||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）＝+
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
37．空间向量的投影向量与投影
【知识点的认识】
﹣投影向量：向量在上的投影是．
﹣投影长度：投影的长度为．
【解题方法点拨】
﹣计算投影：使用点积和向量模计算投影向量及其长度．
【命题方向】
﹣向量投影：考查如何计算向量在另一个向量上的投影及其长度．
38．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的认识】
一、空间向量及其有关概念
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1）•＝||||cs＜，＞；
（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2．向量的坐标运算
39．几何法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．
【解题方法点拨】
具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算直线与平面之间的夹角．
40．二面角的平面角及求法
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，
此时csθ＝cs＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，
csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
41．几何法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
【解题方法点拨】
求二面角的平面角：在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算两平面之间的夹角．
42．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
43．空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
【命题方向】
﹣距离计算：考查如何计算点到平面的距离．
44．空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离
【知识点的认识】
﹣两平行平面间的距离：若两平面方程为Ax+By+Cz+D1＝0和Ax+By+Cz+D2＝0，它们之间的距离为：
﹣平行于平面的直线到平面的距离：计算直线到平面的距离与计算点到平面的距离相同．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：应用平面间距离公式计算结果．
【命题方向】
﹣距离计算：考查如何计算空间中两平面之间的距离以及平行于平面的直线到平面的距离．
45．空间向量语言表述线线的垂直、平行关系
【知识点的认识】
线线垂直与平行：
1．直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为和，则由向量共线的条件得：
l1∥l2（或l1与l2重合）⇔∥
2、线线垂直：设直线1l、l2的方向向量分别为、，则1l⊥l2⇔⊥⇔•＝0．
46．圆锥曲线的轨迹问题
【知识点的认识】
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．
（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．
2、求轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；
（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；
（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．
47．互斥事件与对立事件
【知识点的认识】
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．
（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做．
注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
【命题方向】
1．考查对知识点概念的掌握
例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，
又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，
∴D正确
故选D
点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．
例2：下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．
分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．
解答：根据对立事件和互斥事件的概念，
得到对立事件一定是互斥事件，
两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
故选B．
点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．
2．互斥事件概率公式的应用
例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是
分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且，，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．
解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，
则，，
则乙不输即为事件A+B，
由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝
故答案为：
点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．
3．对立事件概率公式的应用
例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（ ）
A.0 B.0.4 C.0.6 D.1
分析：根据对立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A），解得即可．
解答：因为对立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A）＝0.6，
故选C．
点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．
48．事件的互斥（互不相容）及互斥事件
【知识点的认识】
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）．
【解题方法点拨】
﹣判断两个事件是否互斥，即它们的交是否为空．
【命题方向】．；
﹣常用于考察事件是否互斥的问题．
49．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：
P（A•B）＝P（A）•P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
50．相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
﹣对于相互独立事件A和B，．
【解题方法点拨】
﹣应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性．
【命题方向】
﹣重点考察独立事件的概率计算及独立性证明．
51．频率分布直方图的应用
【知识点的认识】
﹣应用：用于数据的分布可视化，帮助分析数据集中趋势、离散程度等．
【解题方法点拨】
﹣分析：通过直方图观察数据的分布特征，识别数据的集中区域和离散程度．
【命题方向】
﹣重点考察如何解读频率分布直方图及其对数据分析的贡献．
52．用样本估计总体的集中趋势参数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
53．平均数
【知识点的认识】
﹣平均数：数据集中所有值的算术平均，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算：求出数据集中所有值的总和，再除以数据的个数．
【命题方向】
﹣主要考察平均数的计算和解释．
54．用样本估计总体的离散程度参数
【知识点的认识】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【解题方法点拨】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数＝（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2＝[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S＝．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【命题方向】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
55．方差
【知识点的认识】
﹣方差：标准差的平方，衡量数据离均值的变异程度．
【解题方法点拨】
﹣计算：直接使用方差的公式．
【命题方向】
﹣主要考察方差的计算及其在数据变异分析中的作用．
56．百分位数
【知识点的认识】
百分位数的定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈（0，1），总体的p分位数有这样的特点，总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p．
四分位数：25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是．因此这三个百分位数也称为总体的四分位数．
【解题方法点拨】
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100﹣p）%的数据大于或等于这个值．计算一组n个数据的第p百分位数步骤如下：
①按从小到大排列原始数据；
②计算i＝n×p%；
③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数．
【命题方向】
理解连续变量的百分位数的统计含义，考察百分位数的计算，学会用样本估计总体的百分位数．
57．实系数多项式虚根成对定理
【知识点的认识】
实系数多项式虚根成对定理：
n次多项式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系数都为实数，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（复数集），其中a0，b0∈R，则＝a0﹣b0i也是方程的根．
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定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α

直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A

直线和平面平行
无
a∥α


语言描述
共线向量（平行向量）
表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．
共面向量
平行于同一平面的向量．
共线向量定理
对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使＝λ．
共面向量定理
若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y．
空间向量基本定理
（1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z．
（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．

＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）
向量和
+＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3）
向量差
﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）
数量积
•＝a1b1+a2b2+a3b3
共线
∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
垂直
⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0
夹角
公式
cs＜，＞＝