2024-2025学年江苏省南京师范大学附属实验学校高一下学期3月份月反馈数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京师范大学附属实验学校高一下学期3月份月反馈数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简AC−BD+CD得( )
A. ABB. DAC. BCD. 0
2.计算cs105∘=( )
A. 2− 62B. 2− 64C. 2+ 62D. 2+ 64
3.已知a=(4,6),a+b=(6,2)，则b=( )
A. 2,−4B. −2,4C. 2,−12D. −2,12
4.若两个单位向量a⇀，b⇀的夹角为120°，则|2a⇀+b⇀|=
A. 2B. 3C. 3D. 2
5.已知a=(cs 105∘,sin 105∘),b=(cs 45∘,sin 45∘)，则a⋅b等于( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
6.定义：|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a⋅b=−6，则|a×b|等于( )
A. 8B. −8C. 8或−8 D. 6
7.已知正方形ABCD的边长为2，若BP=PC，则AP⋅BD=( )
A. 2B. −2C. 4D. −4
8.向量a,b,c在正方形(边长均为1)网格中的位置如图所示，则a⋅b=( )
A. −1B. −2C. −3D. −4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 对于任意向量a，都有0//a
B. 模为1的向量是单位向量
C. 若a⋅b=0，则a与b中至少有一个为0
D. 若a⋅b=a⋅c且a≠0，则b=c
10.如图所示，D是▵ABC的边AB上的中点，则( )
A. CD=−BC+12BAB. CD=12CA+12CB
C. CD⋅AB=12(CA2−CB2)D. CA⋅CB=CD2−14AB2
11.已知向量a=(1,1),b=(1,0)，则下列结论正确的是( )
A. 向量a是单位向量B. a与b可以作为基底
C. b在a上的投影向量为12,12D. a与b的夹角为π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a与b的夹角为120°，a=(2,0),|b|=1，则a⋅b= ．
13.已知平面直角坐标系中，点O为原点，A(1,3),B(2,1),C(4,m)，若OA→⊥BC→，则实数m的值为 ．
14.已知csαcsβ=25,tanαtanβ=12，则cs(α+β)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(2,−3)，b=(1,5)，c=(x,4)，且c//(2a+b)，
(1)求x的值；
(2)若，求实数λ的值．
16.(本小题15分)
已知向量a←，b←不共线，且OA=2a−b，OB=3a+b，OC=a+λb．
(1)若OA//OC，求λ的值；
(2)若λ=−3，求证：A，B，C三点共线．
17.(本小题15分)
已知平行四边形ABCD中，AB=2,BC=4,∠DAB=60∘，点E是线段BC的中点．
(I)求AB⋅AD的值；
(II)若AF=AE+λAD，且，求λ的值．
18.(本小题17分)
已知向量m=(12,− 32)，n=(cs x,sin x)．
(1)若m//n，求tanx的值；
(2)若m⋅n=13且x∈0,π2，求csx的值．
19.(本小题17分)
已知sinα=−45，α∈−π2,0．
(1)求csα+π3的值；
(2)若sinα+β=− 210，β∈0,π2，求β的值．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.C
5.C
6.A
7.B
8.C
9.AB
10.ABD
11.BCD
12.−1
13.13
14.15
15.【详解】(1)由题意可得：2a+b=(5,−1)，
因为c//(2a+b)，则−x=20，解得x=−20．
(2)由题意可得：λa+b=(2λ+1,−3λ+5)，
因为，则1×(2λ+1)+5(−3λ+5)=0，解得λ=2．

16.【详解】(1)若OA//OC，则OA=μOC，即2a−b=μ(a+λb)，
可得2=μ−1=λμ，解得μ=2，λ=−12，
所以λ=−12．
(2)若λ=−3，则OC=a−3b，
所以AC=OC−OA=(a−3b)−(2a−b)=−a−2b，BC=OC−OB=(a−3b)−(3a+b)=−2a−4b，
所以BC=2AC，则A，B，C三点共线．

17.【详解】法1：(I)
以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
A(0,0),C(4,2 3),E(3, 3),B(2,0),D(2,2 3)，
AD=(2,2 3),AB=(2,0)，
∴AB⋅AD=4；
(II)AF=AE+λAD,AF=(3+2λ, 3+2 3λ),BD=(0,2 3)
，
∴λ=−12．
法2：
(I)AB⋅AD=|AB|⋅|AD|cs 60∘=2×4×12=4；
(II)AF=AE+λAD⇒EF=λAD，∴EF//AD，
，，
∴F与B重合，
∴λ=−12．

18.【详解】(1)解：因为m//n，所以12sinx=− 32csx，
即sinx=− 3csx，
所以tanx=− 3；
(2)解：因为m⋅n=13，
即12csx− 32sinx=13，所以cs(x+π3)=13，
又因为x∈0,π2，所以x+π3∈π3,5π6，
所以sin(x+π3)= 1−cs2(x+π3)=2 23，
所以csx=cs[(x+π3)−π3]=cs(x+π3)csπ3+sin(x+π3)sinπ3=1+2 66

19.【详解】(1)由sin2α+cs2α=1，sinα=−45，α∈−π2,0，可得csα=35，
所以csα+π3=csαcsπ3−sinαsinπ3=35×12−−45× 32=3+4 310．
(2)由α∈−π2,0，β∈0,π2，可得α+β∈−π2,π2，
故csα+β= 1−− 2102=7 210．
从而csβ=csα+β−α=csα+βcsα+sinα+βsinα
=7 210×35+− 210×−45= 22
由β∈0,π2，可得β=π4．