（人教A版）数学高一上学期第一次月考十四大题型归纳（基础篇）（2份，解析版）

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题型1
判断是否为同一集合
1．（2023秋·高一单元测试）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员
B．小于的正整数
C．数学必修第一册课本上的难题
D．所有有理数
【解题思路】根据集合的概念，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，参加的全体球员，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；
对于B中，小于的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；
对于C中，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；
对于D中，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合，故选C.
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）下列说法中，正确的个数是（ ）
①的近似值的全体构成一个集合
②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若，则
④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据集合的定义、自然数集、整数集的定义判断.
【解答过程】①的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；
②自然数集N中最小的元素是0，正确；
③在整数集Z中，若，则，整数的相反数还是整数，正确，
④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，
故选：C．
3．（2022·上海·高一专题练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．
（1）小于的自然数；
（2）某班所有个子高的同学；
（3）不等式的整数解．
【解题思路】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合；
（2）根据集合元素的确定性进行判断即可；
（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合.
【解答过程】（1）小于的自然数为、、、、，元素确定，所以能构成集合，且集合为；
（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；
（3）由得，因为为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，
所以用描述法表示为.
4．（2023·全国·高一专题练习）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m的同学．
【解题思路】根据集合的基本概念即得.
【解答过程】（1）因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；
（2）因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；
（3）因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.
题型2
判断元素与集合的关系
1．（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）已知集合，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】解方程可求得集合，再根据元素和集合的关系即可求解.
【解答过程】由得或，则集合，所以，，，.
故选：B.
2．（2023秋·高一课时练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【解题思路】利用集合与元素间的关系逐个分析即可.
【解答过程】是实数，①正确；
是无理数，不是有理数，②错误；
是整数，③错误；
是无理数，不是自然数，④正确．
正确的个数为2个，
故选：B.
3．（2023秋·高一课时练习）已知集合，判断是否是集合中的元素，请说明理由．
【解题思路】根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解.
【解答过程】由题意，可得，，
因为，所以，
不存在，使得，即．
4．（2023·全国·高一假期作业）集合，判断下列元素x是否属于集合A：
(1)；
(2)；
(3)．
【解题思路】（1）可以表示成的形式，可下结论；
（2）经过分母有理化，可以表示成的形式，可下结论；
（3）可以表示成的形式，仍是的形式，可下结论．
【解答过程】（1），当时，，
所以，有；
（2），当时，，
所以，有；
（3）若，则，且，
∴，仍是的形式，故．
题型3
判断两个集合是否相等
1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】求出每个选项的集合，即可比较得出.
【解答过程】对A，，故A错误；
对B，中，解得，故，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：D.
2．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③
【解题思路】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案
【解答过程】对于①：集合，则，
解得，即，是一一对于，所以与集合相同.
对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同.
对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同.
对于④：，但方程无解，则，与不相同．
故选：D.
3．（2023春·高一统考阶段练习）判断下列集合、是否表示同一集合，若不是，请说明理由.
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，.
【解题思路】根据同一集合的概念，逐项判断即可.
【解答过程】（1），元素一样，是同一集合；
（2）表示不同的点，故，集合不同
（3），表示的范围相同，是同一集合
（4）不是同一集合，是数集，是点集.
4．（2023·全国·高一专题练习）设，且，求实数x，y的值．
【解题思路】根据集合中的元素对应相等，结合互异性即可分情况求解.
【解答过程】由于，所以且，
若集合中，则，此时，由得，所以此时符合要求，
若集合中，则，此时这与矛盾，故这种情况不成立，
综上可知.
题型4
集合间关系的判断
1．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）如果集合，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系.
【解答过程】由，
令，则，所以，
由于，故，
故选：A.
2．（2023秋·高一课时练习）若集合，，，则的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】将集合改写成形式统一的格式，再判断其表示数集的范围即可得出其关系.
【解答过程】已知，，，
显然可表示整数，而只能表示偶数；
所以.
故选：A．
3．（2023·全国·高一课堂例题）指出下列各组集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【解题思路】（1）利用数轴即可判断集合关系；
（2）利用集合所表示的含义即可判断；
（3）求出集合即可判断.
【解答过程】（1）在数轴上表示出集合A，B，如图所示，由图可知．
（2）∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴．
（3）．在集合B中，当n为奇数时，，
当n为偶数时，，∴，∴．
4．（2023秋·高一课时练习）指出下列各组集合之间的关系：
①，；
②是等边三角形，是等腰三角形；
③，.
【解题思路】①利用集合的元素类型可判断集合、的包含关系；
②利用集合包含关系的定义可判断集合、的包含关系；
③利用列举法可判断集合、的包含关系.
