高一数学（人教A版2019必修第一册）高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）（原卷版+解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第一册第一章、第二章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·全国·高一假期作业）下列说法正确的有（ ）
①1∈N；②2∈N∗；③32∈Q；④2+2∉R；⑤π∈Q
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（5分）（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）命题“∃x∈−1,3,x2−1≤2x”的否定是（ ）
A．∀x∈−1,3,x2−1≤2xB．∃x∈−1,3,x2−1>2x
C．∀x∈−1,3,x2−1>2xD．∃x∉−1,3,x2−1>2x
3．（5分）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知集合U={2,3,4,5,7}，A={2,3}，B={3,5,7}，则A∩∁UB=（ ）
A．{2,3,5,7}B．{2,3,4}C．{2}D．{2,3,4,7}
4．（5分）（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）若“1A．12,1B．12,1C．12,1D．12,1
5．（5分）（2023春·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若a>b>0，则ac>bcB．若a>b，则a>b
C．若aabD．若a>b>c，则ab>a+cb+c
6．（5分）（2023春·山东潍坊·高二校联考期末）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴交点的横坐标为−5和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）．
A．(−∞,−1]B．[−1,+∞)
C．(−∞,2]D．[2,+∞)
7．（5分）（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考期末）设a,b为正实数，且a+b=10ab，则a+9b的最小值为（ ）
A．65B．1310C．85D．95
8．（5分）（2023秋·高一单元测试）关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0 的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−1,0]∪[2,3) B．[−2,−1)∪(3,4]
C．[−1，0)∪(2,3] D．(−2，−1)∪(3，4)
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·湖南常德·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．“x<1”是“1x>1”的充分不必要条件
B．命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x<1,x2≥1”
C．x+y=0的充要条件是xy=−1
D．若x+y>2，则x,y至少有一个大于1
10．（5分）（2023春·河北保定·高二校联考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若aB．若a>b>0,c0，则ea−c>eb−d
C．若c>a>b>0，则ac−a>bc−b
D．若a>b>c>0，则ab>a+cb+c
11．（5分）（2023秋·高一课时练习）已知全集U=R，集合A=x|−2≤x≤7，B=x|m+1≤x≤2m−1，则使A⊆∁UB成立的实数m的取值范围可以是（ ）
A．m|6C．m|−212．（5分）（2023春·福建福州·高一校考期末）已知x>0，y>0，且x+2y+xy=6，则（ ）
A．xy的最大值为2
B．x+y的最小值为42−3
C．1x+2+1y+1的最小值为22
D．x+22+y+12的最小值为16
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）已知集合A=1,2，B=xx2−mx+n=0．若A=B，则m+n值为 ．
14．（5分）（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）已知集合A=xx>3，集合B=xx>a，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
15．（5分）（2023·高一课时练习）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(−3,2)，则不等式cx2+bx+a>0的解集为 ．
16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·全国·高三专题练习）判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则不用写出否命题，只需判断合题真假，并给出证明.
（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程x2−8x−10=0的每一个根都不是奇数.
（4）若ab≠0，则a+b=1的充要条件是a2+b+ab−a2−b2=0.
18．（12分）（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）设集合A=x|−2≤x≤5,B=x|m+1≤x≤2m−1,
(1)若m=4，求A∪B；
(2)若B∩A=B，求实数m的取值范围．
19．（12分）（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）已知p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−2=0有实数根，q：m−1≤a≤m+3．
(1)若命题¬p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
20．（12分）（2023春·河南周口·高一校考阶段练习）已知1(1)ab；
(2)2a+3b；
(3)a−b的取值范围.
21．（12分）（2023秋·河南信阳·高三校考期末）已知正数a,b,c满足1a+1b+1c=1．
(1)若a=2，求1b+c的最大值；
(2)证明：1a+b+1b+c+1a+c≤12．
22．（2023春·四川绵阳·高一校考阶段练习）已知函数fx=mx2+mx+3，m∈R．
(1)若关于x的不等式fx>0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)解关于x的不等式fx>3m−1x+5．
2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·全国·高一假期作业）下列说法正确的有（ ）
①1∈N；②2∈N∗；③32∈Q；④2+2∉R；⑤π∈Q
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据元素与集合的关系判断即可.
