2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高一（下）月考数学试卷（3月份） （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高一（下）月考数学试卷（3月份） （含解析），共13页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。
1．若角的终边经过点，则 ．
2．已知，则的值为 ．
3．函数的最小正周期为 ．
4．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是 ．
5．记，那么 ．（用表示）
6．函数的定义域是 ．
7．若，则 ．
8．已知函数为奇函数，则 ．
9．在中，已知，，，则的面积为 ．
10．函数，的单调递减区间是 ．
11．对于，若存在△，满足，则称为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为 ．
12．将边长的矩形按如图所示的方式折叠，折痕过点，折叠后点落在边上，记，则折痕长度 （用表示）
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）
13．下列命题中正确的是
A．终边相同的角一定相等
B．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
C．
D．锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角
14．函数的零点所在区间为
A．B．C．D．
15．“”是”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
16．关于函数，有以下结论：
①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数；
③函数，定义域均为，；④函数，值域均为，．
其中正确命题的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
18．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
19．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意都有，求实数的取值范围．
20．已知三个内角、、对应边分别为、、，，．
（1）若，求的面积；
（2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值．
21．已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为．
（1）已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当，时，．求的值；
（2）在（1）的条件下，若对任意，，都有，求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）
1．若角的终边经过点，则 ．
解：角的终边经过点，
．
故答案为：．
2．已知，则的值为 ．
解：由，
可得．
故答案为：．
3．函数的最小正周期为 ．
解：函数的最小正周期为，
故答案为：．
4．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是 2 ．
解：设扇形的弧长为：，半径为，所以，
所以解得：，
所以扇形的圆心角的弧度数是
故答案为：2．
5．记，那么 ．（用表示）
解：因为，可得，
所以．
故答案为：．
6．函数的定义域是 ． ．
解：由，的，解得：．
函数的定义域是．
故答案为：．
7．若，则 ．
解：，
则，
．
故答案为：．
8．已知函数为奇函数，则 ， ．
解：由奇函数的性质，可知得，．经检验满足题意．
故答案为：，．
9．在中，已知，，，则的面积为 ．
解：作边上的高，因为在中，已知，，，
所以，；，
所以，
的面积．
故答案为：．
10．函数，的单调递减区间是 ， ．
解：正弦函数的单调递减区间为，，
，又，，
解得，
则函数的单调递减区间是，．
故答案为：，．
11．对于，若存在△，满足，则称为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为 ．
【解答】，，，，，
则△为锐角三角形
若也是锐角三角形，，
由
得三式相加，得（与三角形内角和定理矛盾），假设不成立
所以是钝角三角形，不妨设钝角为，
，
则，即，化简整理可得，①，
又②，
联立①②可得，，
所以“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为．
故答案为：．
12．将边长的矩形按如图所示的方式折叠，折痕过点，折叠后点落在边上，记，则折痕长度 （用表示）
解：因为折叠后点落在上为点，，
又，则设，则，
又，，
，，
且，．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）
13．下列命题中正确的是
A．终边相同的角一定相等
B．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
C．
D．锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角
解：对于，终边相同的角有无数个，它们彼此之间相差的整数倍，故错误；
对于，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，故错误；
对于，4在第三象限，，故错误；
对于，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，故正确．
故选：．
14．函数的零点所在区间为
A．B．C．D．
解：由题意，可知是定义域在上连续不断的递增函数，
又，
所以由零点存在定理可知，零点所在区间为．
故选：．
15．“”是”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
解：当时，
，
“”，必要性成立．
定义域为，，而定义域为，
故由无法得到，
所以“”是”的必要不充分条件
故选：．
16．关于函数，有以下结论：
①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数；
③函数，定义域均为，；④函数，值域均为，．
其中正确命题的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：函数，的定义域都是，关于原点对称，故③错误；
因为，
所以函数为偶函数，
因为，
所以函数为偶函数，故①正确；
因为，
所以是以为周期的周期函数，
因为，
所以是以为周期的周期函数，故②正确；
因为，，所以，，即，，
因为，，所以，，即，，故④错误，
所以正确的个数有2个．
故选：．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）已知，的横坐标分别为，，可得，的纵坐标分别为，，
，，．
（Ⅱ），
结合，可得．
18．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
解：由已知，，
则，即，解得，
（1）；
（2）．
19．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意都有，求实数的取值范围．
解：（1）由，
令，则，
所以的单调递增区间为．
（2）由，则，故，
又，则，所以，即，
故的取值范围为，．
20．已知三个内角、、对应边分别为、、，，．
（1）若，求的面积；
（2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值．
解：（1）因为，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以的面积．
（2）因为线段的中点为，若，
在中，由余弦定理可得，整理可得，解得或（舍去），
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以由正弦定理可得外接圆半径．
21．已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为．
（1）已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当，时，．求的值；
（2）在（1）的条件下，若对任意，，都有，求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
解：（1），且当，时，，
故；
（2），当，时，，
，
当，时，，，，
当，时，，，，
当，时，，，，
，
画出的图象如下：
设当时，，即，
解得或，
因为，所以，
对任意，，都有，故
故实数的取值范围是，
（3）假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，
即，，
因为的值域为，，而，，
故，解得或，
当时，，故，，，
当时，，故，，
综上，或．
题号
13
14
15
16
答案
D
C
B
B