【解答过程】①集合中的元素是数，集合中的元素是有序实数对，故与之间无包含关系；
②等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故；
③由列举法知，，所以.
题型5
集合的运算
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知集合，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据集合的交集的运算求出答案即可．
【解答过程】解：，，
.
故选：D．
2．（2023秋·黑龙江·高三校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据集合补集的定义进行求解即可.
【解答过程】因为，
所以 ，
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，求．
【解题思路】根据集合交集、并集和补集的概念与运算，准确运算，即可求解.
【解答过程】由集合，
可得，，
由补集的概念与运算，可得或.
4．（2023秋·河南信阳·高一校考阶段练习）已知集合，，．求：
(1)，；
(2)．
【解题思路】（1）利用交集、并集的定义可求得集合、；
（2）求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【解答过程】（1）解：因为，，
则，.
（2）解：因为全集，，，
则或，或，
因此，或.
题型6
判断命题的真假
1．（2023秋·陕西宝鸡·高二校联考期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等
B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形
C．存在一个实数，使得
D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0
【解题思路】根据题意，对各选项逐一判断，即可得到结果.
【解答过程】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误；
由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确；
因为对于任意实数，，故C错误；
所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误；
故选：B.
2．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.
【解答过程】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程的判别式为，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，,故正确;
故选：C．
3．（2021·高一课时练习）判断下列命题的真假：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）全等三角形的面积相等
（4）面积相等的三角形全等.
【解题思路】依次判断即得.
【解答过程】（1）当时，显然有，所以命题为真.
（2）当，时，，即由，不能推出，所以命题为假.
（3）由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，这两个三角形的面积一定相等，命题为真.
（4）如图，直角三角形与三角形同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等，所以命题为假.
4．（2023·江苏·高一专题练习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)偶数不能被2整除；
(2)当时，；
(3)两个相似三角形是全等三角形．
【解题思路】逐项判断即可得解.
【解答过程】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除，
根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题；
（2）若，则，
要想满足，则，解得，是真命题；
（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，
两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题.
题型7
充分条件、必要条件及充要条件的判定
1．（2023·全国·高一专题练习）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】通过反例可说明充分性和必要性均不成立，由此可得结论.
【解答过程】当，时，满足，此时；
当，时，满足，此时；
，，
“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
2．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义及判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，由，则不一定成立，反之：若，则不一定成立，所以是的即不充分也不必要条件，所以A不符合题意；
对于B中，由，则不一定成立，反之：若，则不一定成立，所以是的即不充分也不必要条件，所以B不符合题意；
对于C中，由，则成立，反之：若，则不一定成立，所以是的充分不必要条件，所以C符合题意；
对于D中，由，则不一定成立，反之：若，则成立，所以是的即必要不充分条件，所以D不符合题意.
故选：C.
3．（2023·全国·高一课堂例题）若是的充分不必要条件，是的必要条件，又是的充要条件，是的必要条件，则是的什么条件？
【解题思路】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断即可求解.
【解答过程】因为是的充分条件，所以由能推出；
又是的充要条件，所以由能推出；
因此由能推出，即是的必要条件；
因为是的不必要条件，所以不能推出；
又是的充要条件，所以由能推出；
因此不能推出，
所以是的必要不充分条件.
4．（2023·全国·高一专题练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）．
(1)数a能被6整除，数a能被3整除；
(2)，；
(3)有两个角相等，是正三角形；
(4)，，.
【解题思路】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，逐项判定即可得解.
【解答过程】（1）因为“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”，所以，
但“数a能被3整除”推不出“数a能被6整除”，如，所以，
所以p是q的充分不必要条件.
（2）因为能推出，即；
但当时，如，推不出，即，
所以P是q的充分不必要条件.
（3）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，因此，
但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，
所以p是q的必要不充分条件.
（4）因为时，，
所以“”不能推出“”，即，
而当时，有，即.
所以p是q的必要不充分条件.
题型8
全称量词命题与存在量词命题的真假
1．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）下列命题中，是真命题且是全称命题的是（ ）
A．对任意实数a，b，都有
B．梯形的对角线不相等
C．
D．所有的集合都有子集
【解题思路】根据全称量词定义可知A，B，D为全称量词命题，进而根据不等式性质可判断A选项，根据梯形的性质可判断B选项，根据子集的定义可判断D选项.
【解答过程】根据全称命题的定义可知，全称命题有A，B，D三项，C为特称命题，
对于A，有，故A为假命题；
对于B，梯形的对角线不一定相等，故B为假命题；
对于D，根据子集的定义可知，D为真命题.