【解答过程】1是自然数，故1∈N，故①正确；
2不是正整数，故2∉N∗，故②错误；
32是有理数，故32∈Q，故③正确；
2+2是实数，故2+2∈R，故④错误；
π是无理数，故π∉Q，故⑤错误.
故说法正确的有2个.
故选:B.
2．（5分）（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）命题“∃x∈−1,3,x2−1≤2x”的否定是（ ）
A．∀x∈−1,3,x2−1≤2xB．∃x∈−1,3,x2−1>2x
C．∀x∈−1,3,x2−1>2xD．∃x∉−1,3,x2−1>2x
【解题思路】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可得答案.
【解答过程】∵命题“∃x∈−1,3,x2−1≤2x”是存在量词命题，∴它的否定是“∀x∈−1,3,x2−1>2x”．
故选：C．
3．（5分）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知集合U={2,3,4,5,7}，A={2,3}，B={3,5,7}，则A∩∁UB=（ ）
A．{2,3,5,7}B．{2,3,4}C．{2}D．{2,3,4,7}
【解题思路】根据补集与交集的运算，可得答案.
【解答过程】由题意，∁UB=2,4，A∩∁UB=2.
故选：C.
4．（5分）（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）若“1A．12,1B．12,1C．12,1D．12,1
【解题思路】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得即可.
【解答过程】由x−2m<1，即−1因为“1所以1,2真包含于2m−1,1+2m，所以1+2m≥22m−1≤1（等号不能同时取得），解得12≤m≤1，
所以实数m的取值范围为12,1.
故选：C.
5．（5分）（2023春·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若a>b>0，则ac>bcB．若a>b，则a>b
C．若aabD．若a>b>c，则ab>a+cb+c
【解题思路】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.
【解答过程】对于A，若c=0，则ac=bc，故A错误；
对于B，若a=1，b=−2，则a对于C，若aab，故C正确；
对于D，若a=3，b=2，c=−1，则ab=32,a+cb+c=21=2,ab故选：C．
6．（5分）（2023春·山东潍坊·高二校联考期末）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴交点的横坐标为−5和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）．
A．(−∞,−1]B．[−1,+∞)
C．(−∞,2]D．[2,+∞)
【解题思路】由题意求得对称轴，再由开口方向求解.
【解答过程】解：因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴交点的横坐标为−5和3，
所以其对称轴方程为：x=−5+32=−1，
又a>0，
所以二次函数的单调递减区间为(−∞,−1]，
故选：A.
7．（5分）（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考期末）设a,b为正实数，且a+b=10ab，则a+9b的最小值为（ ）
A．65B．1310C．85D．95
【解题思路】由a+b=10ab可得1101a+1b=1，则a+9b=110a+9b1a+1b，化简后利用基本不等式可求得结果.
【解答过程】因为a,b为正实数，且a+b=10ab，
所以1101a+1b=1，
所以a+9b=110a+9b1a+1b=11010+9ba+ab≥11010+29ba⋅ab=85，
当且仅当9ba=ab，即a2=9b2，即a=25,b=215时等号成立.
所以a+9b的最小值为85.
故选：C.
8．（5分）（2023秋·高一单元测试）关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0 的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−1,0]∪[2,3) B．[−2,−1)∪(3,4]
C．[−1，0)∪(2,3] D．(−2，−1)∪(3，4)
【解题思路】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.
【解答过程】由x2−(a+1)x+a<0得(x−1)(x−a)<0 ，
若a=1，则不等式无解．
若a>1，则不等式的解为1若a<1，则不等式的解为a综上，满足条件的a的取值范围是[−1，0)∪(2,3]
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·湖南常德·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．“x<1”是“1x>1”的充分不必要条件
B．命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x<1,x2≥1”
C．x+y=0的充要条件是xy=−1
D．若x+y>2，则x,y至少有一个大于1
【解题思路】根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可.
