2024-2025学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

展开

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图是幂函数y=xa的部分图像，已知a分别取14、4、−4、−14这四个值，则与曲线C1、C2、C3、C4相应的a依次为( )
A. 4、14、−14、−4
B. −4、−14、14、4
C. −14、4、−4、14
D. 4、14、−4、−14
2.已知集合A={x|1A. (2,+∞)B. (1,2]C. (−∞,2]D. [2,+∞)
3.已知k∈R，则“对任意a，b∈R，a2+b2≥kab”是“k≤2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知a、b、c是三角形的三边，对于代数式ab+c+ba+c+ca+b，有下列说法：①有最小值32，②有最大值3，则( )
A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.函数y=1 x−2的定义域为集合A，集合B={0,2,4}，则A∩B= ______．
6.已知指数函数的图像经过点(2,4)，则该指数函数的解析式为______．
7.已知a>0，化简a57⋅(1a)17⋅7a3= ______．
8.若x+y>0xy>0，则x>0y>0.这是一个______命题(填“真”或“假”)．
9.已知9∈{0,3a,a2}，则实数a= ______．
10.幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm的图象关于y轴对称，则实数m=______．
11.若关于x的不等式(x−1)(5−x)≤m对任意x∈R恒成立，则m的最小值为______．
12.不等式2x2−2x−3<(12)3x−3与不等式x2+ax+b<0解集相同，则a+b= ______．
13.已知实数a，b满足lg(2a+3b)=lga+lgb，则a+b的最小值为______．
14.x∈(1,+∞)，y∈R，若x+1x−1+|y|+|y−1|≤4，则x+y的取值范围为______．
15.若集合A={x|x2+ax+b|=2,a,b∈R}中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a+b=______．
16.设函数f(x)=|3x−1|,x≤1−x+3,x>1，集合M={x|f2(x)+4f(x)+k=0,k∈R}，则下列命题正确的有______．
①当k=3时，集合M={4,6}；
②当k≥4时，M=⌀；
③当M={a,b,c}，则k的取值范围是(−13,−5)；
④若M={a,b,c,d}(其中a三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知函数f(x)=ax(其中a>0，且a≠1)．
(1)若f(b)+f(−b)=3，求f(2b)+f(−2b)的值．
(2)求关于x的方程f(2x)−2f(x)+1=0的解．
18.(本小题8分)
(1)已知2x=6y=24z=t>1，求证：1z−1y=2x；
(2)证明：lg20242025是无理数．
19.(本小题10分)
随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v(单位：千米/小时)和车流密度x(单位：辆/千米)所满足的关系式：v=60,0(1)若车流速度v不小于20千米/小时，求车流密度x的取值范围；
(2)隧道内的车流量y(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足y=x⋅v，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米)．
20.(本小题13分)
已知函数f(x)=|x−2a|+a．
(1)若不等式f(x)<6的解集为(0,8)，求a的值；
(2)当a=3时，若存在x0∈R，使得f(x0)≤t−f(−x0)，求t的取值范围；
(3)若f(x)≥ax对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题13分)
若函数y=f(x)对任意的x∈R均有f(x−1)+f(x+1)>2f(x)，则称函数具有性质P．
(1)判断函数y=ax(a>1)是否具有性质P，并说明理由；
(2)全集为R，函数g(x)=x(x−1),x∈Qx2,x∈Q−，试证明y=g(x)具有性质P；
(3)y=f(x)具有性质P，且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N)，求证：对任意1≤k≤n−1，k∈N均有f(k)≤0．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.C