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数，使
【解题思路】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案.
【解答过程】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；
对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确；
对选项C：，故C为假命题；
对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题.
故选：B.
3．（2023秋·高一课时练习）判断下列命题的真假.
(1)，；
(2)，使；
(3)至少有一组正整数a，b，c满足.
【解题思路】根据全称命题以及存在量词命题的真假的判断，一一判断各小题，即可得结论.
【解答过程】（1）当时，，故，为假命题；
（2）由于成立时，，因而不存在，使.
所以存在量词命题“，使”是假命题.
（3）由于取时，是成立的，
所以存在量词命题“至少有一组正整数a，b，c满足”是真命题.
4．（2023秋·全国·高一随堂练习）判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
(1)对所有的正实数，为正且；
(2)存在实数，使得；
(3)存在实数对，使得；
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
【解题思路】（1）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，取，可得命题为假命题；
（2）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，根据判别式可得命题为真命题；
（3）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，取实数对，可得命题为真命题；
（4）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，根据角平分线的性质可得命题为真命题.
【解答过程】（1）为全称量词命题，且为假命题，如取，则不成立.
（2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式.
（3）为存在量词命题，且为真命题，如取实数对，则成立.
（4）为全称量词命题，且为真命题，根据角平分线的性质可判断.
题型9
命题的否定
1．（2023·全国·高一专题练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解题思路】由全称命题的否定可以直接得出结果.
【解答过程】由全称命题的否定可知：原命题的否定为.
故选：A.
2．（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知命题：，，则（ ）
A．p：，B．p：，
C．p：，D．p：，
【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可.
【解答过程】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以：，的否定是：，，
故选：D.
3．（2023秋·高一课时练习）写出下列各命题的否定.
(1)：对任意的正数，；
(2)：三角形有且仅有一个外接圆；
(3)：存在一个三角形，它的内角和大于；
(4)：有些质数是奇数.
【解题思路】依据命题否定的定义，即可得出各命题的否定.
【解答过程】（1）：存在正数，使.
（2）：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.
（3）：所有三角形的内角和小于或等于180°.
（4）：所有的质数都不是奇数.
4．（2023·全国·高一课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)，；
(2)，一次函数的图象经过原点；
(3)每一个素数都是奇数；
(4)某些平行四边形是菱形；
(5)可以被5整除的数，末位上是0．
【解题思路】根据存在量词命题与全称量词命题的否定逐一写出结果.
【解答过程】（1）命题的否定：，，是假命题．
（2）命题的否定：，一次函数图象不经过原点，是假命题．
（3）命题的否定：存在一个素数不是奇数，是真命题，比如2是素数但不是奇数．
（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．
（5）命题的否定：存在一个被5整除的数，末位上不是0，是真命题．
题型10
利用不等式的性质判断正误
1．（2023秋·高一课时练习）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用不等式的性质判断.
【解答过程】a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；
同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项；
由同向不等式的可加性，D选项正确.
故选：D.
2．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果，则正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解题思路】举例说明ABD是错误的，用作差法证明C是正确的．
【解答过程】取，则，故A错误；
取，则，故B错误；
由于，所以，则，故C正确；
取，则，，故D错误.
故选：C．
3．（2023·高一课时练习）对于实数,判断下列命题的真假:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,则.
【解题思路】找到命题的反例即可推得假命题；利用不等式的性质即可证明真命题
【解答过程】解:(1)由于c的符号未知,当时,,故该命题是假命题；
(2),
,,,
,
.故该命题为真命题；
(3),,
,,
,故该命题为真命题.
4．（2022·全国·高一专题练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
【解题思路】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.
【解答过程】(1)
，
，
，
故成立.
(2)
，,
,
即.
(3)
取时，满足，但是不成立.
(4)
取，满足，，但是不成立.
题型11
由基本不等式比较大小
1．（2023·全国·高一专题练习）已知a、b为正实数，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用基本不等式计算出.
【解答过程】因为a、b为正实数，
所以，当且仅当时，等号成立，
，所以，当且仅当时，等号成立，
综上：.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长．
A．等于B．小于C．大于D．不确定
【解题思路】设天平左臂长，右臂长，且，根据已知条件求出、的表达式，利用基本不等式比较与的大小关系，即可得出结论.
【解答过程】设天平左臂长，右臂长，且，
设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以，
所以，，则．
故选：C．
3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明.
【解题思路】利用基本不等式可得出、、的大小关系.
【解答过程】解：，证明如下：
因为、均为正数，由基本不等式可得，
则，则，所以，
由上可知，则，即，
所以，，
综上所述，，当且仅当时，两个等号都成立.