【解答过程】对于A选项，若x<0则得不到1x>1，故不是充分条件；
对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确；
对于C选项，若x=y=0则得不到xy=−1，故不是充要条件，C选项错误；
对于D选项，若x,y均不大于1，则x+y≤2，故x,y至少有一个大于1，故D选项正确；
故选：BD.
10．（5分）（2023春·河北保定·高二校联考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若aB．若a>b>0,c0，则ea−c>eb−d
C．若c>a>b>0，则ac−a>bc−b
D．若a>b>c>0，则ab>a+cb+c
【解题思路】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，由a对于B中，若a>b>0,c0，
则ea−c−eb−d=eb−d−ea−ca−cb−d=eb−a+c−da−cb−d<0，
所以ea−c对于C中，若c>a>b>0，则ac−a−bc−b=ac−b−bc−ac−ac−b=ca−bc−ac−b>0，
所以C正确；
对于D中，若a>b>c>0，则ab−a+cb+c=ab+c−ba+cbb+c=ca−bbb+c>0，
所以D正确．
故选：ACD.
11．（5分）（2023秋·高一课时练习）已知全集U=R，集合A=x|−2≤x≤7，B=x|m+1≤x≤2m−1，则使A⊆∁UB成立的实数m的取值范围可以是（ ）
A．m|6C．m|−2【解题思路】讨论B=∅和B≠∅时，计算∁UB，根据A⊆∁UB列不等式，解不等式求得m的取值范围，再结合选项即可得正确选项.
【解答过程】当B=∅时，m+1>2m−1，即m<2，此时∁UB=R，符合题意，
当B≠∅时，m+1≤2m−1，即m≥2，
由B=x|m+1≤x≤2m−1可得∁UB=x|x2m−1，
因为A⊆∁UB，所以m+1>7或2m−1<−2，可得m>6或m<−12，
因为m≥2，所以m>6，
所以实数m的取值范围为m<2或m>6，
所以选项ABC正确，选项D不正确；
故选：ABC.
12．（5分）（2023春·福建福州·高一校考期末）已知x>0，y>0，且x+2y+xy=6，则（ ）
A．xy的最大值为2
B．x+y的最小值为42−3
C．1x+2+1y+1的最小值为22
D．x+22+y+12的最小值为16
【解题思路】利用基本不等式有x+2y+xy=6≥22xy+xy，结合换元法解一元二次不等式求xy范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得(x+2)(y+1)=8，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件.
【解答过程】因为x>0，y>0，
所以x+2y+xy=6≥22xy+xy，仅当x=2y时，即x=2,y=1等号成立，
令t=xy>0，则t2+22t−6=(t+32)(t−2)≤0，故−32≤t≤2，
所以0所以xy的最大值为2，A错误；
由x+2y+xy=6，则xy+x+2y+2=(x+2)(y+1)=8，
所以x+y=(x+2)+(y+1)−3≥2(x+2)⋅(y+1)−3=42−3，
仅当x+2=y+1，即x=22−2,y=22−1时等号成立，故x+y的最小值为42−3，B正确；
由1x+2+1y+1≥21x+2⋅1y+1=22，仅当1x+2=1y+1，即x=22−2,y=22−1时等号成立，
所以1x+2+1y+1的最小值为22，C正确；
由x+22+y+12≥2(x+2)(y+1)=16，仅当x+2=y+1，即x=22−2,y=22−1时等号成立，
所以x+22+y+12的最小值为16，D正确.
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）已知集合A=1,2，B=xx2−mx+n=0．若A=B，则m+n值为 5 ．
【解题思路】由题意，1和2为方程x2−mx+n=0的两根，由根与系数的关系可解.
【解答过程】依题意，A=B，
所以1和2为方程x2−mx+n=0的两根，
由根与系数的关系得1+2=m1×2=n，
解得m=3n=2，所以m+n=5.
