江苏省南京师范大学附属实验学校2024-2025学年高二下学期3月份月反馈数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省南京师范大学附属实验学校2024-2025学年高二下学期3月份月反馈数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上）
1. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A. 81种B. 64种C. 24种D. 6种
2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. 14B. 16C. 18D. 24
4. 在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ）
A B.
C. D.
5. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）
A. 2B. C. D. 10
6 已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 1
7. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A. 240B. 360C. 480D. 600
8. 如图，直三棱柱中，，点P为侧面上任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上）
9. 下列结论正确的是（ ）
A B.
C. 若，则D.
10. 已知空间向量，则（ ）
A. B. 可以为空间的一组基底
C. D.
11. 已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
12. 已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于
___________
13. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有_________种．
14. 如图：长方体中，,，为上一点，且，为的中点，为上动点，当时，_________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲不在排头，也不在排尾；
（2）甲、乙、丙三人必须在一起.
16. （1）已知，求n．
（2）．
17. 已知向量.
（1）求；
（2）求；
（3）求向量的夹角．
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面和夹角的余弦值.
19. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．

（1）证明：⊥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
南京师范大学附属实验学校
2024-2025学年度第二学期高二年级3月份月反馈数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上）
1. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A. 81种B. 64种C. 24种D. 6种
【答案】A
【解析】
【分析】4名学生每人有3种报名方法，结合分步计数原理计数即可得出结果.
【详解】每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有种.
故选：A.
2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】点关于平面的对称点的坐标横纵坐标不变，竖坐标变为相反数.
【详解】点关于平面的对称点坐标为，
故选:C.
3. （ ）
A. 14B. 16C. 18D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解.
【详解】由排列数和组合数的公式，可得.
故选：C.
4. 在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到是的中点，利用空间向量基本定理求出答案.
【详解】因平行六面体钟，，
所以是的中点，
故.
故选：C
5. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）
A. 2B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得.
【详解】由直线l的方向向量，平面的一个法向量，，
得，则，解得，
所以实数.
故选：A
6. 已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解.
【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，
即，即，解得.
故选：D
7. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A. 240B. 360C. 480D. 600
【答案】C
【解析】
【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.
【详解】将区域标号，如下图所示：

因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法.
故选：C.
8. 如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解；
【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，
其中，，，，
，，，
当，且或时，取最大值4，
当，且时，取最小值2，所以的取值范围为．
故选：C
二、多选题（（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据排列数与组合数的计算公式以及性质即可逐一求解.
【详解】对于A，，故A正确，
对于B，，故，故B错误，
对于C，则或，解得 或，故C错误，
对于D，,故D正确，
故选：AD
10. 已知空间向量，则（ ）
A. B. 可以为空间的一组基底
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误.
【详解】对于A，，故A项正确；
对于B，设，即，解得，，
即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误；
对于C，，所以，故C项正确；
对于D，，故D错误.
故选：AC.
11. 已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据判断选项A，D；根据判断选项B；根据判断选项C.
【详解】因为，所以，所以，A正确，D错误；
因为，且，所以，B正确；
因为，所以或者错误.
故选：AB
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
12. 已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于
___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量垂直关系，与垂直，则，可求得，得到向量 ，进而求模长即可．
【详解】解：，，，，1，，
，，，
与垂直，
，
，
解得，，
，，
．
故答案为：.
13. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎选法有_________种．
【答案】48
【解析】
【分析】根据分步乘法原理，先选一对双胞胎，再从剩下的三对双胞胎中选出两对，从这两对中各选一个人即可.
【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择，
然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，
这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择，
根据乘法原理，总共有种选法.
故答案为：.
14. 如图：长方体中，,，为上一点，且，为的中点，为上动点，当时，_________．
【答案】
【解析】
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法解出的值即可.
【详解】长方体中以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为，为上一点，且，为的中点，为 上动点，
所以，设，
所以，
又因为，所以，解得，
所以，即,所以.
故答案为：2.
四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲不在排头，也不在排尾；
（2）甲、乙、丙三人必须在一起.
【答案】（1）72 （2）36
【解析】
【分析】
（1）排列问题对特殊元素要优先处理；（2）利用捆绑法处理．
【小问1详解】
若甲不在排头，也不在排尾，先从3个位置选一个安排甲，再对剩下的4人全排列，即排列的方法有：=72种；
【小问2详解】
甲、乙、丙三人必须在一起，先对甲乙丙三人全排列，再与剩下两人全排列，即排列的方法有：=36种．
16. （1）已知，求n．
（2）．
【答案】（1）6；（2）252
【解析】
【分析】（1）利用组合数性质以及组合数公式和排列数公式，将化简并展开，解方程即可求得答案.
（2）法一：利用组合数性质求解；法二：直接计算，求和.
【详解】（1）由得，
即，即，
解得，或，
又由知，即，
故.
（2）法一：
.
法二：原式.
17. 已知向量.
（1）求；
（2）求；
（3）求向量的夹角．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；
（2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解；
（3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解.
【小问1详解】
∵，
，
.
【小问2详解】
，
，
则.
【小问3详解】
，
，
，
则，
所以向量的夹角为.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面和夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）记为中点，连接，易知是平行四边形，则，利用线面平行的判定即可证结论；
（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问1详解】
记为中点，连接，又为棱的中点，，
所以，且，即是平行四边形，
所以，面，面，则面.
【小问2详解】
由平面，平面，
所以，又，所以建立如图所示空间直角坐标系，
由，，得，
则，
显然面的一个法向量为，且，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以平面和夹角的余弦值为.
19. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为中点．

（1）证明：⊥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设中点为O，证明平面，从而得，结合，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【小问1详解】
设中点为O，连接，为等边三角形，故，
由题意知平面⊥平面，平面平面，
平面，故平面，平面，
故，又，平面，
故平面，平面，故，
又M为的中点，为等边三角形，则,
平面，
所以⊥平面；
【小问2详解】
由（1）知平面，平面，故，
连接，，则，
即四边形为平行四边形，故，
故以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面一个法向量为，则,
即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则.