2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中数学试卷 （含解析），共20页。
2．已知随机变量服从二项分布，则 ．
3．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ．
4．已知，则的值为 ．
5．已知点在圆内，过点的直线被圆截得的弦长最小值为8，则 ．
6．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，如图所示，成绩都在，内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为 ．
7．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．
8．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．若每一局比赛乙获胜的概率为，事件表示“乙获得比赛胜利”，事件表示“比赛进行了七局”，则 ．
9．如图，棱长为1的正方体中，点为的中点，则下列说法正确的是 ．
①与为异面直线；
②与平面所成角的正切值为；
③过，，三点的平面截正方体所得两部分的体积相等；
④线段在底面的射影长为．
10．某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 ．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
12．至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
13．设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则或，重合
14．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为
A．5B．6C．7D．8
15．有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”， 表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”， 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”， 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则
A．与为对立事件B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件D．与为互斥事件
16．下列结论正确的有
A．若随机变量，则
B．若随机变量，，则
C．96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为96
D．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，，若，则总体方差
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项．
18．如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，，．
（1）求证：平面．
（2）若与平面所成的角为，求点到平面的距离．
19．（16分）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算．
（ⅰ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米时的车辆数（精确到个位）；
（ⅱ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米时的车辆数为，求的数学期望．
附注：若，则，，．
参考数据：．
20．如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有、两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
（1）设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程；
（2）过的直线与相交于点、、三点，求证：．
21．（18分）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，，且，设过点的直线与椭圆交于，两点（不与，两点重合）且直线．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：，的交点的纵坐标为定值；
（3）求直线，，围成的三角形面积的最小值．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一、填空题（本大题满分54分）共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分。
1．若，则 6 ．
解：，
，即，
由题意可得，，解得且，
，解得．
．
故答案为：6．
2．已知随机变量服从二项分布，则 ．
解：表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为，
．
故答案为：．
3．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ．
解：设圆锥的底面半径为，
则，即，
圆锥的高为，
则该圆锥的体积．
故答案为：．
4．已知，则的值为 ．
解：展开式的通项公式为，
展开式中的值为．
故答案为：．
5．已知点在圆内，过点的直线被圆截得的弦长最小值为8，则 ．
解：由点在圆内，
所以，又，解得，
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为，
又，，
所以，解得，
故答案为：．
6．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，如图所示，成绩都在，内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为 85 ．
解：因为，
参赛成绩位于，内的频率为，
第75百分位数在，内，设为，则，解得，
即第75百分位数为85．
故答案为：85．
7．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 36 ．
解：正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；
而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，
所以共有36个“正交线面对”；
故答案为36．
8．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．若每一局比赛乙获胜的概率为，事件表示“乙获得比赛胜利”，事件表示“比赛进行了七局”，则 ．
解：根据题意，由事件表示“乙获得比赛胜利”，
可得，
事件表示“比赛进行了七局”，可得，
所以．
故答案为：．
9．如图，棱长为1的正方体中，点为的中点，则下列说法正确的是 ①②③ ．
①与为异面直线；
②与平面所成角的正切值为；
③过，，三点的平面截正方体所得两部分的体积相等；
④线段在底面的射影长为．
解：对于①，因为平面，平面，平面，
所以与为异面直线，故①正确；
对于②，因为平面平面，
所以与平面所成角即与平面所成角，连接，
由题意知平面，故是与平面所成角，
在△中，，故②正确；
对于③，过，，三点的平面截正方体所得两部分的体积关系，
即为平面截正方体所得两部分的体积关系，
由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，故③正确；
对于④，取中点，连接，，
则且底面，所以底面，
所以的长为线段在底面的射影长，
在△中，，故④错误．
故答案为：①②③．
