2024-2025学年云南省西双版纳景洪三中高二（下）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省西双版纳景洪三中高二（下）开学数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a=(−2,3,1)，b=(0,−1,4)，则2a+3b等于( )
A. (−4,6,14)B. (−4,0,6)C. (−4,3,6)D. (−4,3,14)
2.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1,AB+AD+CC1=( )
A. .CAB. ACC. AC1D. C1A
3.已知直线l的倾斜角为60°，且经过点(0,1)，则直线l的方程为( )
A. y= 3xB. y= 3x−2C. y= 3x+1D. y= 3x+3
4.已知直线l1：x+(1−k)y+1=0与l2：2y+3=0垂直，则k=( )
A. 0B. 1C. 2D. 12
5.已知双曲线方程为x29−y23=1，则双曲线的渐近线方程为( )
A. y=± 3xB. y=± 33xC. y=±13xD. y=±3x
6.抛物线x2+8y=0的焦点到准线的距离为( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
7.已知等比数列{an}中，a1=1，a4=−8，则公比q=( )
A. 2B. −4C. 4D. −2
8.在等差数列{an}中，a1+a3=6，a4=5，则公差d=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−2,x,1)，b=(0,x−2,−1)，若a⋅b=2，则x的值为( )
A. 4B. 3C. 0D. −1
10.在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，与向量AB相等的向量有( )
A. CDB. A′B′C. D′C′D. BC
11.已知曲线C：x2m+y2n=1，则下列正确的有( )
A. 若m=1，n=−1，则曲线C的离心率为 2
B. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
C. 若mn0，则C是圆，其半径为 m
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2+n(n∈N∗)，则a4= ______．
13.以C(3,4)为圆心， 3为半径的圆的标准方程是______．
14.一种卫星接收天线(如下图左所示)曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处(如下图右所示).已知接收天线的口径(直径)为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为______米.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB,b=AC．
(1)求a⋅b；
(2)若向量ka+b与ka−2b互相垂直，求实数k的值．
16.(本小题12分)
已知点A(0,1)，B(2,1)，线段AB是圆C的一条直径．
(1)求圆C的标准方程；
(2)点P是圆C上任意一点，求点P到直线x+y+1=0的最大距离．
17.(本小题12分)
已知数列{an}的通项公式为an=1n(n+2)(n∈N∗)．
(1)计算a3+a4的值；
(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1，PA=2．
(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点P到平面DEF的距离．
19.(本小题12分)
已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴长为8，离心率为12．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)以C1的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为C2，求C2的方程及其渐近线方程．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.D
8.C
9.BD
10.BC
11.ACD
12.8
13.(x−3)2+(y−4)2=3
14.2
15.解：(1)由题意，a=AB=(1,1,0),b=AC=(−1,0,2)，
则a⋅b=(1,1,0)⋅(−1,0,2)=−1；
(2)由(1)可得|a|= 2,|b|= 5，
因向量ka+b与ka−2b互相垂直，
则得(ka+b)⋅(ka−2b)=k2|a|2−ka⋅b−2|b|2=2k2+k−10=0，
解得k=2或k=−52．
16.解：(1)因为A(0,1)，B(2,1)，线段AB是为圆C的直径，
所以圆心C为线段AB的中点，圆心坐标为C(1,1)，
所以圆C的半径r=||CA|= (0−1)2+(1−1)2=1，
所以圆C的标准方程为：(x−1)2+(y−1)2=1．
(2)圆心C(1,1)到直线x+y+1=0的距离d=|1+1+1| 12+12=3 22>r，
所以圆C与直线x+y+1=0相离，
所以圆C上任意一点P(x,y)到直线x+y+1=0的距离的最大值为：d+r=3 22+1．
17.解：(1)数列{an}的通项公式为an=1n(n+2)(n∈N∗)，
∴a3=13×5=115,a4=14×6=124，
∴a3+a4=115+124=8120+5120=13120．
(2)∵1120为数列{an}中的项，∴1n(n+2)=1120，
∴n(n+2)=120，整理得n2+2n−120=0，
由n∈N∗，解得n=10，
∴1120是数列{an}的第10项．
18.解：(1)以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由AB=AC=1，PA=2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(12,0,0)，E(12,12,0)，F(012,1)，∴AP=(0,0,2)，DE=(0,12,0)，DF=(−12,12,1)，
设面DEF的法向量为n=(x,y,z)．
则y=0x=2z取z=1，则n=(2,0,1)，
设PA与平面DEF所成角为θ，则sinθ=|22 5|= 55．
(2)∵PF=(0,12,−1)，n=(2,0,1)，
∴点P到平面DEF的距离d=|PF⋅n||n|= 55．
19.解：(1)椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴长为8，离心率为12.可得a=4，c=2，则b=2 3，
所以椭圆方程为：x216+y212=1．
(2)以C1的焦点为顶点，则实半轴a=2，椭圆的短轴为虚轴，则虚半轴b=2 3，则双曲线C2的方程x24−y212=1．
双曲线的渐近线方程为：y=± 3x.