5.{4}
6.y=2x
7.a
8.真
9.−3
10.2
11.4
12.−5
13.5+2 6
14.[2,3]
15.−2
16.①④
17.解：(1)因为f(x)=ax，
所以f(b)+f(−b)=ab+a−b=3，
所以(ab+a−b)2=a2b+a−2b+2=9，
所以a2b+a−2b=7，
所以f(2b)+f(−2b)=a2b+a−2b=7．
(2)因为f(2x)−2f(x)+1=a2x−2ax+1=0，
则(ax−1)2=0，即ax=1，
所以x=0．
18.证明：(1)2x=6y=24z=t>1，
x=lg2t>0，y=lg6t>0，z=lg24t>0，
1z−1y=1lg24t−1lg6t=lgt24−lgt6=lgt4，
2x=2lg2t=2lgt2=lgt4，
所以1z−1y=2x．
(2)假设lg20242025是有理数，
则lg20242025=pq，其中pq为既约分数，
则2024pq=2025，
则2024p=2025q，
这与2024p为偶数，2025q为奇数相矛盾，
所以假设不成立，所以lg20242025是无理数．
19.解：(1)当0当30所以30所以若车流速度v不小于20千米/小时，则车流密度x的取值范围是(0,91]；
(2)由题意得设y=60x,0当0当30=70(x+4900x−140+35)
=70[x−140+4900x−140+175]，
因为300，
因为140−x+4900140−x≥2 (140−x)⋅4900140−x=140，当且仅当140−x=4900140−x，即x=70时不等式取等号，
所以x−140+4900x−140=−(140−x+4900140−x)≤−2×70=−140，
所以y≤70(−140+175)=2450，
又因为1800<2450，
所以隧道内车流量的最大值为2450辆/小时，此时车流密度约为70辆/千米．
20.解：(1)由已知得|x−2a|<6−a的解集为(0,8)，
可得a−6又解集为(0,8)，
故有3a−6=0，6+a=8，
故a=2；
(2)当a=3时，f(x)=|x−6|+3，
若存在x0∈R，使得f(x0)≤t−f(−x0)，
即f(x0)+f(−x0)≤t成立，∃x0∈R，
令g(x)=f(x)+f(−x)=|x−6|+|x+6|+6，
因为|x−6|+|x+6|+6≥|(x−6)−(x+6)|+6=18，
当且仅当x∈[−6,6]时等号成立，
所以g(x)的最小值为18，
所以t≥g(x)min=18时，结论成立，
故使f(x)≤t−f(−x)有解的实数t的范围为[18,+∞)；
(3)|x−2a|+a≥ax恒成立⇔|x−2a|≥ax−a恒成立，
则x−2a≥ax−a或x−2a≤a−ax恒成立，
化简得(1−a)x≥a或(1+a)x≤3a恒成立，
①当a>1时，解得x≤a1−a或x≤3a1+a，
不符合题意；
②当a=1时，解得0≥1或x≤32，
不符合题意；
③当−1解得x≥a1−a或x≤3a1+a，
要使不等式解集为R，
则a1−a≤3a1+a，
所以3a(1−a)≤a(1+a)，解得0≤a≤12；
④当a=−1时，解得x≥−12或0≤−3，不符合题意；
⑤当a<−1时，解得x≥a1−a或x≥3a1+a，不符合题意；
综上可知，a的取值范围是[0,12]．
21.解：(1)若y=ax(a>1)，
则f(x−1)+f(x+1)−2f(x)=ax−1+ax+1−2×ax=(1a+a−2)ax，
>(2 a×1a−2)ax=0(因为a>1，所以取不到等号)，
所以f(x−1)+f(x+1)−2f(x)=(1a+a−2)ax>0，
即f(x−1)+f(x+1)>2f(x)任意的x∈R成立，
即函数y=ax(a>1)具有性质P；
(2)证明：①若x为有理数时，g(x)具有性质P，理由如下：
g(x−1)+g(x+1)=(x−1)(x−2)+x(x+1)=2x2−2x+2，
2g(x)=2x(x−1)=2x2−2x，
所以2x2−2x+2>2x2−2x恒成立，
即g(x−1)+g(x+1)>2g(x)对于任意有理数x恒成立，故具有性质P；
②当x为无理数时，具有性质P，理由如下：
g(x−1)+g(x+1)−2g(x)=(x−1)2+(x+1)2−2x2=2>0，
故具有性质P，
综上所述，当x∈R时，均有g(x−1)+g(x+1)>2g(x)，
故函数y=g(x)具有性质P；
(3)假设f(k)为f(1)，f(2)，⋯，f(n−1)中首个大于0的值，
则f(k)−f(k−1)>0，
由于f(x)具有性质P，
所以f(n+1)−f(n)>f(n)−f(n−1)>⋯>f(k)−f(k−1)>0，
所以f(n)=[f(n)−f(n−1)]+[f(n−1)−f(n−2)]+⋯+f(1)>0，
这与f(n)=0(n>2,n∈N)矛盾，
故假设不成立，
所以对任意1≤k≤n−1，k∈N均有f(k)≤0．