10．某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 ．
解：用，1，表示第一次取到个新球的事件，
用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件，
则，且，，两两互斥，
，，，
，，，
第二次训练时恰好取到1个新球的概率为：
（B）
．
故答案为：．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
解：由，可设，，
点在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得，
即，得，则，，
在△中，，
由余弦定理得，化简得，
即，解得．
则双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
12．至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 81 ．
解：12条棱的中点，任选3个点都不共线，则有个平面，
其中4个点共面有个，6点共面有4个，重复的有．
所以共有个．
故答案为：81．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
13．设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则或，重合
解：因为，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，
若，则，所以选项正确；
若，则或，所以选项错误；
若，则，所以选项正确；
若，则或，重合，所以选项正确．
故选：．
14．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为
A．5B．6C．7D．8
解：由已知可得，则抛物线的方程为：．
由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，
结合点与抛物线的位置关系可知，
的最小值是点到准线的距离，
故的最小值为7．
故选：．
15．有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”， 表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”， 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”， 表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则
A．与为对立事件B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件D．与为互斥事件
解：由题意，与互斥但不对立，故错；
事件有，，，，共5种，则，
事件有，，，共4种，则，
其中事件有共1种，事件有，共2种，
，
则，所以与相互独立，故对；
，所以与不独立，故错；
因为与可同时发生，所以与不互斥，故错．
故选：．
16．下列结论正确的有
A．若随机变量，则
B．若随机变量，，则
C．96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为96
D．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，，若，则总体方差
解：对于，若随机变量，则，
则，故错误；
对于，若随机变量，则，所以，
所以，故正确；
对于，96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为，故错误；
对于，不妨设两层数据分别为，，，，，，，，
因为，所以总体平均数，
则，，
所以总体方差为
，
则
，
只有，或时才有，否则，故错误．
故选：．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17．已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项．
解：（1）由题可得展开式的通项为，
令，则第2项的系数为，
令，则第3项的系数为，
所以第2项的系数与第3项的系数之比为，
解得：．
（2）由（1）知，所以展开式的通项为，
令，解得，
故常数项为．
18．如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，，．
（1）求证：平面．
（2）若与平面所成的角为，求点到平面的距离．
【解答】证明：（1）过作，为垂足，如图所示，
平面，平面，
，
四边形为直角梯形，
，
，
且四边形为正方形，
，
，
，
，
在中，
，
，
，平面，平面，
平面．
解：（2）过作，为垂足，如图所示，
由（1）知平面．
平面，
，平面，
平面，
平面，
点到平面的距离即为线段的长，
平面，与平面所成的角为，
为与平面所成的角，且，
由（1）知在中，，
，
即点到平面的距离为．
19．（16分）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算．
（ⅰ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米时的车辆数（精确到个位）；
（ⅱ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米时的车辆数为，求的数学期望．
附注：若，则，，．
参考数据：．
解：（1）由题意可得，样本中的这1000辆机动车的平均车速．
（2）由题意其中，，所以，
（ⅰ）因为，
所以，
所以该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米时的车辆数的估计值为．
（ⅱ）车速低于85千米时的概率为，
而，
所以
20．如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有、两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
（1）设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程；
（2）过的直线与相交于点、、三点，求证：．
解：（1）因为曲线与轴有，两个交点，所以，
由题设可得，解得，
故椭圆方程为：，
双曲线方程为．
由直线过点和，得，则，即．
（2）由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：，
联立，整理得：，
，即且，
解得：或，即．
联立，整理得：，
，
解得：或，即．
所以，
所以，所以．
21．（18分）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，，且，设过点的直线与椭圆交于，两点（不与，两点重合）且直线．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：，的交点的纵坐标为定值；
（3）求直线，，围成的三角形面积的最小值．
解：（1）根据题意，蒙日圆的半径为，
所以．
因为，
所以，
则，
故椭圆的标准方程为；
（2）证明：因为直线过点，
所以直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交，
设，，，，，
联立，消去并整理得，
此时△，
由韦达定理得，
因为，，
所以，，
所以
，
即，
解得，
则直线，的交点在直线上；
（3）设直线与直线，的交点分别为，，，，
由（1）知：，．
联立，，
解得，，
因为，
因为点到直线的距离，
需要，
因为
，
令，
此时，
可得
，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为，
则△面积的最小值为．
故直线，，围成的三角形面积的最小值为．
题号
13
14
15
16
答案
B
C
B
B