2024-2025学年江苏省南京师大附属实验学校高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京师大附属实验学校高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有( )
A. 6种B. 24种C. 64种D. 81种
2.在空间直角坐标系zOxyz中，点(1,3,2)关于Oxy平面的对称点坐标为( )
A. (−1,3,2)B. (1,−3,2)C. (1,3,−2)D. (−1,−3,−2)
3.C42+A42=( )
A. 14B. 16C. 18D. 24
4.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AD1∩A1D=O，记向量DA=a，DC=b，DD1=c，则向量CO=( )
A. 12a+b+12c
B. a+b+12c
C. 12a−b+12c
D. a+12b+12c
5.若直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的一个法向量m=(−2,−4,k)，若l⊥α，则实数k=( )
A. 2B. −10C. −2D. 10
6.已知a=(2,−1,3),b=(−1,4,−2),c=(1,3,λ)，若a,b,c共面，则实数λ=( )
A. 2B. 1C. −2D. −1
7.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有( )
A. 240 B. 360
C. 480 D. 600
8.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=2，点P为侧面ABB1A1上的任意一点，则PC⋅PC1的取值范围是( )
A. [0,2]
B. [1,3]
C. [2,4]
D. [3,5]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 3×4×5=A53B. C52+C53=C62
C. 若C10x=C102x−2，则x=3D. C70+C72+C74+C76=64
10.已知空间向量a=(1,2,1),b=(3,−2,1),c=(−4,4,−1)，则( )
A. |a|= 6B. {a,b,c}可以为空间的一组基底
C. a⊥bD. (a+b)⋅c=10
11.已知向量m=(2,−1,1)，n=(−4,2,−2)分别为两个不同的平面α，β的法向量，c=(1,0,−2)为直线l的方向向量，且l⊄β，则( )
A. α/​/βB. l/​/βC. l⊥αD. α⊥β
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量a=(1,n,2)，b=(−2,1,2).若2a−b与b垂直，则|a|=______．
13.有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有______种.
14.如图：长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA1=2，E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC1的中点，P为C1D1上动点，当EF⊥CP时，PC1=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
(Ⅰ)甲不在排头，也不在排尾；
(Ⅱ)甲、乙、丙三人必须在一起．
16.(本小题15分)
(1)已知Cn+1n−1=An−12+1，求n．
(2)C44+C54+C64+⋯+C94．
17.(本小题15分)
已知向量a=(1,−1,0),b=(−1,0,1),c=(2,−3,1)，
(1)求|a−b|；
(2)求(a+2b)⋅(b+c)；
(3)求向量(a+5b)与c的夹角．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC= 5，PD=1，求平面PDM和BDM夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD//BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点．
(1)证明：DM⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值．
参考答案
1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C
9.AD 10.AC 11.AB
12.3 52
13.48
14.2
15.解：(Ⅰ)若甲不在排头，也不在排尾，排列的方法有：A31A44=72种；
(Ⅱ)甲、乙、丙三人必须在一起，排列的方法有：A33A33=36种．
16.
17.
18.解：(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：

∵M为棱PC的中点，
∴MN//CD，MN=12CD，∵AB//CD，AB=12CD，
∴AB//MN，AB=MN，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM//AN，
又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴BM//平面PAD；
(2)∵PC= 5，PD=1，CD=2，
∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，
又AD，CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，由AD⊥DC，
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，M(0,1,12)，
∴DA=(1,0,0)，DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)，
设平面BDM的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥DMn⊥DB，∴n⋅DM=0,n⋅DB=0,即y+12z=0,x+y=0.
令y=−1，则x=1，z=2，
∴平面BDM的一个法向量为n=(1,−1,2)，
易知DA为平面PDM的一个法向量，
∴cs=n⋅DA|n||DA|=1 6×1= 66，
∴平面PDM和BDM夹角的余弦值为 66．
19.(1)证明：设AD中点为O，连接PO，△PAD为等边三角形，故PO⊥AD，
由题意知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PO⊂平面PAD，故PO⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
故PO⊥AB，又PD⊥AB，PO∩PD=P，PO，PD⊂平面PAD，
故AB⊥平面PAD，DM⊂平面PAD，故AB⊥DM，
又M为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM⊥PA，
AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，
所以DM⊥平面PAB；
(2)解：由(1)知AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，故AB⊥AD，
连接CO，AO=12AD=2，则AO/​/BC，AO=BC，
即四边形AOCB为平行四边形，故OC/​/AB，所以OC⊥AD，
故以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,2 3),B(2,−2,0),M(0,−1, 3),C(2,0,0),D(0,2,0)，
PB=(2,−2,−2 3),MC=(2,1,− 3),MD=(0,3,− 3)，
设平面MCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅MC=0n⋅MD=0，
即2x+y− 3z=03y− 3z=0，令y=1，则n=(1,1, 3)，
n⋅PB=1×2+1×(−2)+ 3×(−2 3)=−6，|n|= 1+1+3= 5，|PB|= 4+4+12=2 5，
所以cs=n⋅PB|n|⋅|PB|=−6 5⋅2 5=−35，
设直线PB与平面MCD所成角为θ,θ∈[0,π2]，
所以sinθ=|cs|=35．