(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题08 导数及其应用(讲义)（2份，原卷版+解析版）

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一、导数的概念及运算
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
常用结论：
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f（x）)))′＝－eq \f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
二、导数的应用
1.函数的单调性与导数的关系
1．用导数判断函数单调性的法则
在某个区间(a，b)内，如果，那么函数在这个区间内严格单调递增；如果，那么函数在这个区间内严格单调递减．
注意：⇒为增函数，⇒为减函数，但反之不成立；但有为增函数⇒，为减函数⇒.一个典型例子就是在R上为增函数，但.
2．用导数求函数单调区间的步骤
(1) 确定的定义域；
(2) 求导数；
(3) 由 (或)解出相应的x的范围．当时，在相应区间上是增函数；
当时，在相应区间上是减函数．
3.利用导数研究函数的极值
1．函数的极值
（1）极值的定义：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于，此时，就说函数在处取得极大值，而点称为函数的极大值点. 类似的，在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不小于，此时，就说函数在处取得极小值，而点称为函数的极小值点. 如下图，函数有三个极大值点，还有三个极小值点.
（2）定理：设点是函数的驻点.
① 若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极大值；
② 若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极小值；
2．求可导函数极值的方法
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）考查在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则 是极大值；如果由负变正，则是极小值．
注意：
①可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即点是可导函数的极值点是的充分但不必要条件，如函数，有，但不是极值点．
②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧，的符号不同．
③在用导数求函数极值题目中一定要注意列表格、画函数简图．
4.利用导数研究函数的最值
1．可导函数的最大值、最小值
可导函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
注意：
①函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部上对函数值的比较；函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
②函数在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个，而极大值或极小值可能多于一个，也可能没有．如常数函数既无极大值，也无极小值．
2．求可导函数在上的最值的步骤：
（1）求在开区间内所有使的点；
（2）计算函数在区间内使的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注意：
①求函数的最值与求函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．
②可利用函数单调性求在闭区间上的最值．若在上单调递增，则的最大值为，最小值为；若在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．
常用结论：
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
一、单选题
1．若函数在处的导数为2，则 ( )
A．2B．1C．D．6
2．若曲线与y=2x+1相切，则实数a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数在处的导数为，则（ ）
A．B．C．D．
5．下列求导运算错误的是（ ）.
A．B．
C．D．
6．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．已知函数的导函数的图像如图所示，以下结论：
①在区间上有2个极值点
②在处取得极小值
③在区间上单调递减
④的图像在处的切线斜率小于0
正确的序号是（ ）
A．①④B．②③④C．②③D．①②④
9．已知是定义在上的偶函数，其导函数为,若 ，且，则不等式的解集为( )
A．B．
C．D．
10．函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
11．给定函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数有两个零点B．函数在上单调递增
C．函数的最小值是D．当或时，方程有1个解
12．已知函数，是的导数，则下列命题错误的是（ ）．
A．在区间上是增函数
B．当时，函数的最小值为
C．
D．有2个零点
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中错误的是（ ）
A．当时，
B．函数有3个零点
C．的解集为
D．，都有
14．已知函数，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
15．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．已知函数的定义域为，若对于任意的，都存在，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
17．求函数在处的切线方程为___________.
18．已知，则曲线在点处的切线方程为___________.
19．若曲线的切线的倾斜角的取值范围是，则______.
20．已知函数.若，则___________.
21．若函数满足，则___________.
22．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
23．已知函数，若有极大值，则______．
24．已知函数在区间上的最大值是5，则实数a的取值范围是________．
25．设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为___________．
26．若存在实常数k和b，使得函数和对其定义域上的任意实数x都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列命题：
①与存在“隔离直线”；
②和之间不存在“隔离直线”；
③和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为；
④和之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是(，0].
其中真命题为___________（请填所有正确命题的序号）
三、解答题
27．求下列函数的导数，其中：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
28．已知函数．
(1)求在点处的切线方程（其中为自然对数的底数）；
(2)当时，证明：．
29．已知函数在点处的切线方程为．
(1)求函数的单调区间，
(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
30．已知函数​.
(1)若​，当​时，函数​在​处的切线​也是​的切线，求​的值；
(2)当​时，​和​有相同的最小值，求​的值.
31．设函数，.
(1)当时，求函数的导函数的值域；
(2)如果恒成立，求实数的最大值.
32．已知函数.
(1)证明：函数在R上是增函数；
(2)若函数的最小值为，求的取值范围.
33．已知函数．
(1)当时，求在点的切线方程；
(2)若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；
(3)若在区间上存在极小值，求实数的取值范围．
34．已知函数
(1)已知恒成立，求的值；
(2)当时，，求的取值范围.
35．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，设是的两个极值点，求证；．
36．已知函数，，e为自然对数的底数，e＝2.71…．
(1)若在内为减函数，求a的取值范围；
(2)若，，求的极大值．
37．已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若方程有两个不同的实数根.
（i）求的取值范围；
（ii）若，求证：. (参考数据：)
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs__x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数