故答案为：5.
14．（5分）（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）已知集合A=xx>3，集合B=xx>a，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 a<3 ．
【解题思路】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.
【解答过程】因为命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，
所以集合A真包含于集合B，
又集合A=xx>3，集合B=xx>a，
所以a<3.
故答案为：a<3.
15．（5分）（2023·高一课时练习）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(−3,2)，则不等式cx2+bx+a>0的解集为 −∞,−13∪12,+∞ ．
【解题思路】由题可得a<0−3+2=−ba−3×2=ca，然后根据二次不等式的解法即得.
【解答过程】因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(−3,2)，
所以a<0−3+2=−ba−3×2=ca，可得b=ac=−6a，
所以cx2+bx+a>0可化为−6ax2+ax+a>0，
因为a<0，所以−6ax2+ax+a>0可化为6x2−x−1>0，
即3x+12x−1>0，解得：x<−13或x>12，
所以不等式cx2+bx+a>0的解集为−∞,−13∪12,+∞.
故答案为：−∞,−13∪12,+∞.
16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 (−4,2) ．
【解题思路】由基本不等式求得x+2y的最小值，然后解相应的不等式可得m的范围．
【解答过程】∵x>0，y>0，且2x+1y=1，
∴x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+xy+4yx≥4+2xy×4yx=8，
当且仅当xy=4yx，即x=4,y=2时等号成立，
∴x+2y的最小值为8，
由m2+2m<8解得−4∴ 实数m的取值范围是(−4,2)
故答案为：(−4,2)．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·全国·高三专题练习）判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则不用写出否命题，只需判断合题真假，并给出证明.
（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程x2−8x−10=0的每一个根都不是奇数.
（4）若ab≠0，则a+b=1的充要条件是a2+b+ab−a2−b2=0.
【解题思路】（1）利用特称命题的概念进行判断，结合不等式判断真假；
（2）利用特称命题的概念进行判断，结合三角形判断真假；
（3）利用全称命题的概念进行判断，方程判断真假；
（4）利用全称命题和特称命题的概念进行判断，结合充要条件判断真假.
【解答过程】（1）该命题是特称命题，
该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3>0
该命题的否定是真命题.
（2）该命题是特称命题，
该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形
该命题的否定是假命题.
（3）该命题是全称命题，
该命题的否定是：方程x2−8x−10=0至少有一个根是奇数
该命题的否定是假命题.
（4）该命题既不是全称命题又不是特称命题
该命题是假命题.
证明：当a2+b+ab−a2−b2=0时，有b+ab=b2，
则b(1+a)=b2，
又因为ab≠0，可知a≠0且b≠0
1+a=b即a−b=−1
故由a2+b+ab−a2−b2=0推不出a+b=1，
由此即可判断a+b=1的充要条件是a2+b+ab−a2−b2=0是假命题.
18．（12分）（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）设集合A=x|−2≤x≤5,B=x|m+1≤x≤2m−1,
(1)若m=4，求A∪B；
(2)若B∩A=B，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）根据并集的定义运算即得；
（2）由题可得B⊆A，分类讨论进而可得不等式即得.
【解答过程】（1）当m=4时，B=x|5≤x≤7，∵A=x|−2≤x≤5,∴A∪B=x|−2≤x≤7；
（2）∵B∩A=B,∴B⊆A，
当B=∅时，满足题意，此时m+1＞2m−1，解得m＜2；
当B≠∅时，−2≤m+12m−1≤5m+1≤2m−1解得2≤m≤3，
∴ 实数m的取值范围为−∞,3.
19．（12分）（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）已知p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−2=0有实数根，q：m−1≤a≤m+3．
(1)若命题¬p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由命题¬p是真命题，可得命题p是假命题，再借助Δ<0，求出a的取值范围作答.