4．（2023·江苏·高一假期作业）某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价，第二次提价；
方案乙：第一次提价，第二次提价；
方案丙：第一次提价，第二次提价.
其中，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？
【解题思路】不妨设提价前的价格为1，分别计算三种方案两次提价后的价格，利用均值不等式比较即可.
【解答过程】不妨设提价前的价格为1，则
方案甲：两次提价后的价格为：，
方案乙：两次提价后的价格为：，
方案丙：，
由于，由均值不等式，当且仅当时等号成立，
故，且，故等号不成立，即，
因此方案丙提价最多，方案甲、乙少，且提价一样.
题型12
利用基本不等式求最值
1．（2023秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解题思路】根据的取值范围，利用基本不等式即可求出的最小值.
【解答过程】已知，则，
所以；
当且仅当，即时等号成立，
此时最小值为5.
故选：B.
2．（2023秋·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小值为4B．的最大值为
C．的最大值为2D．的最小值为
【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.
【解答过程】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C，，
则，当且仅当，即时，故C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：C.
3．（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）求下列代数式的最值
(1)已知，求的最小值；
(2)已知，且满足，求的最小值；
【解题思路】（1），然后使用基本不等式求解；
（2），展开后得到，即可使用基本不等式求解.
【解答过程】（1）因为,则,
所以 ,
当且仅当时,即时取等号,
所以的最小值为5.
（2）因为,
所以 ,
当且仅当即时,等号成立,
所以当 时,.
4．（2023秋·全国·高一专题练习）已知正实数满足．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
【解题思路】运用基本不等式求解.
【解答过程】（1）因为，所以．
，
当且仅当时，等号成立；
（2）因为为正实数，所以，
又，所以，解得，
当且仅当时，等号成立；
综上，的最小值为9，的最小值为8.
题型13
一元二次不等式的解法
1．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【解答过程】由，得，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
2．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先不等式转化为，再根据，结合一元二次不等式的形式求不等式的解集.
【解答过程】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
所以不等式的解集为：.
故选：A.
3．（2023秋·贵州黔东南·高一校考阶段练习）用适当的方法求解下列一元二次方程.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解题思路】（1）因式分解得出解集即可；
（2）根据判别式为负得出解集为空；
（3）因式分解得出解集即可；
（4）因式分解得出解集即可；
【解答过程】（1）由，即，可得，解集为；
（2）由，可得解集为；
（3）由，即，可得或，可得解集为；
（4）由，即，可得或，可得解集为；
4．（2023·全国·高一专题练习）解关于x的不等式：
(1)
(2)
【解题思路】（1）分解因式并含参讨论解不等式即可；
（2）将分式不等式化为整式不等式，含参讨论即可.
【解答过程】（1），
若，，解不等式得；
若，则不等式可化为：
①若，则，解不等式得或；
②若，则，解不等式得；
③若，则无解，即；
④若，则，解不等式得.
综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.
（2）由，
若，则，即；
若，原不等式可化为：
若，则，解不等式得：或；
若，则，解不等式得：；
若，则，显然无解，即；
若，则，解不等式得：；
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
题型14
三个“二次”关系的应用
1．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【解答过程】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.
故选：A.
2．（2023·全国·高一专题练习）二次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】数形结合求出不等式的解集.
【解答过程】，即．根据图象知，只有在时，x取其它任何实数时y都是负值.
故选：A．
3．（2023·高一课时练习）利用函数与不等式的关系．
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为，求不等式的解集．
【解题思路】（1）由题意知，求出，代入解不等式即可；
（2）由题意知，代入化简，解不等式即可；
【解答过程】（1）由题意知，方程的两个根分别为和，且
由韦达定理知，解得，
则不等式
即，解得：或
所以不等式的解集为：；
（2）由题意知，方程的两个根分别为和，且
由韦达定理知，即，
则不等式，又，
则，解得：，
所以不等式的解集为：.
4．（2022秋·广东深圳·高一校考期中）已知二次函数，当时，；当，．
（1）求，的值；
（2）解关于的不等式：；
（3）若不等式在上恒成立，求的取值范围．
【解题思路】（1）将和代入方程解得；
（2）将值代入不等式求解并讨论大小范围得结果；
（3）化简不等式并分离参数，由恒成立问题转为最值问题，再用均值不等式求解.
【解答过程】解：（1）由题意知是方程的根，所以 解得
（2）由（1）知代入得 即
当时，不等式无解集；当时，不等式解集为 ；当时，不等式解集为；
（3）由（1）知
所以，得，在上恒成立，
又因为当且仅当时等号成立，所以.