2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高一（下）期中数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高一（下）期中数学试卷 （含解析），共17页。试卷主要包含了选择题每题有且只有一个正确选项等内容，欢迎下载使用。
1．扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是 ．
2．已知点，，若点满足，则点的坐标为 ．
3．向量在向量方向上的数量投影为 ．
4．函数的单调增区间是 ．
5．在三角形中，是上靠近点的三等分点，为中点，若，则 ．
6．在上的最大值为 ．
7．向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
8．在△中，角、、的对边分别为、、，，则角 ．
9．已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 ．
10．平面，，上三点的坐标分别是，，．小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为 ．
11．矩形中，，，动点满足，，，，，则下列说法中正确的是 ．
①若，则△的面积为定值；
②若，则的最小值为4；
③若，则满足的点不存在；
④若，，则△的面积为．
12．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．下列函数中，最小正周期为的奇函数是
A．B．C．D．
14．已知，，则
A．B．C．D．
15．是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
16．若非零不共线的向量，满足，则
A．B．C．D．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．已知平面向量，满足，，且．
（1）求向量，的夹角；
（2）若，求实数的值．
18．某同学用“五点法“画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
（1）请直接写出表中，的值，并求出函数的解析式和最小正周期；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
19．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为，，两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积．
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求出的最大值．
20．（18分）已知函数的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值．
（1）求参数的值；
（2）若，求向量与向量的夹角；
（3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．
21．（18分）个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
（2）证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。
1．扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是 ．
解：扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，
所以该扇形的面积．
故答案为：．
2．已知点，，若点满足，则点的坐标为 ．
解：设点的坐标是，由，，
可得，，
又，则有，，，
即，解得．
故答案为：．
3．向量在向量方向上的数量投影为 ．
解：向量，，
，，
所以在方向上的数量投影为．
故答案为：．
4．函数的单调增区间是 ，， ．
解：对于函数，令，，
求得，，
可得函数的单调增区间为，，．
故答案为：，，．
5．在三角形中，是上靠近点的三等分点，为中点，若，则 ．
解：因为为中点，所以，
因为是上靠近点的三等分点，所以，
所以，
因为，所以．
故答案为：．
6．在上的最大值为 ．
解：函数，
由于，故，当时，函数取得最大值为．
故答案为：．
7．向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
解：，，
且，解得且，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
8．在△中，角、、的对边分别为、、，，则角 或 ．
解：由，因为，可得，
因为，可得，所以或．
故答案为：或．
9．已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 ．
解：当时，而，则，
因为函数在上有且仅有3个极值点，则，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
10．平面，，上三点的坐标分别是，，．小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为 ．
解：因为点，，
所以，
所以直线的方程为，
即，
由题意知，小猫离小林同学最近时所在位置的点与的连线与垂直，
设，则，
所以，解得，
所以点．
故答案为：．
11．矩形中，，，动点满足，，，，，则下列说法中正确的是 ①③④ ．
①若，则△的面积为定值；
②若，则的最小值为4；
③若，则满足的点不存在；
④若，，则△的面积为．
解：对于①，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上，
在△中，以为底边，高为点到的距离，
所以为定值，故①正确；
对于②，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上，
当位于点处时，有最小值2，故②错误；
对于③，当时，取的中点，的中点，连接，
此时点位于上，如图点与重合，此时、夹角为，
同理，若点与重合，此时、夹角也为，
若不与、重合，设、夹角为，则，
因为、，
所以，，
又因为，，
所以
，
由题意知，，，，的夹角为，
所以，
又因为、夹角为，
所以，
因为，，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以，所以、夹角为锐角，
综上，无论怎么移动，，都不会垂直，故③正确；
对于④，当，时，由向量加法的平行四边形法则作图，
此时到的距离为，
所以，故④正确．
故答案为：①③④．
12．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 ， ．
解：如图，
以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立平面直角坐标系，
则，，，设，
可得，
则，
令，，，
可得
，，，
的取值范围是，．
故答案为：，．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．下列函数中，最小正周期为的奇函数是
A．B．C．D．
解：函数、的最小正周期为，不正确；
函数是偶函数，不正确，是奇函数，且最小正周期为，正确．
故选：．
14．已知，，则
A．B．C．D．
解：因为，，
所以，
所以，
则．
故选：．
15．是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
解：如图所示，过点作，垂足为点．
则，
同理，
动点满足，．
，．
，
，
因此的轨迹一定通过的垂心．
故选：．
16．若非零不共线的向量，满足，则
A．B．C．D．
解：，
，是非零向量，必有，上式中等号不成立，
，
故选：．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．已知平面向量，满足，，且．
（1）求向量，的夹角；
（2）若，求实数的值．
解：（1）根据题意，，
则，变形可得，
又由，则；
（2）根据题意，由（1）的结论，，
则，
若，
则，
解可得：，
故，
18．某同学用“五点法“画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
（1）请直接写出表中，的值，并求出函数的解析式和最小正周期；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
解：（1）根据表中的数据，得，
，
又，
，
函数的解析式为，
令，解得，
可得，
数据补全如下表：
则，最小正周期为
（2），
，
，
关于的方程在上有两个不同的实数解，
则与的图象有两个交点，
作出两函数的图象如图所示：
结合函数图像可知．
实数的取值范围为．
19．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为，，两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积．
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求出的最大值．
解：（1）连接，则，，四边形的面积为；
（2）由题意，，，
，
令，则，，
时，即，的最大值为5．
20．（18分）已知函数的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值．
（1）求参数的值；
（2）若，求向量与向量的夹角；
（3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．
解：（1）由题意可得在处取得最小值，
则，，所以，，
因为，则；
（2）由题意，可得，
则，，，
则，
，
所以，，，
设向量与向量的夹角为，
则，
因为，，所以；
（3），，，
因为是上动点，设，
，，
则
，
易知，在或处有最小值，
在或处有最大值，
所以当或时，有最小值，
即当在或时，有最小值，此时或，
若，则，，
所以，又，解得，
若，则，，
所以，又，解得，
综上可得．
21．（18分）个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
（2）证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
解：（1）依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：
，1，1，，，，1，，，1，，，，1，1，．
（2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量，
因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，
因为，所以有3个分量为，
设的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，，
则，
，则，矛盾，
所以不存在6个两两垂直的6维信号向量．
（3）任取，，2，，，计算内积，
将所有这些内积求和得到，则，
设的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为，
所以，
则，所以，故．
0
0
1
0
题号
13
14
15
16
答案
B
B
D
C
0
0
1
0
0
0
1
0
0