（2）由p是q的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【解答过程】（1）因为命题¬p是真命题，则命题p是假命题，即关于x的方程x2−2ax+a2+a−2=0无实数根，
因此Δ=4a2−4(a2+a−2)<0，解得a>2，
所以实数a的取值范围是a>2.
（2）由（1）知，命题p是真命题，即p:a≤2，
因为命题p是命题q的必要不充分条件，则{a|m−1≤a≤m+3}{a|a≤2}，
因此m+3≤2，解得m≤−1，
所以实数m的取值范围是m≤−1.
20．（12分）（2023春·河南周口·高一校考阶段练习）已知1(1)ab；
(2)2a+3b；
(3)a−b的取值范围.
【解题思路】利用不等式的性质进行求解（1）（2）（3）即可.
【解答过程】（1）2所以有18×1（2）1（3）2所以有1−821．（12分）（2023秋·河南信阳·高三校考期末）已知正数a,b,c满足1a+1b+1c=1．
(1)若a=2，求1b+c的最大值；
(2)证明：1a+b+1b+c+1a+c≤12．
【解题思路】（1）由已知可得2b+2c=1，根据“1”的代换可得b+c=2cb+2bc+4，根据基本不等式可得b+c≥8，即可得到1b+c≤18；
（2）由已知可得aa−11b+1c=1，进而根据根据“1”的代换可得b+c≥4aa−1>0，即有1b+c≤14−14×1a.同理可得1a+b≤14−14×1c，1a+c≤14−14×1b，三个式子同时相加即可得出结果.
【解答过程】（1）解：当a=2时，由1a+1b+1c=1可得1b+1c=12，则2b+2c=1，
所以b+c=b+c2b+2c=2cb+2bc+4 ≥22cb×2bc+4=8，
当且仅当2cb=2bc以及1b+1c=12，即b=c=4时等号成立，
所以b+c≥8，又b>0，c>0，所以1b+c≤18.
所以1b+c的最大值为18
（2）证明：由已知可得，1b+1c=1−1a=a−1a>0，则aa−11b+1c=1，
则b+c=aa−1b+c1b+1c =aa−1cb+bc+2 ≥aa−12cb×bc+2 =4aa−1>0，
当且仅当cb=bc，即b=c时等号成立，所以，1b+c≤a−14a=14−14×1a，
同理可得，1a+b≤14−14×1c，1a+c≤14−14×1b，
当且仅当a=b=c=3时等号同时成立.
所以，1a+b+1b+c+1a+c ≤14−14×1a+14−14×1b+14−14×1c =34−141a+1b+1c=12.
22．（2023春·四川绵阳·高一校考阶段练习）已知函数fx=mx2+mx+3，m∈R．
(1)若关于x的不等式fx>0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)解关于x的不等式fx>3m−1x+5．
【解题思路】（1）对m进行分类讨论，根据一元二次不等式的性质即可求解.
（2）化简问题得出x−2mx+1>0，对m<0,m=0,m>0分三类讨论，利用一元二次不等式的性质即可求解.
【解答过程】（1）依题意，mx2+mx+3>0在实数集R上恒成立．
①当m=0时，3>0，成立；
②当m≠0时，要使原不等式恒成立，
则m>0Δ=m2−12m<0，解得0综上所述，实数m的取值范围是m0≤m<12．
（2）不等式fx>3m−1x+5，
等价于mx2+1−2mx−2>0，
即x−2mx+1>0．
①当m>0时，解原不等式可得x>2或x<−1m；
②当m=0时，不等式整理为x−2>0，解得x>2；
③当m<0时，方程x−2mx+1=0的两根为x1=−1m，x2=2，
（i）当−122，解原不等式得2（ii）当m=−12时，因为−1m=2，原不等式的解集为∅；
（iii）当m<−12时，因为−1m<2，解原不等式得−1m综上所述，当m<−12时，原不等式的解集为x|−1m当m=−12时，原不等式的解集为∅；
当−12当m=0时，原不等式的解集为{x|x>2}；
当m>0时，原不等式的解集为x|x<−1m或x>2.